集中趨勢的量度：找出數據的「中間」
各位同學好！歡迎來到「數據處理」的世界！
您有沒有想過，當人們說起「平均學生」或者某樣東西的「典型價格」時，他們究竟想表達些什麼？其實，他們正使用數學上一個叫做集中趨勢的概念。
在這一章，我們會學習如何找出一個數字堆（一個數據集）的「中心」或者「中間」。就好像找一個數字去代表整個組別一樣，這對於快速理解資訊超級有用，無論是您的測驗分數、天氣情況，還是您最愛的電子遊戲數據都一樣。
就算一開始覺得有點難，也不用擔心！我們會用一些簡單又貼近生活的例子，將其逐一拆解。準備好了嗎？一起開始吧！
認識三大主角：「3M」
當我們談論集中趨勢，通常會集中談論三個核心概念。您可以將它們視為一隊超級英雄，各自有它們獨特的方法去找出「中間」：
1. 平均數 (The Mean)：「公平分享」的數值。
2. 中位數 (The Median)：「正中間」的數值。
3. 眾數 (The Mode)：「最受歡迎」的數值。
我們會逐一認識它們，看看何時使用它們的獨特「超能力」！
處理簡單的數據列表（未分組數據）
我們由一個簡單、未排序的數字列表開始，這種叫做未分組數據。
第一部分：平均數（或稱算術平均數）
這是什麼？
您可能以前聽過「平均」這個詞。在數學上，我們稱它為平均數。如果將所有東西平均分配，您就會得到這個數值。
如何找出平均數？
這是兩步完成的過程：
第一步：將您數據集裡面所有數字加起來。
第二步：將總數除以數字的總數量。
公式就是這樣：
$$ \text{Mean} = \frac{\text{Sum of all data values}}{\text{Number of data values}} $$試著做個例子！
想像一下，這些是您5次數學小測的分數：8、7、9、6、10。不如我們來找出您的平均分吧。
第一步（將它們全部加起來）： $$8 + 7 + 9 + 6 + 10 = 40$$第二步（除）： 總共有5個分數，所以我們除以5。 $$40 \div 5 = 8$$
所以，這批小測分數的平均數是8。做得好！
快速溫習：平均數
- 又稱算術平均數。
- 動作：先加後除。
- 代表「公平分享」的數值。
第二部分：中位數（個「中間仔」）
這是什麼？
中位數就是列表中間的數字，但是有一個「陷阱」！您必須首先將數字排序！
記憶小貼士：「Median」聽起來像「Medium（中等）」，而中等永遠在中間嘛。
如何找出中位數？
第一步：將所有數字由最小排到最大。
第二步：找出物理上在中間的數字。
情況一：數據點數量為單數
我們再用回小測分數做例子：8、7、9、6、10。
第一步（排序）： 6, 7, 8, 9, 10
第二步（找出中間）： 最中間的數字就是8。
所以，中位數是8。很簡單！
情況二：數據點數量為雙數
如果A同學再考一次小測，拿到9分呢？他的分數就是：8、7、9、6、10、9。
第一步（排序）： 6, 7, 8, 9, 9, 10
第二步（找出中間）： 哎呀！中間有兩個數字：8和9。那該怎麼辦？我們就找出這兩個數字的平均數！
$$ (8 + 9) \div 2 = 17 \div 2 = 8.5 $$
所以，這組數據的中位數是8.5。
常見錯誤警告！
最常見的錯誤就是找出中位數之前，忘記將數字排好次序。記住，永遠都要先排序！
第三部分：眾數（最受歡迎）
這是什麼？
眾數是最容易找到的一個！它就是數據集裡面出現最多次數的數字。
記憶小貼士：『Mode』的『Mo』字就好像『Most Often』的『Mo』字，就是指出現『最』多次數的數字。
如何找出眾數？
看看一個小班的鞋碼：5、6、7、8、6、8、9、8。
只要找出哪個數字出現得最多次。數字8出現了三次，比其他任何尺碼都多。
所以，眾數是8。
眾數的特殊情況：
- 沒有眾數：如果所有數字都只出現一次（例如：1、2、3、4、5），那就沒有眾數。
- 多於一個眾數：如果兩個（或更多）數字出現頻率相同，而且是最多，那就可以有多於一個眾數！例如，在數據集2、3、3、4、5、5中，眾數是3和5。
處理大量數據（分組數據）
有時我們有這麼多數據，將其放入頻數表會更方便。這種叫做分組數據。由於我們不再知道準確的數值，所以需要估計我們的集中趨勢量度。
第一部分：眾數組
當數據是分組的時候，我們找不到單一的眾數。取而代之，我們會找出眾數組，即是頻數最高的組別。
例子：做功課的時間
我們有一張表，顯示學生做功課的時間。
時間（分鐘）：0-10 | 11-20 | 21-30 | 31-40
頻數（學生人數）：3 | 12 | 8 | 2
只要找出最高的頻數。它是12。它屬於哪個組別？就是11-20分鐘這個組別。
所以，眾數組是11-20分鐘。
第二部分：從分組數據中估計平均數
我們找不到準確的平均數，因為我們不知道那12位學生在眾數組裡面每人做功課的準確時間。但是我們可以做出一個很好的估計！
以下是步驟：
1. 找出每個組的組中點。組中點就是該組的中點。（對於11-20，中點是 (11+20)/2 = 15.5）
2. 將每個組中點乘以它的頻數。
3. 將第二步所有的結果加起來。
4. 除以數據點的總數（即總頻數）。
我們用回做功課的例子：
第一組（0-10）：組中點 = 5。 $$5 \times 3 = 15$$第二組（11-20）：組中點 = 15.5。 $$15.5 \times 12 = 186$$第三組（21-30）：組中點 = 25.5。 $$25.5 \times 8 = 204$$第四組（31-40）：組中點 = 35.5。 $$35.5 \times 2 = 71$$
第三步（將它們全部加起來）： $$15 + 186 + 204 + 71 = 476$$總頻數： $$3 + 12 + 8 + 2 = 25$$
第四步（除）： $$ \text{Estimated Mean} = 476 \div 25 = 19.04 $$
我們的估計平均時間是19.04分鐘。
重要提示：記住，這只是一個估計，因為我們使用了組中點而不是實際的數據。
加權平均數（當部分數據更重要時）
這是什麼？
有時，並不是所有數字都是平等的。有些會更重要，或者有更多「權重」。一個最好的真實例子就是您的學校分數！期末考試通常比單次功課有更高的比重。
加權平均數就是一種平均數，其中某些數據點比其他數據點有更大的影響。
例子：計算最終成績
想像一下，您的數學期末成績是這樣計算的：
- 功課佔10%（權重 = 10）
- 小測佔30%（權重 = 30）
- 期末考試佔60%（權重 = 60）
您的得分是：功課95分，小測80分，期末考試75分。
第一步：將每個分數乘以它的權重。
功課： $$95 \times 10 = 950$$小測： $$80 \times 30 = 2400$$期末考試： $$75 \times 60 = 4500$$
第二步：將這些結果加起來： $$950 + 2400 + 4500 = 7850$$
第三步：將總權重加起來： $$10 + 30 + 60 = 100$$
第四步：將第二步的結果除以第三步的結果。
$$ \text{Weighted Mean} = 7850 \div 100 = 78.5 $$
您的最終成績是78.5分！您可以看到，期末考試的分數影響最大，因為它有最高的權重。
我應該使用哪個「M」？（用途和誤用）
選擇正確的量度方法很重要，因為有時一個「M」會比另一個更能真實反映情況。
當您使用平均數時... 數據分佈比較平均，而且沒有極端值（又稱異常值）。例子：班上同學的身高。
當您使用中位數時... 有極端值（異常值）。中位數不會受到超高或超低數字的影響。例子：想像一間公司的薪金。一個CEO賺幾百萬，但大部分員工賺少很多。平均薪金會很高而且容易誤導人。中位數薪金會更好反映一個普通員工的收入。
當您使用眾數時... 數據不是數字（例如「最喜歡的顏色」），或者您只想知道最常見的選擇。例子：鞋店老闆會使用眾數來知道哪種鞋碼要訂最多貨。
您又知道嗎？（統計如何誤導人）
人們可以「濫用」統計，選擇一個對他們最有利的量度方法。一間公司可能會說「我們的平均薪金是十萬元！」他們使用的可能是在老闆超高薪金拉高了的平均數。但大部分人實際拿到的中位數薪金可能只是四萬元！永遠都要問清楚他們正使用哪種「平均」。
實用捷徑：如果我們改變所有數據會怎樣？
如果我們對數據集裡面的每一個數字都做同樣的事情，那我們的「3M」會怎樣變化呢？好消息是：有一個很簡單的規則！
規則一：加或減一個數字
如果您將數據集裡面的每個數值加同一個數字（我們稱它為k），那平均數、中位數和眾數都會增加k。減法也是一樣！
例子：數據集 {2, 4, 4, 6}。平均數=4，中位數=4，眾數=4。
我們將每個數字都加10：{12, 14, 14, 16}。
新的平均數是14（4+10），新的中位數是14（4+10），新的眾數是14（4+10）。沒錯！
規則二：乘或除一個數字
如果您將數據集裡面的每個數值乘以同一個數字（k），那平均數、中位數和眾數都會乘以k。除法也是一樣！
例子：數據集 {2, 4, 4, 6}。平均數=4，中位數=4，眾數=4。
我們將每個數字都乘以5：{10, 20, 20, 30}。
新的平均數是20（4x5），新的中位數是20（4x5），新的眾數是20（4x5）。就好像變魔術一樣神奇！
重點提示
集中趨勢的量度（平均數、中位數、眾數）會以您改變數據集中每個數據的方式，受到完全相同的影響。這在解題的時候可以是一個很有用的捷徑！