第九章：聯立一次方程 - 數學神探大挑戰！
各位未來的數學神探，大家好！歡迎來到代數中最實用、最有趣的主題之一：聯立一次方程。聽起來是不是有點複雜呢？別擔心，它只是「用兩條線索解開一個謎團」的花俏說法而已！
在這一章，你將學習如何處理兩個相關的問題（我們的「線索」），其中包含兩個未知數（我們的「嫌疑犯」，我們將它們稱為 x 和 y），並找出唯一能同時滿足這兩條線索的答案！這是一種超級能力，你可以用它來解決現實生活中的難題，例如計算電影票和爆米花的價格，或者規劃預算等等。
準備好戴上你的偵探帽了嗎？我們開始吧！
我們在學甚麼？快速溫故知新！
在我們深入探討之前，讓我們先回顧一下甚麼是二元一次方程。它是一個包含兩個變數（例如 x 和 y）的方程，而且這些變數不會有平方、立方或其他複雜的次方。當你繪畫它的圖像時，你會得到一條完美的直線。
例如：$$y = 2x + 1$$ 是一個線性方程。這條線上每一個點 (x, y) 都是這個方程的一個解。
「聯立」方程是指我們有一對這樣的線性方程，我們想找到一組特別的 (x, y) 值，它能同時滿足兩條線的要求。這個特別的點就是兩條線相交的位置！
1. 用圖像解題：圖解法
要用最直觀的方法來解聯立方程，就是簡單地繪畫它們的圖像，看看它們在哪裡相遇。它們的交點就是你的答案！
逐步教學：
讓我們來解這組方程：
方程 1：$$y = x + 2$$
方程 2：$$y = -x + 4$$
步驟 1：繪畫第一個方程的直線。
為 $$y = x + 2$$ 找出幾個點。一個好方法是製作一個小表格。
如果 x = 0，y = 0 + 2 = 2。所以，其中一個點是 (0, 2)。
如果 x = 1，y = 1 + 2 = 3。所以，另一個點是 (1, 3)。
在圖表上標出這些點，然後畫一條直線穿過它們。
步驟 2：在同一張圖表上繪畫第二個方程的直線。
現在為 $$y = -x + 4$$ 找出幾個點。
如果 x = 0，y = -0 + 4 = 4。所以，其中一個點是 (0, 4)。
如果 x = 2，y = -2 + 4 = 2。所以，另一個點是 (2, 2)。
標出這些點並繪畫第二條直線。
步驟 3：找出交點。
看看你的圖表。兩條直線應該會在一個單一點相交。在這個例子中，它們相交於坐標 (1, 3)。
步驟 4：寫下你的解。
解是 $$x = 1, y = 3$$。這是唯一能同時使兩個方程成立的值對！
重要提示：
圖解法對於理解概念來說很棒，但如果你畫得不夠精準，或者答案不是一個整數時，就很難得到確切的答案。這就是為什麼我們需要其他更精確的方法！
重點歸納：
一對聯立一次方程的圖解法解，就是它們兩條直線相交的坐標點 (x, y)。
2. 用代數解題：代入法
這是我們的第一個代數解法，它就像一位聰明的代課老師。你把一個方程中某個變數「等於」甚麼的表達式，代入到另一個方程中。
比喻：妙用「替身」！
想像一下，如果你知道1 個蘋果 = 2 根香蕉。如果你籃子裡有1 個蘋果和 3 根香蕉，你可以把蘋果「替換」成 2 根香蕉。現在你的籃子裡就只有2 根香蕉 + 3 根香蕉 = 5 根香蕉了。你把蘋果「消滅」了！我們對 x 和 y 也做同樣的事情。
逐步教學：
讓我們來解這組方程：
方程 1：$$y = x + 1$$
方程 2：$$2x + y = 7$$
步驟 1：找一個容易分離的變數。
看看方程 1。它已經清楚告訴我們 'y' 是什麼了：$$y = x + 1$$。太完美了！
步驟 2：將這個表達式代入到*另一個*方程中。
在方程 2 中，無論你看到 'y'，都把它替換成 '(x + 1)'。
$$2x + (x + 1) = 7$$
步驟 3：解新方程。
你現在得到一個只包含 'x' 的方程了！
$$2x + x + 1 = 7$$
$$3x + 1 = 7$$
$$3x = 6$$
$$x = 2$$
太棒了！你已經找到答案的第一部分了。
步驟 4：找出另一個變數的值。
將你的答案 $$x=2$$ 代回到原來的方程中，找出 'y'。方程 1 看起來很簡單！
$$y = x + 1$$
$$y = 2 + 1$$
$$y = 3$$
步驟 5：檢查你的答案！
你的解是 $$x = 2, y = 3$$。這個解在兩個原來的方程中都成立嗎？
驗算方程 1：3 = 2 + 1 嗎？是的！
驗算方程 2：2(2) + 3 = 7 嗎？4 + 3 = 7 嗎？是的！
答案正確！我們找到了正確的解。
常見錯誤要避免：
永遠要代入你在步驟 1 中沒有使用過的方程。如果你代回同一個方程，你最終只會得到像 1 = 1 這樣的結果，這對你找出答案毫無幫助！
重點歸納：
代入法是將其中一個方程的一個變數單獨分離出來，然後將它的表達式代入另一個方程進行求解。
3. 用代數解題：加減消去法
當方程整齊地排列時，這個方法就非常棒。目標是以一種方式將兩個方程相加或相減，使其中一個變數消失或被「消去」。
比喻：聯手抵銷！
想像一下，你有兩隊在拔河。甲隊有 3 名大球員和 2 名小球員。乙隊有 3 名大球員和 1 名小球員。如果讓他們互相對抗，兩邊的 3 名大球員會互相抵銷，剩下就只有小球員了。我們對 x 或 y 也做同樣的事情來抵銷它們。
逐步教學：
讓我們來解這組方程：
方程 1：$$2x + 3y = 8$$
方程 2：$$4x - 3y = 4$$
步驟 1：對齊方程。
確保 x 項、y 項和等號都整齊地堆疊在一起。（在我們的例子中，它們已經對齊了）。
步驟 2：尋找可以消去的變數。
請注意 'y' 項。第一個方程中有一個 +3y，第二個方程中有一個 -3y。如果我們把兩個方程相加，它們就會互相抵銷！(+3 - 3 = 0)。
步驟 3：相加（或相減）方程。
讓我們把方程 1 和方程 2 逐項相加。
$$(2x + 4x) + (3y - 3y) = (8 + 4)$$
$$6x + 0y = 12$$
$$6x = 12$$
步驟 4：解剩餘的變數。
$$6x = 12$$
$$x = 2$$
簡單！
步驟 5：找出另一個變數的值。
將你的答案 $$x=2$$ 代回到任何一個原來的方程中。我們用方程 1 吧。
$$2x + 3y = 8$$
$$2(2) + 3y = 8$$
$$4 + 3y = 8$$
$$3y = 4$$
$$y = 4/3$$
步驟 6：寫下並檢查你的解。
解是 $$x=2, y=4/3$$。為了確保正確，我們用方程 2 檢查一下。
驗算：4(2) - 3(4/3) = 4 嗎？8 - 4 = 4 嗎？是的！
答案正確！
如果沒有東西可以立即抵銷怎麼辦？
有時候，你可能需要先將一個或兩個方程乘以某個數，以使變數前面的數字（係數）變得相同。
例如：對於 $$x + 2y = 5$$ 和 $$3x + y = 5$$，你可以將第二個方程乘以 2。這樣你會得到 $$6x + 2y = 10$$。現在兩個方程都有一個 '+2y'，所以你可以相減它們來消去 y！
助記口訣：
當你想消去的係數...
符號相同，就相減。
符號不同，就相加。
重點歸納：
加減消去法是透過相加或相減方程，使其中一個變數消失，從而解出另一個變數。
4. 當情況變得古怪時：特殊情況
有時，事情並不會完美地解決。就像偵探故事一樣，有時沒有單一的兇手，或者每個人都是兇手！有兩種你需要知道的特殊情況。
情況 1：無解
圖形上：當兩條直線平行時，就會出現這種情況。因為它們永不相交，所以沒有交點，因此無解。
代數上：當你嘗試使用代入法或加減消去法求解時，兩個變數都會消失，而你會得到一個錯誤的陳述。
例如：解題過程可能會導致你得到像 $$0 = 5$$ 這樣的結果。這是不可能的！這表示無解。
情況 2：無限多解
圖形上：當兩個方程實際上描述的是完全相同的直線時，就會出現這種情況。由於這些直線重疊在一起，它們在直線上的每一個點都「相交」。這表示有無限多個解。
代數上：當你嘗試求解時，兩個變數都會消失，而你會得到一個正確的陳述。
例如：解題過程可能會導致你得到像 $$7 = 7$$ 或 $$0 = 0$$ 這樣的結果。這是永遠成立的！這表示直線上的任何一個點都是解。
快速總結
- 一個解：直線相交於一點。（正常情況）
- 無解：直線平行。（代數會得到一個錯誤的陳述，例如 $$0=5$$）
- 無限多解：直線是相同的。（代數會得到一個正確的陳述，例如 $$7=7$$）
5. 數學在現實世界中的應用：解文字題
這裡正是你偵探技巧大顯身手的時候了！關鍵是將一個故事轉化為兩個簡單的方程。
如何處理文字題，逐步教學：
問題：在電影院，2 張成人票和 3 張兒童票共 $39。1 張成人票和 2 張兒童票共 $22。一張成人票和一張兒童票的價格分別是多少？
步驟 1：定義你的變數。
這是最重要的一步！清楚說明 'x' 和 'y' 代表什麼。
設 a 為一張成人票的價格。
設 c 為一張兒童票的價格。
步驟 2：將句子轉換成兩個方程。
「2 張成人票和 3 張兒童票共 $39」變成：$$2a + 3c = 39$$
「1 張成人票和 2 張兒童票共 $22」變成：$$a + 2c = 22$$
步驟 3：解這組方程。
讓我們使用代入法。從第二個方程中，我們可以很容易地得到 $$a = 22 - 2c$$。
現在將這個代入第一個方程：
$$2(22 - 2c) + 3c = 39$$
$$44 - 4c + 3c = 39$$
$$44 - c = 39$$
$$5 = c$$
所以，一張兒童票的價格是 $5！現在找出 'a' 的值：
$$a = 22 - 2c$$
$$a = 22 - 2(5)$$
$$a = 22 - 10$$
$$a = 12$$
一張成人票的價格是 $12！
步驟 4：用一句話清晰地回答問題。
一張成人票的價格是 $12，一張兒童票的價格是 $5。
重點歸納：
要解文字題，首先要定義你的變數，然後將問題中的資訊轉換成兩個方程，最後求解！