估算與誤差：你的「差不多！」指南
各位同學好！你有沒有試過跟朋友說「大概10分鐘後到」？或者聽說某個城市有「約200萬」人口？這就是估算！在本章中，我們將學習如何恰當地簡化數字，讓它們更容易處理。我們還會探討一個叫做「誤差」的概念。別擔心，這不代表你犯了錯！在數學上，「誤差」只是測量值與真確值之間的一個微小差異。
無論是煮飯、購物還是科學實驗，這都是一個在日常生活中超級實用的技能。那麼，我們就開始吧！
第一部分：估算的藝術
那麼，什麼是近似值？
近似值是一個接近真確值，但更為簡潔或方便使用的數字。我們很多時候無法得知真確值，或者根本不需要知道它。
例如，一個城鎮的真確人口可能是48,782人。但說它大約是49,000就容易得多了。
求近似值最常用的方法是四捨五入。
估算策略一：四捨五入法
這個方法你很可能以前見過！它只遵循一個簡單的規則。
四捨五入的黃金法則： 看要進位或捨去的位數右邊的數字。
- 如果該數字是5或以上（5、6、7、8、9），你便進位（將要捨去的位數加1）。
- 如果該數字是4或以下（4、3、2、1、0），它便保持不變（要捨去的位數不變）。
四捨五入後，要進位或捨去的位數右邊的所有數字都會被捨棄（如果它們在小數點之後）或變成零（如果它們在小數點之前）。我們來看看具體例子吧！
取至小數點後若干個位 (d.p.)
這方法用於縮短長小數。
例子：將8.736取至小數點後1位。
找出小數點後第一位的數字。它是7。這就是我們要進行四捨五入的位數。
看看它右邊的數字。它是3。
它是否5或以上？不是，它是4或以下。所以，7保持不變。
捨棄7之後的所有數字。
答案： 8.7（取至小數點後1位）
取至某個位值
這方法用於整數。
例子：將4,815取至最接近的百位。
找出百位數的數字。它是8。
看看它右邊的數字。它是1。
它是否5或以上？不是。所以，8保持不變。
將8右邊的所有數字變成零。
答案： 4,800（取至最接近的百位）
取至若干個有效數字 (s.f.)
如果一開始覺得這個有點難，別擔心！有效數字就是數字中那些具有「意義」的重要數字。
如何辨認有效數字：
規則1：所有非零數字（1-9）都永遠是有效數字。（例如，128有3個有效數字）
規則2：非零數字之間的零永遠是有效數字。（例如，506有3個有效數字）
規則3：數字開頭的零永遠不是有效數字。（例如，0.025只有2個有效數字，即2和5）
規則4：數字末尾的零只有在有小數點的情況下才算有效數字。（例如，2.30有3個有效數字，但230只有2個有效數字）
例子：將0.07852取至2個有效數字。
找出第一個有效數字。它是7（根據規則3）。第二個是8。所以，8就是我們要進行四捨五入的位數。
看看8右邊的數字。它是5。
它是否5或以上？是的！所以我們將8進位變成9。
捨棄新9之後的數字。
答案： 0.079（取至2個有效數字）
其他估算策略：向上取整與向下取整
有時候，「5或以上」這個規則對於現實生活中的情況可能不適用。我們必須運用常識！
向上取整
當你需要確保有足夠的數量時，你會選擇向上取整。
例子：有45位學生要去旅行。每輛小巴可以載10位學生。你需要多少輛小巴？
計算：45 ÷ 10 = 4.5輛小巴。
你不能租半輛小巴！如果你向下取整到4輛小巴，有些學生就會落單了。你必須向上取整到5輛小巴，才能讓所有人都坐得下。
向下取整
當你受到所擁有的資源（例如金錢或物資）限制時，你會選擇向下取整。
例子：你有$30。一張電影票售$12。你可以買多少張票？
計算：30 ÷ 12 = 2.5張票。
你沒有足夠的錢買3張票，所以你必須向下取整。你可以買2張票。
第一部分的重點
估算幫助我們簡化數字。四捨五入是最常用的方法。對於現實生活中的問題，有時我們需要運用邏輯來判斷應該向上取整（確保足夠）還是向下取整（基於限制）。
第二部分：哎呀！測量誤差的世界
為什麼會產生誤差？
想像一下，你嘗試用尺量度你的書桌長度。它是正好60厘米嗎？還是60.1厘米？又或是60.08厘米？事實是，沒有任何測量是100%完美的。這種微小的不確定性，我們就稱之為測量誤差。這不是一個錯誤；它只是測量過程的自然組成部分。
最大的可能誤差：最大絕對誤差
可能誤差的大小取決於你的測量工具。如果你的尺子只顯示厘米，那麼你只能「準確至最接近的厘米」來測量。
最大絕對誤差是測量值與真確值之間可能出現的最大差異。它很容易就能找到！
$$ \text{Maximum Absolute Error} = \frac{\text{Smallest unit of measurement}}{2} $$
例子1：一本書的闊度測量為15厘米，準確至最接近的厘米。
最小單位是1厘米。
最大絕對誤差 = 1厘米 ÷ 2 = 0.5厘米。
這意味著書的真確闊度介乎 (15 - 0.5) 厘米與 (15 + 0.5) 厘米之間。也就是說，它介乎14.5厘米與15.5厘米之間。
例子2：一袋麵粉重2.5公斤，準確至最接近的0.1公斤。
最小單位是0.1公斤。
最大絕對誤差 = 0.1公斤 ÷ 2 = 0.05公斤。
誤差算大嗎？相對誤差與百分誤差
如果你測量螞蟻，1厘米的誤差是個大問題；但如果你測量足球場，那誤差就微不足道了！為了了解誤差相對於測量值來說有多「大」，我們使用相對誤差和百分誤差。
相對誤差
這將最大誤差與測量值進行比較。
$$ \text{Relative Error} = \frac{\text{Maximum Absolute Error}}{\text{Measured Value}} $$百分誤差
這只是將相對誤差以百分比形式顯示，這樣更容易理解。
$$ \text{Percentage Error} = \text{Relative Error} \times 100\% $$或者一步到位：
$$ \text{Percentage Error} = \frac{\text{Maximum Absolute Error}}{\text{Measured Value}} \times 100\% $$快速回顧：誤差公式
1. 最大絕對誤差 = (最小單位) ÷ 2
2. 相對誤差 = (最大絕對誤差) ÷ (測量值)
3. 百分誤差 = 相對誤差 × 100%
第三部分：融會貫通
我們來解決一個問題吧！
你已經學會了所有概念，現在就讓我們來運用它們吧。這比看起來簡單多了！
問題：一道門的高度測量為200厘米，準確至最接近的厘米。求這個測量的百分誤差。
逐步解題：
步驟1：找出最大絕對誤差。
該測量準確至最接近的厘米，所以最小單位是1厘米。
最大絕對誤差 = 1厘米 ÷ 2 = 0.5厘米。
步驟2：找出百分誤差。
我們使用公式： $$ \text{Percentage Error} = \frac{\text{Maximum Absolute Error}}{\text{Measured Value}} \times 100\% $$
測量值是200厘米。
百分誤差 = $$ \frac{0.5}{200} \times 100\% $$
百分誤差 = $$ 0.0025 \times 100\% $$
百分誤差 = 0.25%
答案：該測量的百分誤差是0.25%。看！你一定做得到！
挑戰一下自己！
現在輪到你像數學家一樣思考了。這是關於判斷在現實世界中什麼才是合理的。
問題：你正在購買圍欄板來圍繞花園。你計算出你需要準確22.3米的圍欄。商店只出售1米長的圍欄板。
你應該向下取整購買22塊圍欄板，還是向上取整購買23塊圍欄板？為什麼？
思考一下：如果你向下取整，你的圍欄就不夠長，而且會出現一個缺口！你必須向上取整，以確保整個花園都被圍起來。這就是選擇適合情況的估算策略的一個好例子。