歡迎來到統計學的世界！
同學你好！準備好成為一個數據偵探了嗎？這就是統計學的精髓！它是數學一個很棒的分支，它幫助我們收集、整理和理解身邊的各種資訊（我們稱之為數據）。為什麼它很重要？因為它能幫助我們回答以下問題：
- 我們班上最受歡迎的電子遊戲是什麼？
- 我的身高在過去一年裡變化了多少？
- 我們學校的籃球隊表現是否越來越好？
在這個課題中，我們會學習如何從這些資訊中理出頭緒。不用擔心聽起來很複雜；我們會把它分解成簡單的步驟。現在就開始吧！
第一部分：整理數據
想像一下，你剛剛問了班上每個同學的鞋碼。現在你手上有一堆亂七八糟的數字！我們的首要任務就是整理這些數據，這樣我們才能真正理解它們。
數據的兩種類型：離散型數據 與 連續型數據
在整理數據之前，我們需要知道自己正在處理哪種類型的數據。主要有兩種類型：
1. 離散型數據
這類數據可以數算出來。它們具有特定、獨立的數值。想想那些你不能有「一半」的東西。
例子：
- 課室裡學生的數量（你不能有25.5個學生）。
- 你的鞋碼（是7碼或7.5碼，而不是7.23碼）。
- 一場足球比賽的入球數。
2. 連續型數據
這類數據可以量度出來。它可以在某個範圍內取任何數值。
例子：
- 一個人的身高（可以是150厘米、150.1厘米、150.11厘米...）。
- 跑100米所需的時間。
- 你的書包重量。
快速複習小貼士
離散型：如果可以數算出來，就是離散型。
連續型：如果可以量度出來，就是連續型。
整理數據：頻數分佈表
頻數分佈表是一種非常整齊的數據整理方式。「頻數」這個詞只是用來形容某件事發生的次數。
未分組數據（通常是數值範圍較小的離散型數據）
假設這是15名學生一次測驗的得分（滿分10分）：
7, 8, 9, 6, 8, 7, 9, 10, 8, 7, 6, 8, 9, 8, 7
步驟一：在其中一欄列出所有可能的得分。
步驟二：逐一檢查數據，並為每個得分劃上正字記號 ( | )。
步驟三：數算正字記號，找出頻數。
範例表格：測驗得分
得分 正字記號 頻數
6 || 2
7 |||| 4
8 ||||| 5
9 ||| 3
10 | 1
總計 15
看到了嗎？這樣是不是更容易閱讀了！我們可以很快地看出，最常見的得分是8分。
已分組數據（通常是連續型數據或數值範圍較大的數據）
如果你有20名學生的身高數據呢？將每個身高都列出來會太長了。所以，我們會將它們分組到組區間中。
範例身高（厘米）：155, 168, 172, 158, 163, 175, 151, 160, 165, 178, 153, 166, 170, 159, 161, 169, 174, 156, 162, 167
我們可以這樣將它們分組：
範例表格：學生身高
身高 (厘米) (組區間) 頻數
150 - 159 6
160 - 169 9
170 - 179 5
總計 20
第一部分重點回顧
- 數據就是資訊。
- 離散型數據可以數算出來（例如：寵物的數量）。
- 連續型數據可以量度出來（例如：身高）。
- 頻數表幫助我們整理數據，以便輕鬆找出模式。
第二部分：數據圖表
俗語說：「一圖勝千言」。在統計學中，一個圖表勝過千個數字！讓我們來學習如何繪製數據圖表。
幹葉圖
這是一種巧妙的方式，既能顯示數據集中每個精確數值，又能同時整理它們。想像一下樹的幹（第一位或頭幾位數字）和它的葉（最後一位數字）。
範例數據：測驗得分 - 78, 93, 85, 76, 81, 88, 95, 76
步驟一：「幹」將是十位數字（7、8、9）。
步驟二：「葉」將是個位數字。將它們寫在對應的幹旁邊。
步驟三：葉子必須按從小到大的順序排列，並加上圖例。
測驗得分幹葉圖
幹 | 葉
7 | 6, 6, 8
8 | 1, 5, 8
9 | 3, 5
圖例：7 | 6 代表 76
這個圖表展示了分數的分佈情況，而且每個原始分數都一目瞭然！
直方圖：柱狀圖的近親
直方圖看起來像柱狀圖，但它用於已分組的連續型數據。它們有兩個主要區別：
- 長方形之間沒有空隙（緊密相連！）。
- 水平軸（x軸）是連續的刻度，並標示了組界。
什麼是組界？對於像150-159這樣的組區間，下一個是160-169。組界是159和160之間的中間值，即159.5。所以組界就是149.5、159.5、169.5等等。這樣就能填補空隙了！
別搞混了！
柱狀圖：有空隙。用於離散型數據（例如：最喜歡的顏色）。
直方圖：沒有空隙。用於連續型、已分組數據（例如：身高、體重）。
頻數多邊形和頻數曲線
頻數多邊形是另一種顯示已分組數據的方式。它基本上就是折線圖。
如何繪製一個頻數多邊形：
- 找出每個組區間的中點。這就是組中點。（對於160-169，組中點是 $$ \frac{160+169}{2} = 164.5 $$）。
- 在每個組中點的頻數高度處標示一個點。
- 用直線連接這些點！
頻數曲線只是頻數多邊形的平滑版本，徒手繪製而成。
累積頻數多邊形和累積頻數曲線
這聽起來可能有點複雜，但「累積」這個詞的意思其實就是「不斷地加起來」。
步驟一：建立累積頻數表。只需不斷累加頻數即可。
範例表格：學生身高
身高 (厘米) 頻數 累積頻數
150 - 159 6 6
160 - 169 9 6 + 9 = 15
170 - 179 5 15 + 5 = 20
步驟二：繪製圖表。你將累積頻數對應上限組界繪製。（例如：在(159.5, 6)處標示一個點，然後是(169.5, 15)等）。這會形成一個典型的「S」形曲線。
利用曲線找出寶藏！
這條曲線對於找出估計值非常有用：
- 中位數 (Q2)：中間的數值。在垂直軸上找到50%的位置（對於20名學生來說，就是第10名學生），畫一條橫線到曲線，然後再畫一條直線向下到水平軸，讀取中位身高。
- 下四分位數 (Q1)：25%的位置（對於20名學生來說，就是第5名學生）。
- 上四分位數 (Q3)：75%的位置（對於20名學生來說，就是第15名學生）。
化身數據偵探：圖表的運用與誤用
圖表功能強大，但它們也可能用來誤導你！務必留意以下幾點：
- 斷軸：垂直軸是否從0開始？如果不是，它可能會讓差異看起來比實際大得多。
- 不均勻的刻度：軸上的數字間隔是否均勻？
- 誤導性圖片：使用圖片而非長方形作圖，如果圖片的面積而非高度發生變化，可能會造成誤導。
第二部分重點回顧
- 我們為不同類型的數據使用不同的圖表。
- 幹葉圖整齊地顯示所有數據值。
- 直方圖用於已分組的連續型數據，而且沒有空隙。
- 累積頻數曲線幫助我們估計中位數和四分位數。
- 務必仔細審視圖表，確保它們沒有誤導成分！
第三部分：找出數據的「中心」
我們常常希望用一個單一的、具代表性的數字來描述一整組數據。這稱為集中趨勢的量度。讓我們學習三個主要的量度。
平均數（平均值）
這個你可能已經知道了！它是最常見的「平均值」類型。
如何計算：將所有數值加起來，然後除以數值的個數。
範例：對於分數 6, 7, 8, 9, 10
$$ \text{Mean} = \frac{6+7+8+9+10}{5} = \frac{40}{5} = 8 $$
優點：運用了所有數據。
缺點：如果數據中存在極高或極低的值（即異常值），平均數可能會產生誤導。想像一下，計算一組學生的平均零用錢，其中一個人有1000港元！這會使平均值對其他人來說顯得非常高。
中位數（中間的數值）
中位數是將所有數據排序後，位於正中間的那個數值。
記憶小貼士：中位數在道路中間。
如何找出中位數：
- 將數據按從小到大的順序排列。
- 找出中間的數字。
範例一（奇數個數值）：6, 7, 8, 9, 10。中位數是8。
範例二（偶數個數值）：6, 7, 8, 9, 10, 11。中間在8和9之間。所以我們找出這兩個數值的平均數：$$ \frac{8+9}{2} = 8.5 $$。中位數是8.5。
優點：不受異常值影響！這使得它非常適用於房價或薪金等數據。
缺點：在計算中沒有使用所有數據值。
眾數（最常見的數值）
眾數是出現最多次的數值。
記憶小貼士：眾數 = 最眾多。
範例：在數據 7, 8, 9, 6, 8, 7, 9, 10, 8, 7, 6, 8, 9, 8, 7 中，數字8出現了5次，比任何其他數字都多。所以，眾數是8。
對於已分組數據，我們會找出眾數組，即頻數最高的組區間。
優點：容易找到，並可用於非數值數據（例如：最喜歡的顏色中的眾數可能是「藍色」）。
缺點：有時一組數據可能沒有眾數，或有多個眾數。
加權平均數：當某些數據更重要時
有時，並非所有數據都同等重要。想想你的學校成績：考試通常比測驗所佔比重更大。這就是加權平均數派上用場的時候了。
範例：你的最終分數是根據功課（佔20%）和期末考試（佔80%）計算的。你的功課得分是90分，考試得分是75分。
普通平均數： $$ \frac{90+75}{2} = 82.5 $$ （這是錯誤的！）
加權平均數： $$ (90 \times 0.20) + (75 \times 0.80) = 18 + 60 = 78 $$
你的最終分數是78分。這是更準確的反映，因為它考慮了每個部分的「權重」。
當我們改變所有數據時會怎樣？
這是一個很方便的捷徑！如果我們對每份數據都做同樣的操作，平均數、中位數和眾數會發生什麼變化？
- 如果你加上一個常數：如果你給每個學生的測驗分數都加上5分，那麼平均數、中位數和眾數也會增加5。
- 如果你乘以一個常數：如果你將每個學生的分數都乘以兩倍，那麼平均數、中位數和眾數也會乘以兩倍。
第三部分重點回顧
- 平均數是總和除以數量（對異常值敏感）。
- 中位數是數據排序後的中間值（對異常值不敏感）。
- 眾數是最常出現的數值。
- 根據你的數據選擇最合適的量度：如果存在明顯的異常值，請使用中位數！
你已掌握統計學的基本知識！
太棒了！你現在已經懂得如何收集、整理、繪製和解釋數據。你可以找出平均數、中位數和眾數來描述數據的典型特徵，也知道如何選擇合適的工具來處理數據。這是一項非常實用的技能，不僅在數學課上，在日常生活中也大有用處。繼續練習，你很快就會成為數據高手！