你好，數學小超人！
歡迎來到奇妙的分數世界！你有沒有試過，跟朋友分享薄餅？如果你的薄餅切成6塊，而朋友的薄餅切成8塊，要比較誰吃得多，是不是有點難呢？在這些筆記裏，我們就會學習如何解決這些問題了。
就算分數的底數（分母）不同，我們也能成為分數加法、減法和比較大小的高手呢！聽起來可能有點複雜，但不用擔心！我們會一步一步學習，你很快就會成為分數大師了。一起開始吧！
極速重溫：我們已經學了甚麼！
在學習新知識前，讓我們先重溫一下分數的重點概念。
甚麼是分數？
分數代表整體的一部分。它有兩個主要部分：
分子：上面的數字。它告訴我們擁有多少「部分」。
分母：下面的數字。它告訴我們把整體平均分成多少「份」。
例子：在分數 $$ \frac{3}{4} $$ 中，我們有3個部分，而整體平均分成4個部分。
分數的種類
真分數：分子比分母小。（例子：$$ \frac{1}{2} $$、$$ \frac{5}{8} $$）
假分數：分子比分母大，或者分子和分母相等。（例子：$$ \frac{5}{4} $$、$$ \frac{3}{3} $$）
帶分數：一個整數和一個真分數組成的數。（例子：$$ 1\frac{1}{4} $$）
同分母分數的加減法
這部分很簡單！當分母相同時，你只需把分子相加或相減。分母保持不變！
例子：$$ \frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7} $$
大挑戰：異分母分數
如果我們想計算 $$ \frac{1}{2} $$ 加 $$ \frac{1}{4} $$ 呢？我們不能直接把上面的數字相加。想一想：一個切成兩半的薄餅，其中一塊薄餅片，肯定比一個切成四塊的薄餅，其中一塊薄餅片要大得多。如果直接把不同大小的薄餅片加起來，就不公平了！
黃金法則：要進行分數加減運算，它們必須有相同的分母。
所以，我們的任務就是讓分母變得相同。怎麼做呢？我們給它們「大變身」，變成等值分數！
我們的超能力：找公分母
公分母是一個能同時被兩個分數原有分母整除的數字。最好用的公分母就是「最小公倍數 (LCM)」了。它就是兩個分母的「乘數表」中，最小的那個共同數字。
如何找出最小公倍數 (LCM)
讓我們為分數 $$ \frac{1}{4} $$ 和 $$ \frac{1}{6} $$ 找出它們的最小公倍數。
- 列出第一個分母（4）的倍數（乘數表）：4、8、12、16、20...
- 列出第二個分母（6）的倍數：6、12、18、24...
- 在這兩個清單中，你找到的第一個共同數字就是最小公倍數！在這裡，它是12。
所以，12就是我們新的、超級棒的公分母！
記憶小貼士：把它想像成是為兩個分母找一個「共同朋友」吧！
異分母分數加法
讓我們一步一步解決 $$ \frac{1}{4} + \frac{1}{6} $$ 吧。
步驟一：找出最小公倍數 (LCM)
我們剛剛已經找到了！4 和 6 的最小公倍數是12。這將會是我們新的分母。
步驟二：變成等值分數
我們需要把兩個分數都變成以12為分母。記住這個重要的技巧：分母做了甚麼，分子也要跟著做！
對於 $$ \frac{1}{4} $$：要從4變成12，我們乘以3。所以，我們也必須把分子乘以3。
$$ \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12} $$
對於 $$ \frac{1}{6} $$：要從6變成12，我們乘以2。所以，我們也必須把分子乘以2。
$$ \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12} $$
步驟三：把新分數相加
現在分母一樣了，我們就可以直接把分子相加！
$$ \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{3+2}{12} = \frac{5}{12} $$
我們的答案是 $$ \frac{5}{12} $$。棒極了！
重點提示
異分母分數加法：
1. 找出最小公倍數 (LCM) -> 2. 變成等值分數 -> 3. 分子相加
異分母分數減法
猜猜看？減法也用一模一樣的步驟！唯一的不同，就是最後你要把分子相減。讓我們試試計算 $$ \frac{2}{3} - \frac{1}{4} $$。
步驟一：找出最小公倍數 (LCM)
3的倍數：3、6、9、12、15...
4的倍數：4、8、12、16...
最小公倍數是12。
步驟二：變成等值分數
對於 $$ \frac{2}{3} $$：3 x 4 = 12。所以，$$ \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} $$
對於 $$ \frac{1}{4} $$：4 x 3 = 12。所以，$$ \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12} $$
步驟三：把新分數相減
$$ \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{8-3}{12} = \frac{5}{12} $$
看到了嗎？你一定做得到！
小心！常見錯誤
一個非常常見的錯誤是把分母也相加或相減。千萬不要這樣做！分母是告訴你「一份有多大」。當你進行加減運算時，「一份的大小」是不會改變的。
錯誤例子（切勿模仿）：$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \neq \frac{2}{5} $$
混合運算（加減法一起來）
有時候一道題目會同時有加法和減法。沒問題！我們只需為「所有」分數找出公分母，然後從左到右來計算。
讓我們來計算：$$ \frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{5}{8} $$
步驟一：找出所有三個分母（2、4和8）的最小公倍數 (LCM)
2的倍數：2、4、6、8、10...
4的倍數：4、8、12...
8的倍數：8、16...
三者的最小公倍數是8。
步驟二：變成等值分數
$$ \frac{1}{2} = \frac{1 \times 4}{2 \times 4} = \frac{4}{8} $$
$$ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{6}{8} $$
$$ \frac{5}{8} $$ （這個分數已經是正確的分母了！真幸運！）
步驟三：從左到右計算
我們的新算式是：$$ \frac{4}{8} + \frac{6}{8} - \frac{5}{8} $$
首先，進行加法：$$ \frac{4}{8} + \frac{6}{8} = \frac{10}{8} $$
然後，進行減法：$$ \frac{10}{8} - \frac{5}{8} = \frac{5}{8} $$
最後的答案是 $$ \frac{5}{8} $$。
重點提示
進行混合運算時，先找出所有分數的公分母，然後一步一步地從左到右計算。
分數比較大小
哪一個分數比較大呢？$$ \frac{2}{3} $$ 還是 $$ \frac{3}{4} $$？單憑肉眼很難分辨出來。但如果我們給它們找出公分母，就會變得超級簡單了！
- 找出分母（3和4）的最小公倍數 (LCM)。最小公倍數是12。
- 變成等值分數：
$$ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} $$
$$ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} $$
- 比較分子。現在我們比較 $$ \frac{8}{12} $$ 和 $$ \frac{9}{12} $$。由於9比8大，所以我們知道：
$$ \frac{9}{12} $$ 比 $$ \frac{8}{12} $$ 大，這就表示 $$ \frac{3}{4} $$ 比 $$ \frac{2}{3} $$ 大。
你知道嗎？
分數中分隔分子和分母的那條線，叫做分數線 (vinculum)。它是一個拉丁詞，意思是「連接」或「連結」。