第六章：比率與比—助您比較世界的好幫手！
各位同學！歡迎來到比率與比的精彩世界。這個課題可能聽起來有些複雜，但是不用擔心！它所講的其實就是我們每天都會做的一件事：比較事物。
無論您是依照食譜烹飪、想知道哪樣東西最划算，或是看地圖，您都在使用比率和比。學完這些筆記之後，您就會知道如何專業地比較數量，還會發現這個數學部分在現實生活中有多麼實用！我們開始吧！
第一部分：認識「比」
什麼是「比」？
「比」是一種比較兩個或更多相同單位數量的方法。想像一下一份柳橙汁食譜，告訴您要用 1 份濃縮液加 3 份水。您正是在比較著濃縮液和水的份量。
我們可以將這個比用兩種方式寫出來：
1. 用冒號符號表示 --> 1 : 3
2. 以分數形式表示 --> $$ \frac{1}{3} $$
兩種都讀作「一比三」。
重要提示：比的次序非常重要！1 : 3（濃縮液對水）的比和 3 : 1 的比是非常不同的（後者會做出很濃的柳橙汁！）。
簡化「比」
就好像分數一樣，比都應該永遠寫成最簡形式。要做到這一點，我們會找出一個最大的數，可以同時除盡比的所有部分，然後用它來除。
例子：一個班級有 18 個男生和 12 個女生。找出男生對女生的比。
步驟 1：寫出最初的比。
男生對女生的比是 18 : 12。
步驟 2：找出最大公因數 (HCF)。
有什麼最大的數可以同時除盡 18 和 12 呢？答案是 6。
（如果您找不到最大的數，只要繼續用較小的公因數，例如 2 或 3 去除，直到不能再除為止！）
步驟 3：將比的兩部分都除以最大公因數。
$$ 18 \div 6 = 3 $$
$$ 12 \div 6 = 2 $$
步驟 4：寫出簡化了的比。
簡化了的比是 3 : 2。這表示，每 3 個男生，就有 2 個女生。
用「比」解決問題
有時您會得到一個比，然後被要求找出一個缺少的數量或者分配一些東西。
例子：一個袋子裡紅色糖果對藍色糖果的比是 4 : 5。如果藍色糖果有 20 顆，那麼紅色糖果有幾顆？
方法一：利用等價比
1. 將比寫成分數：$$ \frac{red}{blue} = \frac{4}{5} $$
2. 我們知道有 20 顆藍色糖果。所以，$$ \frac{red}{20} = \frac{4}{5} $$
3. 要從 5 變成 20，您要乘以 4。所以，我們上面的數也要做同樣的事情！
4. $$ 4 \times 4 = 16 $$
5. 所以有 16 顆紅色糖果。
快速溫習：「比」
是什麼：比較相同單位的數量。
如何書寫：`a : b` 或以分數形式表示。
關鍵規則：永遠將它簡化！
記住：次序非常重要！
第二部分：認識「比率」
什麼是「比率」？
「比率」也是一種比較，但這次是比較兩個不同單位的數量。因為單位不同，我們一定要將它們寫下來。
想想這些現實生活的例子：
- 您車子的速度：公里每小時 (km/h)
- 香蕉的價錢：港元每公斤 ($/kg)
- 您的心跳：每分鐘心跳次數
關鍵字通常是「每」，意思是「每個」。所以 80 km/h 表示您每小時行駛 80 公里。
記憶小貼士：比率 vs 比
「比」(Ratio) 比較的數量是同類型。兩者相似 (aRe alike)。
「比率」(Rate) 比較的數量是不同類型 (diffeRent types)。
比率的計算
計算比率通常是一個簡單的除法問題。
例子：一個水龍頭在 5 分鐘內裝滿一個 50 公升的水桶。請問水的流動比率是多少？
步驟 1：找出兩個不同的數量。
我們有公升 (L) 和分鐘 (min)。
步驟 2：將第一個數量除以第二個數量。
$$ 比率 = \frac{50 \text{ L}}{5 \text{ min}} $$
步驟 3：計算答案並寫上單位。
$$ 比率 = 10 \text{ L/min} $$
流動比率是 每分鐘 10 公升。
比率重點：
比率比較兩樣具有不同單位的東西（例如距離和時間）。單位非常重要，必須寫出來作為答案的一部分，通常會用斜線 `/`（例如：m/s）。
第三部分：認識「比例」
什麼是「比例」？
「比例」是一個表示兩個比或兩個比率相等的陳述。它是解決許多現實世界問題的關鍵！
例如，如果一個蘋果值 $2，那麼兩個蘋果就值 $4。
金錢對蘋果的比率是一樣的：$$ \frac{$2}{1 \text{ apple}} = \frac{$4}{2 \text{ apples}} $$
這就是一個比例！它顯示了一個相等關係。
正比例與反比例
有兩種主要的比例關係您需要認識。不用擔心，這個概念其實很簡單！
1. 正比例
這種關係是當兩個數量以相同的比率一起增加或減少。
- 您工作的時間越長，您賺到的錢就越多。
- 您買的油漆越少，可以塗的面積就越小。
例子：如果 3 本筆記簿賣 $12，那麼 7 本筆記簿會賣多少錢？
步驟 1：找出每樣物品的價錢（即單位比率）。
1 本筆記簿的價錢 = $$ \frac{$12}{3} = $4 $$
步驟 2：將單位比率乘以新的物品數量。
7 本筆記簿的價錢 = $$ 7 \times $4 = $28 $$
所以，7 本筆記簿會賣 $28。
2. 反比例
這種關係是當一個數量增加，另一個數量就會以相同的比率減少。
- 您開車越快，到達目的地所需的時間就越少。
- 越多人粉刷牆壁，所需時間就會越少。
例子：如果 4 個工人需要 6 個小時才能建好一個圍欄，那麼 8 個工人需要多久？
步驟 1：找出所需的總「工作量」。
這有點不同！想想所需的總「工時」是多少。
總工作量 = 4 個工人 × 6 個小時 = 24 個工時。
步驟 2：將總工作量除以新的工人數量。
8 個工人所需時間 = $$ \frac{24 \text{ 工時}}{8 \text{ 工人}} = 3 \text{ 小時} $$
8 個工人會用 3 個小時。（這樣很合理—更多的工人就代表用更少的時間！）
比例重點：
正比例：兩個數量向同一方向變動 (同時增加或同時減少)。
反比例：兩個數量向相反方向變動 (一個增加，一個減少)。
第四部分：現實應用 — 地圖比例尺
您有用過地圖嗎？地圖上的比例尺就是「比」的絕佳例子！
平面圖或地圖上的「比例尺」是比較圖上距離和現實中的實際距離。
一個比例尺可以寫成 1 : 100 000。
這表示地圖上的 1 厘米代表現實世界中的 100 000 厘米。
例子：在一個比例尺為 1 : 50 000 的地圖上，兩個城鎮之間的距離是 4 厘米。實際距離是多少公里？
步驟 1：設立比例。
比例是 地圖 : 現實。
所以，1 : 50 000。
步驟 2：找出實際距離，單位與地圖一樣（厘米）。
實際距離 = $$ 4 \text{ 厘米} \times 50 \text{ 000} = 200 \text{ 000 厘米} $$
步驟 3：將單位轉換成題目要求的（公里）。
記住：100 厘米 = 1 米，和 1000 米 = 1 公里。
首先，將厘米轉換成米：$$ 200 \text{ 000} \div 100 = 2000 \text{ 米} $$
接著，將米轉換成公里：$$ 2000 \div 1000 = 2 \text{ 公里} $$
實際距離是 2 公里。
小心！常見錯誤
處理比例尺問題時，最常見的錯誤就是忘記轉換單位！記得最後要檢查一下是否需要將厘米轉換成米或者公里。
您知道嗎？模型車、建築圖則，甚至您玩的玩具，都是利用比例尺製造，確保所有東西都與實物完美成比例！
您成功了！比率、比和比例是理解身邊世界的強大工具。繼續練習，您會發現它們無處不在。您一定行的！