M2 溫習筆記：標量積與向量積
各位同學大家好！歡迎來到 M2 其中一個最有趣課題——標量積與向量積的溫習指南！你們已經學過向量，知道它們是既有大小（長度）又有方向的「箭頭」。但你們知道我們可以把它們「相乘」嗎？事實上，有兩種主要方法，而且它們會得出完全不同類型、用於不同目的的答案！
在這一章，我們將會探討：
1. 標量積 (點積)：它會得出一個單一數字（一個標量），非常適合用來計算向量之間的夾角，或物理學中的「功」等。
2. 向量積 (叉積)：它會得出一個全新的向量，對於找出圖形的面積，或是找出一個垂直於另外兩個向量的向量非常有用。
如果這聽起來有點複雜，別擔心。我們會透過簡單的例子和比喻，為你逐一拆解。讓我們開始吧！
第一部分：標量積（或稱點積）
標量積是什麼？
名稱已經給你一個很大的提示了！當你計算兩個向量的標量積時，你的答案是一個標量——也就是一個沒有方向的單一數字。
它常被稱為點積，因為我們用一個點符號 ( $$ \cdot $$ ) 來表示它，例如 $$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} $$。
真實世界類比：想像你正在地板上推一個重箱。你可能稍微向下施力，但只有與地板平行的那部分力才真正幫助箱子向前移動。點積是一種數學方法，用於找出一個向量「有多少」是沿著另一個向量的方向。它是衡量兩個向量對齊程度的指標。
公式小天地：點積的兩種計算方法
你有兩個強大的公式可以使用。選擇哪個取決於你已知什麼資訊。
1. 幾何公式（使用角度）
如果你已知向量的長度（大小）以及它們之間的夾角 $$ \theta $$，這個就是你的首選公式。
公式： $$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos\theta $$
其中：
- $$ |\mathbf{a}| $$ 是向量 a 的大小（長度）。
- $$ |\mathbf{b}| $$ 是向量 b 的大小（長度）。
- $$ \theta $$ 是向量 a 和 b 之間的夾角（當它們首尾相接時）。
2. 分量公式（使用 i, j, k）
這通常是計算點積時較簡單和常見的方法。如果向量以分量形式給出，只需將對應的分量相乘並將它們全部加起來！
設 $$ \mathbf{a} = a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k} $$ 及 $$ \mathbf{b} = b_1\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + b_3\mathbf{k} $$。
公式： $$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 $$
例子：如果 $$ \mathbf{a} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 4\mathbf{k} $$ 及 $$ \mathbf{b} = 5\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k} $$，則：
$$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (2)(5) + (3)(-1) + (4)(2) = 10 - 3 + 8 = 15 $$
看到了嗎？答案只是一個數字，15。很簡單吧！
點積的性質（遊戲規則）
這些性質非常有用，而且經常被考驗。務必確保你理解它們！
- 交換性：次序不影響結果。
$$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} $$ - 分配性：你可以像一般代數一樣展開括號。
$$ \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} $$ - 標量乘法：常數 $$ \lambda $$ 可以移位。
$$ \mathbf{a} \cdot (\lambda\mathbf{b}) = \lambda(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) $$ - 自身點積：這是一個非常重要的性質！一個向量與自身的點積等於其大小的平方。
$$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2 $$
因為大小是長度，$$|\mathbf{a}|^2$$ 總是非負的 ($$\ge 0$$)。此外，當且僅當 $$ \mathbf{a} $$ 是零向量時，$$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = 0 $$。
點積的超棒應用
這就是我們學習它的原因！點積有一些非常實用的應用。
應用 1：找出兩個向量之間的夾角
這是一個經典的考試問題。通過重新排列幾何公式，我們可以得到一個找出任何角度的工具。
夾角公式： $$ \cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} $$
循序漸進指南：
- 使用分量公式計算點積 $$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} $$。
- 計算大小 $$ |\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} $$ 和 $$ |\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} $$。
- 將這三個數值代入公式，找出 $$ \cos\theta $$ 的值。
- 使用計算機上的反餘弦函數 ($$ \cos^{-1} $$) 來找出角度 $$ \theta $$。
應用 2：檢查垂直向量（正交性）
如果兩個向量互相垂直（正交），會發生什麼事呢？它們之間的夾角是 $$ 90^\circ $$，而且我們都知道 $$ \cos(90^\circ) = 0 $$。
這引導出一個簡單而強大的檢測方法：
垂直檢測：兩個非零向量 a 和 b 互相垂直當且僅當它們的點積為零。
$$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \iff \mathbf{a} \perp \mathbf{b} $$
把這想像成一個「垂直探測器」。如果有人要求你證明兩個向量互相垂直，只需計算它們的點積。如果結果是 0，你就完成了！
應用 3：找出向量的投影
投影就像找出一個向量在另一個向量上的「影子」。想像光源直接在向量 a 的正上方。它投射在向量 b 上的影子就是它的投影。
標量投影（影子的長度），即 a 在 b 上的投影長度，是： $$ \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|} $$
向量投影（作為實際向量的影子），即 a 在 b 上的投影向量，是： $$ \left( \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2} \right) \mathbf{b} $$
不要被公式嚇倒！括號內的部分只是一個標量（一個數字）。所以你只是找出一個數字，然後將它乘以向量 b。
標量積重點歸納
- 結果是標量（一個數字）。
- 它量度兩個向量的「對齊程度」。
- 重要公式： $$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos\theta $$ 和 $$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 $$。
- 主要用途：找出向量之間的夾角，以及檢查垂直向量 ($$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 $$)。
第二部分：向量積（或稱叉積）
向量積是什麼？
同樣地，名稱說明了一切！向量積的結果是一個新的向量。此運算只適用於三維空間 (R³) 中的向量。
它被稱為叉積，因為其符號是 $$ \times $$，例如 $$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} $$。
最重要的是要記住，所得的向量 $$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} $$ 垂直於 a 和 b 兩者。它指向包含 a 和 b 的平面之外。
真實世界類比：想想使用扳手的情況。你有所施力的扳手柄向量和施力向量。這兩個向量的叉積會給你一個新向量：力矩，它會沿著螺栓的軸線指向，要麼擰緊它，要麼鬆開它。
如何運作：大小和方向
向量具有大小和方向，所以我們需要為 $$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} $$ 定義兩者。
1. 大小
所得向量的大小（長度）由一個公式給出，這個公式與點積的公式非常相似，只是用正弦（sine）代替了餘弦（cosine）。
大小公式： $$ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin\theta $$
其中 $$ \theta $$ 是 a 和 b 之間的夾角。
2. 方向：右手定則
$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} $$ 的方向是使用右手定則來找出的。這是一個你必須知道的關鍵物理動作！
- 伸出你的右手。
- 將食指指向第一個向量 (a) 的方向。
- 將其餘手指彎曲指向第二個向量 (b) 的方向。
- 你的拇指現在指向新向量 $$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} $$ 的方向。
常見錯誤警報：務必使用你的右手。使用左手會給你相反的方向！
公式小天地：使用行列式進行分量計算
從分量計算叉積可能看起來很嚇人，但如果你使用 3x3 矩陣的行列式，它會非常有條理。這是避免錯誤的最佳方法。
設 $$ \mathbf{a} = a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k} $$ 及 $$ \mathbf{b} = b_1\mathbf{i} + b_2\mathbf{j} + b_3\mathbf{k} $$。
$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} $$現在，我們展開這個行列式：
$$ = \mathbf{i} \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} $$簡化為：
$$ = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k} $$記憶技巧：展開行列式時，請記住正負號的棋盤格模式（+、-、+）。中間的 'j' 分量會得到一個負號！
叉積的性質（規則不同！）
要非常小心！叉積的行為與一般的乘法不同。
- 反交換性：次序非常重要！如果你交換向量，結果的符號（和方向）會顛倒。
$$ \mathbf{b} \times \mathbf{a} = -(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) $$ - 自身叉積：任何向量與自身（或任何平行向量）的叉積是零向量。這是因為 $$ \theta = 0 $$，而 $$ \sin(0) = 0 $$。
$$ \mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0} $$ - 分配性：括號仍然可以像你預期那樣展開。
$$ \mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c} $$ - 拉格朗日恆等式：點積和叉積之間一個有用的聯繫。
$$ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 $$
叉積的超棒應用
這正是叉積在幾何學中真正大放異彩的地方。
應用 1：找出平行四邊形或三角形的面積
叉積的大小 $$ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| $$ 具有一個美妙的幾何意義：
平行四邊形面積：由向量 a 和 b 構成的平行四邊形的面積正是 $$ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| $$。
三角形面積：由向量 a 和 b 構成的三角形的面積是平行四邊形面積的一半。
面積公式： $$ \text{Area}_{\text{triangle}} = \frac{1}{2} |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| $$
循序漸進指南：
- 取出構成你形狀邊的兩個向量（例如，三角形的 $$ \vec{AB} $$ 和 $$ \vec{AC} $$）。
- 計算它們的叉積，$$ \vec{AB} \times \vec{AC} $$。這會給你一個新向量。
- 找出這個新向量的大小。
- 如果你在計算三角形的面積，記得要除以 2！
應用 2：檢查平行向量（共線性）
如果兩個向量平行，它們之間的夾角是 $$ 0^\circ $$ 或 $$ 180^\circ $$。對於這兩個角度，$$ \sin\theta = 0 $$。這給了我們一個檢查平行向量的簡單方法。
平行檢測：兩個非零向量 a 和 b 互相平行當且僅當它們的叉積為零向量。
$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0} \iff \mathbf{a} \parallel \mathbf{b} $$
向量積重點歸納
- 結果是一個新的向量，垂直於兩個原始向量。
- 它只適用於三維向量。
- 大小： $$ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta $$。方向：右手定則。
- 主要用途：找出平行四邊形/三角形的面積，以及檢查平行向量 ($$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0} $$)。
最後總結：點積與叉積
點積 ($$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} $$)
- 結果是... 標量（數字）
- 幾何意義... 量度對齊程度，與投影相關 ($$\cos\theta$$)
- 次序重要嗎？ 不。 $$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} $$
- 關鍵檢測... $$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 $$ 表示向量互相垂直。
叉積 ($$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} $$)
- 結果是... 向量（垂直於 a 和 b 兩者）
- 幾何意義... 大小是平行四邊形的面積 ($$\sin\theta$$)
- 次序重要嗎？ 是的！ $$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a}) $$
- 關鍵檢測... $$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0} $$ 表示向量互相平行。
這一章的內容就是這些了！掌握這些概念的最佳方法就是不斷練習、練習、再練習。畫圖來幫助你視覺化所發生的事情，並小心你的計算，特別是行列式中的負號。你一定可以的！