集中趨勢的量度：找出數據的「中間」

各位同學好！歡迎來到「數據處理」的世界！

你有冇諗過，當人們講起「平均學生」或者某樣嘢嘅「典型價格」時，佢哋究竟想表達啲咩？其實，佢哋用緊數學上一個叫做集中趨勢嘅概念。

喺呢一章，我哋會學點樣搵出一堆數字（一個數據集）嘅「中心」或者「中間」。就好似搵一個數字去代表成個組別咁，呢個對於快速理解資訊超級有用，無論係你嘅測驗分數、天氣情況，定係你最愛嘅電子遊戲數據都一樣。

就算一開始覺得有點難，都唔使擔心！我哋會用一啲簡單又貼地嘅例子，將佢逐一拆解。準備好未？一齊開始啦！


認識三大主角：「3M」

當我哋講集中趨勢，通常會集中講三個核心概念。你可以當佢哋係一隊超級英雄，各自有佢哋獨特嘅方法去搵出「中間」：

1. 平均數 (The Mean)：「公平分享」嘅數值。
2. 中位數 (The Median)：「正中間」嘅數值。
3. 眾數 (The Mode)：「最受歡迎」嘅數值。

我哋會逐一認識佢哋，睇下幾時用佢哋嘅獨特「超能力」！


處理簡單的數據列表（未分組數據）

我哋由一個簡單、未排序嘅數字列表開始，呢種叫做未分組數據。

第一部分：平均數（或稱算術平均數）

咩嚟㗎？

你可能以前聽過「平均」呢個詞。喺數學上，我哋叫佢做平均數。如果將所有嘢平均分配，你就會得到呢個數值。

點樣搵平均數？

呢個係兩步搞掂嘅過程：

第一步：將你數據集入面所有數字加晒佢哋。
第二步：將總數除以數字嘅總數量。

公式就係咁樣：

$$ \text{Mean} = \frac{\text{Sum of all data values}}{\text{Number of data values}} $$
試下做個例子！

想像一下，呢啲係你5次數學小測嘅分數：8、7、9、6、10。不如我哋搵下你嘅平均分啦。

第一步（加晒佢哋）： $$8 + 7 + 9 + 6 + 10 = 40$$ 第二步（除）： 總共有5個分數，所以我哋除以5。 $$40 \div 5 = 8$$
所以，呢批小測分數嘅平均數係8。做得好！


快速溫習：平均數

- 又稱算術平均數。
- 動作：先加後除。
- 代表「公平分享」嘅數值。


第二部分：中位數（個「中間仔」）

咩嚟㗎？

中位數就係列表中間嘅數字，但係有個「陷阱」！你必須首先將數字排序！

記憶小貼士：「Median」聽起來似「Medium（中等）」，而中等永遠喺中間㗎嘛。

點樣搵中位數？

第一步：將所有數字由最細排到最大。
第二步：搵出物理上喺中間嘅數字。

情況一：數據點數量為單數

我哋再用返小測分數做例子：8、7、9、6、10。

第一步（排序）： 6, 7, 8, 9, 10
第二步（搵中間）： 最中間嘅數字就係8。
所以，中位數係8。好簡單！

情況二：數據點數量為雙數

如果A同學再考一次小測，拎到9分呢？佢嘅分數就係：8、7、9、6、10、9。

第一步（排序）： 6, 7, 8, 9, 9, 10
第二步（搵中間）： 哎呀！中間有兩個數字：8同9。咁點算好？我哋就搵呢兩個數字嘅平均數！

$$ (8 + 9) \div 2 = 17 \div 2 = 8.5 $$
所以，呢組數據嘅中位數係8.5。


常見錯誤警告！

最常見嘅錯誤就係搵中位數之前，忘記將數字排好次序。記住，永遠都要先排序！


第三部分：眾數（最受歡迎）

咩嚟㗎？

眾數係最容易搵到嘅一個！佢就係數據集入面出現最多次數嘅數字。

記憶小貼士：『Mode』個『Mo』字就好似『Most Often』嘅『Mo』字，就係指出現『最』多次數嘅數字。

點樣搵眾數？

睇下一個細班嘅鞋碼：5、6、7、8、6、8、9、8。

只要搵出邊個數字出現得最多次。數字8出現咗三次，比其他任何尺碼都多。
所以，眾數係8。

眾數嘅特殊情況：

- 沒有眾數：如果所有數字都只出現一次（例如：1、2、3、4、5），咁就沒有眾數。
- 多於一個眾數：如果兩個（或更多）數字出現頻率相同，而且係最多，咁就可以有多於一個眾數！例如，喺數據集2、3、3、4、5、5中，眾數係3同5。


處理大量數據（分組數據）

有時我哋有咁多數據，將佢放入頻數表會更方便。呢種叫做分組數據。由於我哋唔再知道準確嘅數值，所以需要估計我哋嘅集中趨勢量度。

第一部分：眾數組

當數據係分組嘅時候，我哋搵唔到單一嘅眾數。取而代之，我哋會搵眾數組，即係頻數最高嘅組別。

例子：做功課嘅時間

我哋有一張表，顯示學生做功課嘅時間。

時間（分鐘）：0-10 | 11-20 | 21-30 | 31-40
頻數（學生人數）：3 | 12 | 8 | 2

只要搵最高嘅頻數。佢係12。佢屬於邊個組別？就係11-20分鐘呢個組別。
所以，眾數組係11-20分鐘。

第二部分：從分組數據中估計平均數

我哋搵唔到準確嘅平均數，因為我哋唔知嗰12位學生喺眾數組入面每人做功課嘅準確時間。但係我哋可以做出一個好好嘅估計！

以下係步驟：

1. 搵出每個組嘅組中點。組中點就係該組嘅中點。（對於11-20，中點係 (11+20)/2 = 15.5）
2. 將每個組中點乘以佢嘅頻數。
3. 將第二步所有嘅結果加埋。
4. 除以數據點嘅總數（即總頻數）。

我哋用返做功課嘅例子：

第一組（0-10）：組中點 = 5。 $$5 \times 3 = 15$$ 第二組（11-20）：組中點 = 15.5。 $$15.5 \times 12 = 186$$ 第三組（21-30）：組中點 = 25.5。 $$25.5 \times 8 = 204$$ 第四組（31-40）：組中點 = 35.5。 $$35.5 \times 2 = 71$$
第三步（加晒佢哋）： $$15 + 186 + 204 + 71 = 476$$ 總頻數： $$3 + 12 + 8 + 2 = 25$$
第四步（除）： $$ \text{Estimated Mean} = 476 \div 25 = 19.04 $$
我哋嘅估計平均時間係19.04分鐘。

重要提示：記住，呢個只係一個估計，因為我哋用咗組中點而唔係實際嘅數據。


加權平均數（當部分數據更重要時）

咩嚟㗎？

有時，並唔係所有數字都係平等嘅。某啲會更重要，或者有更多「權重」。一個最好嘅真實例子就係你嘅學校分數！期末考試通常比單次功課有更高嘅比重。

加權平均數就係一種平均數，其中某啲數據點比其他數據點有更大嘅影響。

例子：計算最終成績

想像一下，你嘅數學期末成績係咁樣計算嘅：
- 功課佔10%（權重 = 10）
- 小測佔30%（權重 = 30）
- 期末考試佔60%（權重 = 60）

你嘅得分係：功課95分，小測80分，期末考試75分。

第一步：將每個分數乘以佢嘅權重。
功課： $$95 \times 10 = 950$$ 小測： $$80 \times 30 = 2400$$ 期末考試： $$75 \times 60 = 4500$$

第二步：將呢啲結果加埋： $$950 + 2400 + 4500 = 7850$$

第三步：將總權重加埋： $$10 + 30 + 60 = 100$$

第四步：將第二步嘅結果除以第三步嘅結果。
$$ \text{Weighted Mean} = 7850 \div 100 = 78.5 $$
你嘅最終成績係78.5分！你睇到，期末考試嘅分數影響最大，因為佢有最高嘅權重。


我應該用邊個「M」？（用途同誤用）

選擇正確嘅量度方法好重要，因為有時一個「M」會比另一個更能真實反映情況。

當你用平均數時... 數據分佈比較平均，而且沒有極端值（又稱異常值）。例子：班上同學嘅身高。

當你用中位數時... 有極端值（異常值）。中位數唔會受到超高或超低數字嘅影響。例子：想像一間公司嘅薪金。一個CEO賺幾百萬，但大部分員工賺少好多。平均薪金會好高而且容易誤導人。中位數薪金會更好反映一個普通員工嘅收入。

當你用眾數時... 數據唔係數字（好似「最鍾意嘅顏色」），或者你只想知道最常見嘅選擇。例子：鞋店老闆會用眾數嚟知道邊種鞋碼要訂最多貨。

你又知唔知？（統計點樣誤導人）

人們可以「濫用」統計，選擇一個對佢哋最有利嘅量度方法。一間公司可能會話「我哋嘅平均薪金係十萬蚊！」佢哋用嘅可能係被老闆超高薪金拉高咗嘅平均數。但大部分人實際攞到嘅中位數薪金可能只係四萬蚊！永遠都要問清楚佢哋用緊邊種「平均」。


型仔捷徑：如果我哋改變所有數據會點？

如果我哋對數據集入面嘅每一個數字都做同樣嘅嘢，咁我哋嘅「3M」會點樣變呢？好消息係：有個好簡單嘅規則！

規則一：加或減一個數字

如果你將數據集入面嘅每個數值加同一個數字（我哋叫佢做k），咁平均數、中位數同眾數都會增加k。減數都係一樣！

例子：數據集 {2, 4, 4, 6}。平均數=4，中位數=4，眾數=4。
我哋將每個數字都加10：{12, 14, 14, 16}。
新嘅平均數係14（4+10），新嘅中位數係14（4+10），新嘅眾數係14（4+10）。掂呀！

規則二：乘或除一個數字

如果你將數據集入面嘅每個數值乘以同一個數字（k），咁平均數、中位數同眾數都會乘以k。除數都係一樣！

例子：數據集 {2, 4, 4, 6}。平均數=4，中位數=4，眾數=4。
我哋將每個數字都乘以5：{10, 20, 20, 30}。
新嘅平均數係20（4x5），新嘅中位數係20（4x5），新嘅眾數係20（4x5）。好似變魔術咁神奇！

重點提示

集中趨勢的量度（平均數、中位數、眾數）會以你改變數據集中每個數據嘅方式，受到完全相同嘅影響。呢個喺解題嘅時候可以係個好有用嘅捷徑！