章節：乘法 (三位數)

哈囉，各位超強數學家！歡迎來到這個刺激的更大數字乘法世界。你有沒有想過，一間商店是怎麼知道100個罐子裡有多少粒糖果呢？又或者要建造一幅大牆需要多少塊磚頭？他們都用乘法！

在這個章節裡，我們將會學習三位數的乘法。聽起來可能很有挑戰性，但別擔心！我們會將它分解成簡單又容易的步驟。到最後，你就能像專家一樣解決這些大問題了。我們開始吧！


快速重溫：什麼是乘法？

請記住，乘法只是一種快速進行重複加法的方法。它就像擁有超能力一樣，能把數字加得飛快！

例如，$$4 \times 3$$ 就等於 $$4 + 4 + 4$$，答案是12。

快速重溫小提示

熟記乘數表（或九因歌）超級重要！它能讓所有事情都變得更容易。每天都要練習喔！


三位數乘以一位數

我們來熱身一下，試試你可能以前看過的東西。我們將用豎式計算，把一個大數字乘以一個小數字。

逐步指南：不用進位

我們來試試解決 $$123 \times 3$$。

我們總是從右邊的個位開始算起！

第一步：乘以個位
首先，用上面數字的個位 (3) 乘以下面數字 (3)。
$$3 \times 3 = 9$$
將9寫在答案的個位上。

$$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & 1 & 2 & 3 \\ \times & & & 3 \\ \hline & & & 9 \\ \end{array} $$

第二步：乘以十位
接著，用上面數字的十位 (2) 乘以下面數字 (3)。
$$2 \times 3 = 6$$
將6寫在十位上。

$$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & 1 & 2 & 3 \\ \times & & & 3 \\ \hline & & 6 & 9 \\ \end{array} $$

第三步：乘以百位
最後，用上面數字的百位 (1) 乘以下面數字 (3)。
$$1 \times 3 = 3$$
將3寫在百位上。

$$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & 1 & 2 & 3 \\ \times & & & 3 \\ \hline & 3 & 6 & 9 \\ \end{array} $$

所以，$$123 \times 3 = 369$$。看！你做到了！

逐步指南：需要進位

有時候，某一欄的答案是10或以上。當這種情況發生時，我們就需要進行進位。這就像把一個數字傳遞給它的鄰居保管一樣！

我們來試試 $$145 \times 4$$。

第一步：乘以個位
$$5 \times 4 = 20$$
這是一個兩位數字！我們將0寫在個位上，並將小小的2進位到十位的上面。

$$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & 1 & \overset{2}{4} & 5 \\ \times & & & 4 \\ \hline & & & 0 \\ \end{array} $$

第二步：乘以十位（並加上進位的數字！）
$$4 \times 4 = 16$$
現在，加上我們進位的小2：$$16 + 2 = 18$$。
將8寫在十位上，並將小小的1進位到百位的上面。

$$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & \overset{1}{1} & \overset{2}{4} & 5 \\ \times & & & 4 \\ \hline & & 8 & 0 \\ \end{array} $$

第三步：乘以百位（並加上進位的數字！）
$$1 \times 4 = 4$$
現在，加上我們進位的小1：$$4 + 1 = 5$$。
將5寫在百位上。

$$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & \overset{1}{1} & \overset{2}{4} & 5 \\ \times & & & 4 \\ \hline & 5 & 8 & 0 \\ \end{array} $$

太棒了！最終的答案，或者說積，是580。

常見錯誤，要避免！

一個非常常見的錯誤就是忘記加上進位的數字。在寫下最終數字之前，一定要看看那一欄上面有沒有小小的進位數字喔！

重點提示

當你進行乘法運算時，要從右到左（個位 -> 十位 -> 百位）開始計算。永遠記得要加上所有你進位的數字！


升級挑戰！三位數乘以兩位數

你做得太棒了！現在，我們來試試乘以一個兩位數字。如果一開始覺得有點難，別擔心。這只是將兩個小問題合併成一個！

你可以這樣想：要解決 $$234 \times 21$$，我們會先解決 $$234 \times 1$$，然後再解決 $$234 \times 20$$。最後，我們將這兩個答案加起來！

逐步指南

我們一起來解決 $$234 \times 21$$。

第一部分：乘以個位數字 (1)
首先，我們忽略「21」中的「2」，只用234乘以1。這很簡單吧！
$$234 \times 1 = 234$$
將這個數字寫在答案的第一行。

$$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & 2 & 3 & 4 \\ \times & & & 2 & 1 \\ \hline & & 2 & 3 & 4 \\ \end{array} $$

第二部分：乘以十位數字 (2)，並用上魔法零！
現在我們要乘以「21」中的「2」。等等！那個「2」在十位上，所以它其實是20。
為了表示這一點，我們在第二行的個位上放一個補位零（我們的魔法零！）。這是非常重要的一步！

$$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & 2 & 3 & 4 \\ \times & & & 2 & 1 \\ \hline & & 2 & 3 & 4 \\ & & & & 0 \\ \end{array} $$

現在，我們可以像之前一樣，將234乘以2。
$$4 \times 2 = 8$$
$$3 \times 2 = 6$$
$$2 \times 2 = 4$$
將468寫在零的旁邊。

$$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & 2 & 3 & 4 \\ \times & & & 2 & 1 \\ \hline & & 2 & 3 & 4 \\ + & 4 & 6 & 8 & 0 \\ \hline \end{array} $$

第三部分：全部加起來！
最後一步是將你的兩行答案加起來。畫一條線，然後一欄一欄地把它們加起來。

$$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & 2 & 3 & 4 \\ \times & & & 2 & 1 \\ \hline & & 2 & 3 & 4 \\ + & 4 & 6 & 8 & 0 \\ \hline & 4 & 9 & 1 & 4 \\ \end{array} $$

最終答案是 4,914。做得太棒了！

重點提示

當你乘以十位數字時，補位零是你的好朋友。它能確保你所有的數字都對齊！


用估算來檢查你的答案

你怎麼知道你的大答案是否正確呢？你可以使用估算！這就像是一個聰明的猜測，看看你的答案是否在大約的範圍內。

假設我們想估算 $$156 \times 34$$ 的答案。

1. 將數字約成整數，讓它們更容易計算。 - 156大約是200。 - 34大約是30。
2. 乘以約成的數字。 - $$200 \times 30 = 6000$$
$$156 \times 34$$ 的真實答案是5304。因為5304很接近我們估算的6000，所以我們可以很確定我們的答案是正確的！如果我們算出了530，我們就知道自己犯錯了。


解決應用題

乘法無處不在！我們來看看如何用它來解決一個真實世界的問題。

問題：一位農夫有115棵蘋果樹。如果每棵樹都長出25個蘋果，那麼這位農夫總共有多少個蘋果呢？

解題步驟：

1. 找出關鍵數字：115棵樹和25個蘋果。

2. 決定運算方式：我們需要找出許多相同份數的總和，所以是乘法。

3. 進行計算：$$115 \times 25$$

$$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & & \overset{2}{1} & \overset{2}{1} & 5 \\ \times & & & 2 & 5 \\ \hline & & 5 & 7 & 5 \\ + & 2 & 3 & 0 & 0 \\ \hline & 2 & 8 & 7 & 5 \\ \end{array} $$

4. 寫下最終答案：農夫總共有2,875個蘋果。

重點提示

你現在是三位數乘法的專家了！請記住要一步一步來，注意進位，用上魔法零，並用估算來檢查你的答案。繼續練習，你就會成為數學超級英雄！