歡迎來到面積與體積的世界！

各位同學好！準備好探索平面圖形和立體圖形的奇妙世界了嗎？在這個單元，我們將會學習面積和體積。

那麼，為什麼這些這麼重要呢？想像一下，如果你想油漆房間，你需要知道牆壁的面積，才可以買到剛好的油漆份量。又或者，如果你要灌滿一個泳池，你就要知道它的體積，才可以計算裝到多少水。看，這些知識在日常生活裡面非常有用！
初頭覺得有些難都不用擔心。我們會將它拆解成簡單的步驟，用有趣的例子，到最後你就會成為量度圖形的高手了！我們一起開始吧。


第一部分：快速重溫二維圖形

在我們跳入三維世界之前，讓我們快速重溫平面二維圖形的基本概念吧。這是所有知識的基礎。

周界：邊界的長度

你可以將周界想像成沿著一個圖形的邊界走一圈。它就是邊界的總長度。

例子：圍繞花園的圍欄長度就是它的周界。

面積：內部的空間

面積是一個圖形所覆蓋的平面空間量。它以平方單位量度，像 $$cm^2$$ 或者 $$m^2$$。

例子：鋪設地毯所需的面積就是地板的面積。

快速重溫盒：基本面積公式

你可能以前見過這些公式，但這裡有一份方便你記住的清單！

正方形： $$ A = \text{side} \times \text{side} = s^2 $$
長方形： $$ A = \text{length} \times \text{width} = l \times w $$
三角形： $$ A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} = \frac{1}{2}bh $$
圓形： $$ A = \pi \times \text{radius}^2 = \pi r^2 $$
圓周： $$ C = 2 \times \pi \times \text{radius} = 2\pi r $$


第二部分：圓形的切片—弧形和扇形

現在我們集中看圓形的一部分。這裡就很有趣了！

什麼是弧形和扇形？

想像一下一件披薩 (pizza)。一塊披薩就叫做扇形。那塊披薩的餅皮邊緣就叫做弧形。

  • 扇形：圓形的一個切片，像一塊派。
  • 弧形：圓周的一部分，像披薩邊緣。

如何計算弧長

弧長只是整個圓周的一部分。這個部分的大小取決於圓心角（我們叫它做 $$ heta$$）。

逐步指南：

1. 找出圓形所佔的分數。整個圓形是 $$360^\circ$$，所以分數是 $$\frac{\theta}{360}$$。
2. 用公式 $$C = 2\pi r$$ 找出整個圓形的圓周。
3. 將分數乘以整個圓周。

公式：

$$ \text{弧長} = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r $$

如何計算扇形面積

也是一樣的道理！扇形面積只是整個圓形面積的一部分。

逐步指南：

1. 找出圓形所佔的分數：$$\frac{\theta}{360}$$。
2. 用公式 $$A = \pi r^2$$ 找出整個圓形的面積。
3. 將分數乘以整個面積。

公式：

$$ \text{扇形面積} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 $$

將所有結合：複合圖形

一個複合圖形是由兩個或更多基本圖形組成的形狀。例如，一個由長方形和兩個半圓形組成的溜冰場形狀。

秘訣很簡單：將那個巨大而奇特的形狀，拆解成你已經懂得計算的細小、簡單圖形！

例子：要找出一個「溜冰場」形狀的面積，你可以計算中間長方形的面積，然後計算兩邊兩個半圓形的面積 (加起來就是一個完整圓形)，最後將它們全部加起來就可以了。

第二部分要點

要找出弧長或扇形面積，只需找出整個圓形的量度結果，再乘以你想要的圓形部分所佔的分數（$$\frac{\theta}{360}$$）。對於複合圖形，拆解它們就可以了！


第三部分：歡迎來到三維世界—找體積

現在我們由平面圖形轉向立體物件。體積是一個立體物件所佔的空間量。

比喻：你可以將體積想像成一個物件裡面可以裝多少水、沙或者空氣。它以立方單位量度，像 $$cm^3$$ 或者 $$m^3$$。

柱體和圓柱體

這些形狀的底部和頂部都有相同的底面。

  • 一個柱體以多邊形作為底面（像三角形或者長方形）。想像一下三角巧克力盒（三角柱體）或者鞋盒（長方柱體）。
  • 一個圓柱體以圓形作為底面。想像一下汽水罐。

記憶小訣竅：萬用公式！
對於任何柱體或圓柱體，體積都非常容易找到：

$$ \text{體積} = \text{底面積} \times \text{高度} $$

所以對於圓柱體來說，底面是圓形（$$\pi r^2$$），那麼我們就有：

$$ V_{cylinder} = (\pi r^2) \times h $$

角錐體和圓錐體

這些是「尖頂」形狀。它們底部有底面，頂部會收窄為一個單點（頂點）。

  • 一個角錐體有多邊形底面。想像一下埃及的大金字塔。
  • 一個圓錐體有圓形底面。想像一下雪糕筒。

記憶小訣竅：「三分一」法則！
一個角錐體或者圓錐體的體積，是相同底面和高度的柱體或圓柱體體積的三分之一 (1/3)。像變魔術般神奇！

$$ \text{體積} = \frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高度} $$

所以對於圓錐體來說，公式是：

$$ V_{cone} = \frac{1}{3} (\pi r^2) \times h $$

球體

一個球體是一個完美的圓球體，像籃球或者行星。

這個公式有些不同，你只需要記住它就可以了。但它很棒！

$$ V_{sphere} = \frac{4}{3} \pi r^3 $$

常見錯誤提醒！注意球體體積的半徑是立方（$$r^3$$），而不是平方（$$r^2$$）！

第三部分要點

對於體積，記住兩個主要概念：
1. 柱體/圓柱體：底面積 × 高度。
2. 角錐體/圓錐體：它們只是同底同高柱體/圓柱體體積的 1/3 而已！


第四部分：外觀的故事—表面面積

表面面積是一個立體物件所有外表面積的總和。

比喻：你可以想像成完美地包裝一份禮物所需的包裝紙份量。它以平方單位（$$cm^2$$，$$m^2$$）量度，像普通面積一樣。

最佳策略：想像你可以將立體形狀「展開」成一個平面二維圖案（這個叫做「展開圖」）。然後你只需找出展開圖每個部分的面積，然後將它們全部加起來就可以了！

柱體和圓柱體

  • 柱體：展開它！一個長方柱體（一個盒子）會展開成 6 個長方形。只需找出每個面的面積，然後加起來。
  • 圓柱體：一個圓柱體會展開成兩個圓形（頂部和底部）和一個大長方形（彎曲的側面）。
    • 兩個圓形的面積 = $$2 \times \pi r^2$$
    • 長方形的面積 = $$ (2\pi r) \times h $$ （長方形的長度就是圓形的圓周！）
    所以，公式是： $$ SA_{cylinder} = 2\pi r^2 + 2\pi r h $$

角錐體和圓錐體

對於這些形狀，我們還需要一個新的量度：斜高 (l)。這是由圓錐體/角錐體的頂點沿著側面到底面邊緣的長度。它和正常的高度 (h) 是不同的！

  • 角錐體：表面面積是底面積 + 所有三角形側面的面積。
  • 圓錐體：它會展開成一個圓形（底面）和一個扇形的形狀（彎曲的表面）。
    • 底面積 = $$\pi r^2$$
    • 彎曲表面的面積 = $$\pi r l$$
    所以，公式是： $$ SA_{cone} = \pi r^2 + \pi r l $$

球體

這個是另一個要記住的，但它很優雅！

$$ SA_{sphere} = 4 \pi r^2 $$

你知道嗎？球體的表面面積竟然和四個相同半徑的圓形面積完全一樣！很酷吧？

第四部分要點

表面面積是形狀「外層」的面積。解決這些問題的最佳方法是思考形狀的展開圖（亦即是它展開之後的樣子），然後將每塊平面部分的面積加起來。


第五部分：進階圖形和精采連結

讓我們看看一些更進階的課題，將我們所有的知識串聯在一起。

平截頭體：被切掉頂部的圓錐體

一個平截頭體是當你將角錐體或圓錐體的頂部切掉之後得到的形狀。想像一下燈罩或者水桶。

計算它的體積或者表面面積聽起來似乎很難，但有個簡單的小訣竅：

「大形狀減去小形狀」法

想像原本完整的圓錐體（亦即是「大圓錐體」）。現在想像被切掉的小圓錐體。

  • 平截頭體的體積 = (大圓錐體的體積) - (小圓錐體的體積)
  • 平截頭體的表面面積 = (大圓錐體的曲面面積) - (小圓錐體的曲面面積) + (頂部圓形的面積) + (底部圓形的面積)
它只是一個減法謎題！

相似圖形：相同形狀，不同大小

如果兩個三維圖形其中一個只是另一個的放大或縮小版本，那麼它們就是相似圖形。例如，一輛小玩具車和它所模仿的真實汽車。

有一些很重要的法則，將它們的長度、面積和體積連結在一起。如果它們對應長度（像高度或者半徑一樣）的比例是 $$L_1 : L_2$$，那麼：

  • 它們表面面積的比例是 $$ (L_1)^2 : (L_2)^2 $$
  • 它們體積的比例是 $$ (L_1)^3 : (L_2)^3 $$

簡單記憶法：
- 長度是一維（只是一條線）。
- 面積是二維（以 $$cm^2$$ 量度），所以你要將長度比例平方。
- 體積是三維（以 $$cm^3$$ 量度），所以你要將長度比例立方。

第五部分要點

複雜的問題通常都可以用簡單的小技巧來解決。對於平截頭體，思考減法。對於相似圖形，記住面積要將比例平方，體積要將比例立方。