歡迎來到百分比的世界！

同學你好！準備好掌握數學中最實用技能之一了嗎？這一章我們會深入了解百分比。你隨處可見它們：在你最喜歡的商店減價牌上，在你的手機電量顯示中，以及新聞報導中。掌握百分比，就好像擁有一套解讀數字世界運作方式的秘密代碼一樣！

在這份筆記裡面，我們會逐一拆解所有你需要知道的。我們會學如何計算物品的增長和減少，如何計算折扣，明白盈利和虧蝕，甚至看看錢如何透過利息增值。不用擔心聽起來很多，我們會一步步來，還會用許多實際例子幫助你理解的！快點開始吧！


第一部分：理解百分比變化

這一章最重要的概念就是百分比變化。它是用來衡量一個數值相對於它的原值，改變了多少的一種方式。這個變化可以是向上（增加），也可以是向下（減少）。

百分比變化的主要公式

這一章裡面我們做的大部分事情，都離不開一個簡單的概念。要找出百分比變化，你只需要用這條公式：

$$ \text{Percentage Change} = \frac{\text{Change in Value}}{\text{Original Value}} \times 100\% $$

記住：「數值變化」就是新值和原值之間的差額。

百分比增加（當數值變大時！）

當新的數值比原值大的時候，就會出現百分比增加。

例子：上個月你的零用錢是 $200。今個月，你的零用錢變成了 $220。請問百分比增加是多少？

  1. 找出變化： $220 - $200 = 增加了 $20。
  2. 使用公式： $$ \frac{\text{Increase}}{\text{Original Amount}} \times 100\% = \frac{$20}{$200} \times 100\% $$
  3. 計算： $0.1 \times 100\% = 10\%$。

所以，你的零用錢增加了10%。做得好！

百分比減少（當數值變小時！）

當新的數值比原值小的時候，就會出現百分比減少。

例子：一款電子遊戲原價是 $400。現在減價售賣 $300。請問百分比減少是多少？

  • 找出變化： $400 - $300 = 減少了 $100。
  • 使用公式：$$ \frac{\text{Decrease}}{\text{Original Amount}} \times 100\% = \frac{$100}{$400} \times 100\% $$
  • 計算： $0.25 \times 100\% = 25\%$。

    • 這款遊戲的價錢減少了25%。真的很划算！


    重點提示：百分比變化

    要計算任何百分比變化，記住以下兩個步驟：

    • 步驟一： 找出實際的變化（新值 - 原值）。
    • 步驟二： 將變化除以原值，再乘以 100%。

    第二部分：百分比在日常生活中的應用

    現在，讓我們看看這些概念如何應用在日常生活中。這就是數學變得超級實用的地方！

    主題一：折扣和減價

    你喜歡減價促銷，對嗎？折扣其實就是應用在價格上的百分比減少。

    重要詞彙：

    • 標價： 物品標籤上的原價。
    • 折扣百分比： 你可以減免的百分比。
    • 售價： 你實際需要支付的最終價格。

    如何計算售價：

    例子：一件T恤的標價是 $150，現在有八折優惠（20% 折扣）。請問售價是多少？

    方法一：先計算折扣金額。

    1. 計算折扣金額： $150 \times 20\% = 150 \times 0.20 = $30。
    2. 從標價中扣除： $150 - $30 = $120。

    方法二：使用乘數（更快！）

    如果你獲得八折（20% 折扣），即是你還要支付原價的 80%（因為 100% - 20% = 80%）。

    1. 計算你最終需要支付的百分比： 100% - 20% = 80%。
    2. 將標價乘以這個百分比： $150 \times 80\% = 150 \times 0.80 = $120。

    售價是$120。


    主題二：盈利與虧蝕

    商家會用百分比來看看他們是賺錢還是虧錢。

    重要詞彙：

    • 成本價： 商店購買貨品的價錢。
    • 售價： 商店售出貨品的價錢。
    • 盈利： 如果售價 > 成本價。即是你賺了錢！
    • 虧蝕： 如果成本價 > 售價。即是你虧了錢。
    非常重要的規則！

    盈利或虧蝕百分比永遠都是根據成本價來計算的。記住要看回它原本的成本價！

    例子（盈利）：一個店主以 $500（成本價）買入一隻手錶，然後以 $600（售價）售出。請問他的盈利百分比是多少？

    1. 找出盈利金額： $600 - $500 = 盈利 $100。
    2. 使用公式（記住要用成本價！）：$$ \text{Profit \%} = \frac{\text{Profit}}{\text{Cost Price}} \times 100\% = \frac{$100}{$500} \times 100\% $$
    3. 計算： $0.20 \times 100\% = 20\%$。

    這個店主賺了20%的盈利。


    主題三：增長和折舊

    這只不過是「隨時間的百分比增加或減少」的華麗說法。

    • 增長： 數值增加。例子：一個城市的人口。
    • 折舊： 數值減少。例子：新車或手機的價值。

    例子（折舊）：一部新手機價值 $6000。它的價值在一年後折舊了 30%。請問一年後手機的價值是多少？

    這只不過是一個百分比減少的問題罷了！我們可以用乘數方法來計算：

    1. 找出剩餘的百分比價值： 100% - 30% = 70%。
    2. 計算新價值： $6000 \times 70\% = 6000 \times 0.70 = $4200。

    一年後，這部手機的價值是 $4200。


    主題四：利息 —— 讓金錢增值！

    當你將錢存入銀行，你就會賺到利息。這就好像銀行因為你讓他們使用你的錢而給你的一筆「感謝費」一樣。

    重要詞彙：

    • 本金 (P)： 你最初投資的金額。
    • 利率 (R)： 每年的利息百分比（p.a. = per annum = 每年）。
    • 時間 (T)： 資金投資的年數。
    • 利息 (I)： 你賺取的額外金錢。
    • 本利和 (A)： 最終你擁有的總金額（本金 + 利息）。
    單利息

    計算單利息時，利息只會每年根據原始本金來計算。即是每年賺取的額外金額都是一樣的。

    公式： $$ I = P \times R \times T $$

    例子：你投資 $1000 (P)，以每年 5% (R) 的單利息率計算，為期 3 年 (T)。請問你會賺到多少利息？

    1. 使用公式： $$ I = $1000 \times 5\% \times 3 $$
    2. 計算： $$ I = 1000 \times 0.05 \times 3 = $150 $$

    你會賺取 $150 的單利息。你總共會有 $1000 + $150 = $1150。

    複利息

    這種更強勁！複利息的意思是，你不但會賺取本金的利息，還會賺取你已經賺到的利息的利息。就好像一個滾下山的雪球一樣，越滾越大。

    如果一開始覺得有點難，不用擔心，它只不過是重複的百分比增加罷了！

    總金額 (A) 的公式： $$ A = P \times (1 + R)^T $$

    例子：你投資 $1000 (P)，以每年 5% (R) 的複利息率計算，為期 3 年 (T)。請問你總共會有多少錢？

    1. 使用公式： $$ A = $1000 \times (1 + 5\%)^3 $$
    2. 首先計算括號內的部分： $$ 1 + 0.05 = 1.05 $$
    3. 現在進行完整計算： $$ A = 1000 \times (1.05)^3 = 1000 \times 1.157625 = $1157.63 $$

    你總共會有 $1157.63。比起單利息，多了 $7.63 啊！現在看起來可能不是很多，但是如果投資很多年，複利效應會帶來很大的分別！


    你知道嗎？

    百分號 (%) 是由 15 世紀使用的一個符號演變而來。它最初是寫作「p c」加一個小圓圈，最終演變成我們今日見到的兩個圓圈由一條線分隔開的樣式！


    主題五：連續性變化與組成部分變化

    連續性變化（一個接一個）

    這種情況是指你首先應用一個百分比變化，然後再將另一個百分比變化應用到新的結果上面。

    例子：一件外套售價 $500。它首先有八折優惠（減價 20%）。然後，在一個特別的週末，還有額外 10% 的折扣。請問最終價格是多少？

    常見錯誤提醒！

    你不能直接將百分比加在一起（20% + 10% = 30%）。這樣做是錯的，因為第二次折扣是根據已經減價後的價格來計算，而不是原價。

    正確的方法（一步一步來）：

    1. 第一次 20% 折扣後的價格： $500 \times (100\% - 20\%) = 500 \times 0.80 = $400。
    2. 現在，將 10% 折扣應用到這個新價格： $400 \times (100\% - 10\%) = 400 \times 0.90 = $360。

    最終價格是 $360。（如果是 30% 折扣，價格會是 $350，所以你可以看到它們是不同的！）

    組成部分變化（整體中不同部分的變化）

    這種情況是指一個整體中不同部分以不同的百分比發生變化。

    例子：一間學校有 40% 的男生和 60% 的女生。下一年，男生人數將會增加 10%，而女生人數將會減少 5%。請問學校總人口的整體百分比變化是多少？

    最簡單的方法：假設一個起始總數。假設學校有 100 名學生。

    1. 原有數目： 40 名男生和 60 名女生。總數 = 100。
    2. 新男生人數： 增加 10%。所以，$40 \times (1 + 10\%) = 40 \times 1.1 = 44$ 名男生。
    3. 新女生人數： 減少 5%。所以，$60 \times (1 - 5\%) = 60 \times 0.95 = 57$ 名女生。
    4. 新總人口： $44 + 57 = 101$ 名學生。
    5. 計算整體百分比變化： 人口由 100 變到 101。整體而言，這是一個1% 的增加。

    主題六：薪俸稅

    這是成年人根據他們賺取的金錢（他們的薪金）而支付的一種實際稅項。

    重要詞彙：

    • 入息： 一個人賺取的總金額。
    • 免稅額： 你可以從入息中扣除而無須繳稅的金額。
    • 應課稅入息實額： 實際計算稅款的入息金額。
    • 稅率： 用來計算稅款的百分比。
    • 應繳稅款： 你最終必須支付的稅款金額。

    計算過程：

    1. 找出應課稅入息實額： $$ \text{Net Chargeable Income} = \text{Income} - \text{Allowances} $$
    2. 計算應繳稅款： $$ \text{Tax Payable} = \text{Net Chargeable Income} \times \text{Tax Rate} $$

    例子：陳先生每年賺取 $400,000。他的總免稅額是 $150,000。假設稅率是 15%。請問他需要繳付多少稅款？

    1. 找出他的應課稅入息實額： $400,000 - $150,000 = $250,000。
    2. 計算應繳稅款： $250,000 \times 15\% = 250,000 \times 0.15 = $37,500。

    陳先生全年的應繳稅款是 $37,500。

    （注意：在現實生活中，稅制通常會更複雜，對不同入息水平有不同稅率，但基本概念是一樣的！）


    最後重點提示

    恭喜你！你已經學會了百分比的所有主要應用了。由購物到銀行業務，你現在都掌握了理解這些數字如何運作的工具。最重要的是要仔細閱讀問題，找出原值（例如成本價或標價），然後應用正確的百分比變化。你一定行的！