演繹幾何：化身數學小偵探！
各位同學好！歡迎來到刺激又有趣的演繹幾何世界。聽起來是不是有點高深莫測？別擔心，其實沒你想像中那麼複雜！想像一下，你就像個偵探一樣。你會獲得一些「線索」（我們稱之為 「已知」 條件），然後運用一些你已經知道的「規條」（我們稱之為 「定理」 或 「性質」），最終解開一個謎團（也就是 「證明」 某個數學命題是正確的）。
在這一章，你會學到如何建立一套有邏輯的論證，去證明關於圖形的各種事實。這是一種超棒的技能，能幫助你清晰思考和解決問題，不只在數學上，連日常生活都用得上！偵探帽戴起來，準備好開始偵查啦！
第一部分：基本工具（你的偵探工具箱）
在我們解決大謎團之前，每個偵探都需要一套好的工具。這些是關於角和直線的基本規則，我們會不斷重複使用它們。你們可能以前見過，所以我們來快速溫習一下！
直線上的角
當一些角在同一條直線上相鄰排列時，它們的和總是 180°。
例子：如果角「a」和角「b」在同一條直線上，那麼 $$a + b = 180°$$
證明中寫的理由： (直線上的鄰角)
點的周圍角
當一些角圍繞著一個點時，它們會形成一個完整的圓。這些角的總和總是 360°。
例子：如果角「a」、「b」和「c」圍繞著一個點，那麼 $$a + b + c = 360°$$
證明中寫的理由： (點的周圍角)
對頂角
當兩條直線相交時，它們會形成一個「X」字形。相互對望的角稱為 對頂角，它們總是 相等 的。
想像一下：剪刀！當你開合剪刀時，剪刀樞軸兩邊的對角是不是總是保持相等呢！
證明中寫的理由： (對頂角)
重點提示
這三個規則是我們最基本的線索。請務必記住它們！
1. 直線上的角相加是 180°。
2. 點的周圍角相加是 360°。
3. 對頂角是 相等 的。
第二部分：平行線與截線
想像一對筆直的火車軌道。這就是 平行線 的樣子——它們永遠保持相同的距離，而且永不相交。橫過這些平行線的直線稱為 截線。當這種情況發生時，它會形成一些特別的角對。
「FUN」角對
這裡有一個簡單的方法來記住這三種主要的角：
-
同位角（F 形角）： 這些角在每個交點上都處於相同的位置。如果直線是平行的，這些角是 相等 的。尋找「F」字形（它可以是正向、反向或倒轉的！）。
理由： (同位角, AB // CD) -
內錯角（Z 形角）： 這些角位於截線的兩側，並且在平行線的「內部」。如果直線是平行的，這些角是 相等 的。尋找「Z」字形。
理由： (內錯角, AB // CD) -
同旁內角（C 形角）： 這些角位於截線的同側，並且在平行線的「內部」。如果直線是平行的，這些角的總和是 180°（它們是互補的）。尋找「C」或「U」字形。
理由： (同旁內角, AB // CD)
證明直線平行（逆定理）
有時候，謎團不是關於角，而是要證明兩條直線一開始就是平行的！要做到這一點，你只需要反過來思考。你需要證明以下其中一個條件是真實的：
- 如果你能證明一對 同位角相等，那麼這些直線就是平行的。
理由： (同位角相等) - 如果你能證明一對 內錯角相等，那麼這些直線就是平行的。
理由： (內錯角相等) - 如果你能證明一對 同旁內角相加是 180°，那麼這些直線就是平行的。
理由： (同旁內角互補)
常犯錯誤提示！
千萬不要因為線看起來平行，就直接假設它們是平行的！你必須被告知它們是平行的（通常線上有箭頭符號），或者你必須使用上面三個規則之一來證明它們是平行的。
重點提示
當直線 是 平行時，我們就知道關於它們的角的性質。當我們知道關於角的性質時，我們就可以 證明 直線是平行的。這是雙向的關係！
第三部分：三角形——三邊形中的明星！
三角形是幾何學中最重要圖形之一。它們有一些非常可靠的性質，我們可以在偵探工作中運用。
三角形的基本性質
-
三角形內角和： 任何三角形的三個內角總和都是 180°。沒有例外！
理由： (Δ 內角和) -
三角形外角： 三角形的外角（當一條邊被延長時所形成的角）等於兩個不相鄰內角的和。
理由： (Δ 外角)
全等三角形（一模一樣的雙胞胎）
全等 的意思就是「各方面都完全相同」。全等三角形的大小和形狀都完全一樣。所有對應邊長相等，所有對應角也相等。
要證明兩個三角形全等，你不需要檢查所有 6 個部分（3 條邊和 3 個角）。你只需要證明以下 其中一個 條件即可：
- SSS (邊, 邊, 邊)： 所有三對對應邊都相等。
- SAS (邊, 角, 邊)： 兩對對應邊和它們「之間」的夾角相等。
- ASA (角, 邊, 角)： 兩對對應角和它們「之間」的夾邊相等。
- AAS (角, 角, 邊)： 兩對對應角和一對非夾邊相等。
- RHS (直角, 斜邊, 邊)： 兩個三角形都有一個直角，它們的斜邊相等，以及另一對對應邊相等。（這只適用於直角三角形！）
一旦你證明了兩個三角形全等（例如，使用 SAS），你就可以斷定它們所有其他對應部分也都是相等的！
理由： (全等 Δ 的對應邊) 或 (全等 Δ 的對應角)
相似三角形（放大/縮小版形狀）
相似 形狀具有相同的形狀，但大小可以不同。想像一張照片和它的一個縮小版複本。所有對應角都相等，並且它們對應邊的比例是相同的。
要證明兩個三角形相似，你可以使用以下三個條件之一：
- AAA (角, 角, 角)： 如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角相等，那麼第三個角也必然相等。所以，只需要證明兩對對應角相等 (AA) 就足夠了！
理由： (AAA) - 三邊成比例： 所有三對對應邊的比率都相等。
理由： (三邊成比例) - 兩邊成比例且夾角相等： 兩對對應邊的比率相同，並且這些邊「之間」的夾角相等。
理由： (兩邊成比例且夾角相等)
重點提示
全等 = 大小相同，形狀相同（一模一樣的雙胞胎）。
相似 = 形狀相同，大小不同（照片和放大版）。
掌握證明全等和相似的條件，因為它們是你進行證明時的強大工具！
第四部分：四邊形與多邊形
現在讓我們來看看邊數更多的圖形。好消息是，它們的性質都遵循一個邏輯模式。
平行四邊形的性質
平行四邊形 是許多其他四邊形的「父母」。它的主要性質包括：
- 對邊相等。
- 對邊平行。
- 對角相等。
- 對角線互相平分（即互相將對方分成兩半）。
所有這些的理由： (平行四邊形的性質)
你知道嗎？
長方形、菱形 和 正方形 都是平行四邊形的特殊類型！
- 長方形 是有四個直角的平行四邊形。
- 菱形 是有四條等邊的平行四邊形。
- 正方形 兩者皆是！它是一個有四個直角「和」四條等邊的平行四邊形。
證明四邊形是平行四邊形
要證明一個圖形是平行四邊形，你必須證明以下 其中一個 條件是真實的：
- 兩對對邊都相等。(理由： 對邊相等)
- 兩對對角都相等。(理由： 對角相等)
- 對角線互相平分。(理由： 對角線互相平分)
- 一對對邊既相等又平行。(理由： 一對對邊相等且平行)
重要定理
- 中點定理： 連接三角形兩邊中點的線段平行於第三邊，並且長度是第三邊的一半。
- 截線定理： 如果三條或更多條平行線截兩條截線，它們會按比例分割這些截線。
多邊形的角
那麼邊數更多的圖形呢，例如五邊形或六邊形？我們有它們的公式！
- 內角和： 對於一個有 n 條邊的多邊形，其內角和是 $$ (n-2) \times 180° $$
- 外角和： 對於任何凸多邊形，外角和總是 360°。無論它有 5 條邊還是 50 條邊都一樣！
重點提示
了解每種四邊形的獨特性質有助於你識別它們，並將其獨特之處作為證明中的線索。
第五部分：編寫幾何證明——你的最終報告
好的，小偵探，你已經收集好工具並學會了規則。現在是時候撰寫最終報告了：證明本身。一個好的證明應該是清晰、有邏輯且易於理解的。如果一開始覺得有點難，別擔心；熟能生巧嘛！
完美證明的四個步驟
把它想成在講故事。每一步都需要與前一步有邏輯上的連貫性。
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步驟一：明確目標
看看問題。它究竟要求你「證明」什麼？清楚地寫下來。例如：求證：三角形 ABC 全等於三角形 XYZ。
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步驟二：列出線索（「已知」條件）
問題給了你什麼資料？有平行線嗎？有中點嗎？有直角嗎？這些就是你起始的證據。
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步驟三：制定計劃
思考如何從「已知」線索達到「求證」目標。例如：「好的，已知有兩條邊相等。如果我能證明它們之間的夾角也相等，那我就可以用 SAS 了！」
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步驟四：正式書寫
這是最關鍵的部分。你需要一步一步地寫下你的論證。最好的方法是採用兩欄式：一欄用於寫下你所作的 陳述，另一欄用於寫下你能夠作出該陳述的 理由。每個陳述都必須有理由！
實例講解
問題： 圖中，AC 和 BD 是相交於 E 的直線。AB 平行於 DC，且 E 是 AC 的中點。證明三角形 ABE 全等於三角形 CDE。
證明：
在 ΔABE 和 ΔCDE 中，
陳述一： AE = CE
理由一： (已知，E 是 AC 的中點)
我們的第一條證據！我們找到了一對等邊 (S)。
陳述二： ∠BAE = ∠DCE (或 ∠BAC = ∠DCA)
理由二： (內錯角, AB // DC)
我們利用平行線找到了一對等角 (A)。
陳述三： ∠AEB = ∠CED
理由三： (對頂角)
我們利用相交線找到了另一對等角 (A)。
結論： ∴ ΔABE ≅ ΔCDE
理由： (AAS)
我們有足夠的證據（角、角、邊）來得出結論。案件偵破！
重點提示
編寫證明是關於溝通的。你正在向別人展示，你明白某事為什麼是真實的，一步一步地，有邏輯地說明。永遠、永遠、永遠為你的每一個陳述提供理由！