親愛的數學小超人！歡迎來到大數字的世界！
準備好展開一場刺激的數學探險了嗎？在這章中，我們將學習如何運用四個基本運算：加法、減法、乘法和除法，來處理大數字。把它們想成你在數學上的四種超能力吧！
掌握這些技巧，能幫助你解決各種生活中的問題，從計算你的儲蓄到和朋友分享零食，都少不了它們喔！一開始覺得有點難也不用擔心，我們會把每個步驟都拆解得清清楚楚。你一定能學會的！
多位數乘法（快速加法大師！）
乘法是把同一個數字重複相加的快捷方法。當我們處理較大的數字時，我們會使用豎式計算，讓所有步驟都整整齊齊、一目了然。
乘以一位數
假設一間麵包店每小時製作164塊曲奇。那麼，3小時內他們能製作多少塊呢？我們要計算 164 × 3。
這裡有逐步指南：
1. 設置算式： 把較大的數字寫在上面，較小的數字寫在下面，並將個位對齊。
$$
\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c}
& 1 & 6 & 4 \\
\times & & & 3 \\
\hline
\end{array}
$$
2. 乘以個位： 用下面的數字乘以上面數字的個位。4 × 3 = 12。在個位寫下 2，然後將 1 進位到十位。
$$
\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c}
& 1 & \overset{1}{6} & 4 \\
\times & & & 3 \\
\hline
& & & 2 \\
\end{array}
$$
3. 乘以十位： 用下面的數字乘以上面數字的十位。6 × 3 = 18。現在，加上我們之前進位的 1：18 + 1 = 19。在十位寫下 9，然後將 1 進位到百位。
$$
\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c}
& \overset{1}{1} & \overset{1}{6} & 4 \\
\times & & & 3 \\
\hline
& & 9 & 2 \\
\end{array}
$$
4. 乘以百位： 用下面的數字乘以上面數字的百位。1 × 3 = 3。加上我們之前進位的 1：3 + 1 = 4。在百位寫下 4。
$$
\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c}
& \overset{1}{1} & \overset{1}{6} & 4 \\
\times & & & 3 \\
\hline
& 4 & 9 & 2 \\
\end{array}
$$
所以，這間麵包店在3小時內製作了 492 塊曲奇！
乘以兩位數
這就像進行兩次較小的乘法，然後把結果加起來。我們來試試 53 × 24 吧。
逐步指南：
1. 設置算式：
$$
\begin{array}{@{}c@{\,}c}
& 5 & 3 \\
\times & 2 & 4 \\
\hline
\end{array}
$$
2. 乘以個位數 (4)： 首先，用 53 乘以 4，就像我們之前做的那樣。53 × 4 = 212。
$$
\begin{array}{@{}c@{\,}c}
& \overset{1}{5} & 3 \\
\times & 2 & 4 \\
\hline
2 & 1 & 2 \\
\end{array}
$$
3. 乘以十位數 (2)： 現在我們用 53 乘以 20。一個簡單的小技巧是先乘以 2，然後在個位數加上一個 補位零。為甚麼呢？因為我們乘的是 2 個十，而不是單純的 2 喔！
$$
\begin{array}{@{}c@{\,}c}
& 5 & 3 \\
\times & 2 & 4 \\
\hline
2 & 1 & 2 \\
10 & 6 & \mathbf{0} \\
\end{array}
$$
（這裡，我們是先算 53 × 2 = 106，然後補上零。）
4. 加起來： 把兩個結果加在一起，就得到最終答案了。
$$
\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c}
& & 5 & 3 \\
& \times & 2 & 4 \\
\hline
& 2 & 1 & 2 \\
+ & 10 & 6 & 0 \\
\hline
& 12 & 7 & 2 \\
\end{array}
$$
最終答案是 1272。你做得太棒了！
重點提示
做乘法時，永遠要記住：
- 小心對齊數字。
- 結果是10或以上時要記得進位。
- 當乘以十位數時，記得加上一個 補位零。
多位數除法（快速分享大師！）
除法能幫助我們平均分配物品，或者找出一個數字可以包含另一個數字多少次。我們使用一種叫做長除法的方法。
你知道嗎？長除法的步驟可以用一個有趣的小口訣來記住：「Does McDonald's Sell Burgers?」（除、乘、減、拉下來）。
除以一位數
想像你有459張貼紙，要平均分給3個朋友。讓我們來解 459 ÷ 3 吧。
逐步指南：
1. 設置算式： 畫出長除法的符號。
$$ 3 \overline{)459} $$
2. 除百位數： 3 可以放進 4 多少次？可以放進 1 次。在 4 的上方寫上 1。
$$
\begin{array}{@{}r}
1 \\
3 \overline{)459} \\
\end{array}
$$
3. 相乘並相減： 1 × 3 = 3。在 4 的下面寫上 3，然後相減。4 - 3 = 1。
$$
\begin{array}{@{}r}
1 \\
3 \overline{)459} \\
-3\phantom{00} \\
\hline
1\phantom{00} \\
\end{array}
$$
4. 拉下來： 將下一個數字 (5) 拉下來，放在 1 旁邊，形成 15。
$$
\begin{array}{@{}r}
1 \\
3 \overline{)459} \\
-3\downarrow\phantom{0} \\
\hline
15\phantom{0} \\
\end{array}
$$
5. 重複步驟： 現在，3 可以放進 15 多少次？可以放進 5 次。在上面寫上 5。
相乘：5 × 3 = 15。
相減：15 - 15 = 0。
拉下來： 拉下 9。
$$
\begin{array}{@{}r}
153 \\
3 \overline{)459} \\
-3\phantom{0}\downarrow \\
\hline
15\phantom{0} \\
-15\downarrow \\
\hline
09 \\
-9 \\
\hline
0 \\
\end{array}
$$
6. 再次重複： 3 可以放進 9 多少次？可以放進 3 次。在上面寫上 3。
相乘：3 × 3 = 9。
相減：9 - 9 = 0。
沒有更多的數字可以拉下來了，餘數是 0。
每個朋友都分到 153 張貼紙！
如果有剩餘的怎麼辦？那就是餘數！
有時候，數字不能完美地被除盡。剩下的部分就叫做 餘數。
例子：86 ÷ 5
$$ \begin{array}{@{}r} 17 \\ 5 \overline{)86} \\ -5\downarrow \\ \hline 36 \\ -35 \\ \hline 1 \\ \end{array} $$答案是 17 餘 1。這表示你可以分成 17 組，每組有 5 個，然後還會剩下 1 個。
重點提示
做除法時，請記住這個模式：
- 除
- 乘
- 減
- 拉下來
- 重複這些步驟，直到沒有數字可以再拉下來為止！
混合運算（數學公路的交通規則！）
如果一個算式裡同時有加法、減法、乘法和除法，該怎麼辦呢？你不能只是從左到右一直算下去！你必須遵守 運算次序。把它們想成數學的交通規則，這樣大家才不會「撞車」！
兩條簡單的規則
1. 括號優先！ 永遠先解決括號 () 裡面的部分。它們是最重要的。
2. 先乘除，後加減。 乘法和除法是好拍檔。加法和減法也是好拍檔。你必須先處理第一對拍檔，才能處理第二對拍檔。
一個簡單的記憶方法：
括號最重要！
乘除好拍檔，一起去約會。
加減排隊等！
讓我們來做幾個例子吧！
例子一：50 - 6 × 3
- 沒有括號。
- 先做乘法：6 × 3 = 18。
- 然後做減法：50 - 18 = 32。
- 答案：32
例子二：(15 + 5) ÷ 4
- 括號優先！15 + 5 = 20。
- 然後做除法：20 ÷ 4 = 5。
- 答案：5
例子三：10 + 24 ÷ (8 - 5)
- 括號優先：8 - 5 = 3。
- 算式現在變成：10 + 24 ÷ 3。
- 接著，做除法：24 ÷ 3 = 8。
- 最後，做加法：10 + 8 = 18。
- 答案：18
常見錯誤警報！
在像 10 - 4 + 2 這樣的算式中，有些人可能會先計算 4 + 2。這是錯的！因為減法和加法是「好拍檔」，我們只需要從 左到右 依序計算。
正確做法：10 - 4 = 6，然後 6 + 2 = 8。
乘法和除法也是一樣的道理喔！
重點提示
運算次序非常重要！
- 括號 ()
- 乘法 (×) 和 除法 (÷) （由左到右）
- 加法 (+) 和 減法 (−) （由左到右）
估算（聰明地猜猜看！）
估算是一種很棒的技巧。它可以幫助你快速猜出一個答案，看看你的最終計算結果是否合理。這就像檢查你的答案是否在「合理範圍」內。我們透過 四捨五入 數字，讓它們更容易計算。
如何四捨五入
- 找出 你要四捨五入的位數（例如，到最接近的十位）。
- 看看 它右邊的數字。
- 如果是 5 或以上，將這個位數的數字進一。
- 如果是 4 或以下，這個位數的數字保持不變。
例子：將 38 四捨五入到最接近的十位。「3」右邊的數字是「8」。因為 8 是「5 或以上」，所以我們將 3 進一變成 4。因此，38 四捨五入後是 40。
例子：將 123 四捨五入到最接近的百位。「1」右邊的數字是「2」。因為 2 是「4 或以下」，所以我們保持 1 不變。因此，123 四捨五入後是 100。
使用估算來檢查你的算式
假設你算出了 397 × 12 = 4764。這個答案對不對呢？讓我們來估算一下！
- 將 397 四捨五入到最接近的百位：400。
- 將 12 四捨五入到最接近的十位：10。
- 現在計算這些簡單的數字：400 × 10 = 4000。
我們的估算結果是 4000，而我們的答案是 4764。它們非常接近呢！所以我們的答案很可能是正確的。如果我們得到的答案是 47,640，我們的估算就會告訴我們犯了一個大錯誤了！
重點提示
估算 就是你的私人錯誤檢查員！將算式中的數字四捨五入到最接近的十位或百位，計算簡單的版本，然後看看你的準確答案是否接近。
應用題解題（化身數學偵探！）
應用題其實就是用句子寫成的數學謎題。要解決它們，你需要化身偵探，找出線索！
你的四步解題任務
1. 閱讀並理解： 仔細閱讀題目。這個故事是關於什麼的？你需要回答什麼問題？
2. 尋找線索（關鍵字）： 尋找那些告訴你應該使用哪種運算的詞語。
- 加法： 一共、總共、總和、全部
- 減法： 多多少、差、剩下、少於
- 乘法： 每個、積、多少組、多少倍
- 除法： 平均分配、分開、每組得到、平均數
3. 制定計劃並解決： 寫下算式（方程式）。然後，仔細地進行計算。有些問題可能需要不止一個步驟！
4. 檢查答案： 再次閱讀問題。你的答案合理嗎？（例如：如果你在分享曲奇，你不可能分到比原來更多的曲奇！） 用估算快速檢查一下。
讓我們來偵破一個案件吧！
問題：「圖書館有15個書架。每個書架可以放250本書。如果借出了85本書，圖書館還剩下多少本書？」
1. 理解： 我們需要先找出書本的總數，然後再找出借出一些書後還剩下多少本。
2. 線索： 「15個書架，每個書架可以放250本書」聽起來是乘法。「剩下」聽起來是減法。這是一個兩步驟問題！
3. 計劃並解決：
步驟一： 找出書本的總數。
$$ 250 \times 15 = 3750 $$
步驟二： 減去被借出的書本。
$$ 3750 - 85 = 3665 $$
4. 檢查： 估算：250 × 15 大約是 250 × 10 = 2500，加上它的一半（1250），就是 3750。不錯。然後 3750 - 85 大約是 3750 - 100 = 3650。我們的答案 3665 非常接近！這很合理。
答案： 圖書館還剩下 3665 本書。案件解決！
重點提示
你真是個了不起的數學偵探！只要按照這四個步驟（閱讀、線索、解決、檢查），你就能解決任何擺在你面前的應用題。繼續努力練習，你就會成為大數字的數學高手了！