第四章：有理數與無理數 —— 你的學習指南！
各位同學好！歡迎來到奇妙的數字世界。你已經認識了自然數、整數和分數。現在，我們將會深入探索，把所有數字分為兩大類：有理數和無理數。
這些名稱聽起來可能有點陌生，但不用擔心。學完這份筆記後，你將能輕鬆分辨它們，甚至能進行一些有趣的運算。理解這些數字類型非常重要，因為它們幾乎是你將來所有數學學習的基石！
首先：認識根式
在我們認識這兩類數字之前，讓我們先學習一個概念，叫做「根式」。你知不知道將一個數字平方，就是把它自己乘以自己（例如 $$3^2 = 9$$）？那麼，尋找平方根就是剛好相反的運算！
什麼是平方根？
一個數字的平方根，就是一個數字，當它乘以自己一次後，會得到原來的數字。符號是 $$\sqrt{ } $$.
例子： 我們知道 $$5 \times 5 = 25$$。所以，25 的平方根是 5。我們寫作 $$ \sqrt{25} = 5 $$。
例子： $$ \sqrt{81} = 9 $$ 因為 $$ 9 \times 9 = 81 $$。
那麼立方根呢？
這也是相同的概念，但涉及立方（將一個數字乘以自己三次）。一個數字的立方根，就是一個數字，當它經過立方後，會得到原來的數字。符號是 $$ \sqrt[3]{ } $$.
例子： 我們知道 $$2 \times 2 \times 2 = 8$$。所以，8 的立方根是 2。我們寫作 $$ \sqrt[3]{8} = 2 $$。
例子： 那麼負數呢？讓我們試試 $$ \sqrt[3]{-27} $$。我們正在尋找一個數字，它乘以自己三次後得到 -27。那個數字是 -3！($$-3 \times -3 \times -3 = 9 \times -3 = -27$$)。所以，$$ \sqrt[3]{-27} = -3 $$。
數字如 4、9、16、25 等，稱為完全平方數，因為它們的平方根都是整數。
數字如 8、27、64 等，稱為完全立方數，因為它們的立方根都是整數。
重點摘要
求根是求乘冪的逆運算。 平方根「解除平方」一個數字，而立方根「解除立方」一個數字。
認識第一類數字：有理數
這些是數學世界裡友好、有規律的數字。
什麼讓一個數字成為有理數？
如果一個數字可以寫成一個分數 $$ \frac{p}{q} $$，其中 p 和 q 都是整數，而且 q 不可以是零（因為我們不能除以零！），那麼它就是有理數。
助記提示：
「有理數」(Rational) 這個詞包含了「比例」(Ratio) 的意思。而比例就是分數！所以，如果一個數可以寫成一個分數，它就是有理數。
哪些數字屬於這類？
- 所有整數： 例如，7 可以寫成 $$ \frac{7}{1} $$，而 -4 可以寫成 $$ \frac{-4}{1} $$。
- 所有普通分數： 例如，$$ \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{-5}{8} $$。
- 有限小數： 這些是會「停下來」的小數。例如，0.5 可以寫成 $$ \frac{1}{2} $$，而 0.25 可以寫成 $$ \frac{1}{4} $$。
- 循環小數： 這些是小數點後有無限重複模式的小數。例如，0.333... 可以寫成 $$ \frac{1}{3} $$，而 0.666... 可以寫成 $$ \frac{2}{3} $$。
你知道嗎？
所有有理數的集合符號是 Q。這來自「商」(Quotient) 這個詞，商就是一個數字除以另一個數字的結果—就像分數一樣！
重點摘要
有理數是「整齊」的數字。 如果一個數字可以寫成一個簡單分數，它就是有理數。這包括整數、分數，以及有限小數或循環小數。
認識第二類數字：無理數
這些是狂野、神秘的數字。它們同樣重要，但行為有點不同。
什麼讓一個數字成為無理數？
一個無理數是一個無法寫成簡單分數 $$ \frac{p}{q} $$ 的數字。
當你將一個無理數寫成小數時，它會無限伸延，並且永不重複任何模式。
類比：想像一個永不完結、永不重複任何句子的故事。無理數的小數點後就長這個樣子！
哪些數字屬於這類？
- 圓周率 ($\pi$)： 你在圓形中見過它！$$ \pi \approx 3.14159... $$ 小數點後的數字無限伸延，沒有任何規律。
- 大部分根式： 不是完全平方數的平方根都是無理數。這些特殊的無理數稱為根式。
例子：$$ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{10} $$。它們的小數點後的數字是無限且不重複的。
常見錯誤提示！
有些人說 $$ \pi = \frac{22}{7} $$。小心！這不是真的。
因為 $$ \frac{22}{7} $$ 是一個分數，所以它是一個有理數。它只是無理數 $$ \pi $$ 的一個接近值。你的計算機將會顯示它們略有不同。
重點摘要
無理數是「狂野」的數字。 它們無法寫成簡單分數，而且它們的小數點後是無限且不重複的。想想 $$ \pi $$ 和非完全平方數的根。
將數字放在數線上
每一個數字，無論是有理數還是無理數，在數線上都有它獨特的位置。
- 有理數很容易找到位置。你知道 2、-3 和 $$ \frac{1}{2} $$ 在哪裡。
- 無理數也有精確的位置。例如，$$ \sqrt{2} $$ 大約是 1.414...，所以它在數線上介乎 1.4 和 1.5 之間。即使我們無法寫出它的確切值，它也有一個確切的位置。
處理根式（一種無理數）
處理根式（例如 $$ \sqrt{3} $$）可能看起來有點難，但有一些簡單的規則可以遵循。最簡形式的根式寫作 $$ a\sqrt{b} $$。
規則一：化簡根式
要化簡根式，請尋找是完全平方數的因數。
逐步範例：化簡 $$ \sqrt{12} $$
- 找到一個完全平方數因數： 有哪個完全平方數可以整除 12 呢？數字 4 可以！所以，$$ 12 = 4 \times 3 $$。
- 拆開根式： 你可以將 $$ \sqrt{12} $$ 寫成 $$ \sqrt{4 \times 3} $$，這與 $$ \sqrt{4} \times \sqrt{3} $$ 是一樣的。
- 化簡： 我們知道 $$ \sqrt{4} = 2 $$。所以我們的表達式變成 $$ 2 \times \sqrt{3} $$，或者直接是 $$ 2\sqrt{3} $$。
所以，$$ \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $$。
規則二：根式的加法和減法
你只能加減「同類」根式。這表示它們在平方根符號內的數字必須相同。
類比：把它想像成代數。你可以將 $$ 5x + 2x $$ 相加得到 $$ 7x $$。但你不能化簡 $$ 5x + 2y $$。根式也是如此！
例子：$$ 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 7\sqrt{3} $$ (這行得通！)
例子：$$ 5\sqrt{3} + 2\sqrt{7} $$ (無法化簡。)
逐步範例：計算 $$ \sqrt{3} + \sqrt{12} $$
- 檢查是否是同類根式： 它們現在不是「同類」根式（$$\sqrt{3}$$ 和 $$\sqrt{12}$$ 不同）。
- 先化簡： 我們能化簡其中任何一個嗎？是的！我們剛剛學過 $$ \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $$。
- 重寫題目： 題目現在是 $$ \sqrt{3} + 2\sqrt{3} $$。（記住 $$ \sqrt{3} $$ 等於 $$ 1\sqrt{3} $$）。
- 相加同類根式： $$ 1\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3} $$。
所以，$$ \sqrt{3} + \sqrt{12} = 3\sqrt{3} $$。
規則三：根式的除法化簡
有時你會在分母（分數的底部）看到根式。將它移除會更整齊。
逐步範例：化簡 $$ \frac{8}{3\sqrt{2}} $$
- 目標： 我們想移除分母上的 $$ \sqrt{2} $$。
- 訣竅： 我們知道 $$ \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 $$。所以如果我們將分母乘以 $$ \sqrt{2} $$，根號就會消失！
- 保持公平： 為了保持分數的值不變，你對分母所做的任何操作，也必須對分子進行。所以，我們將分子和分母都乘以 $$ \sqrt{2} $$。
- 計算： $$ \frac{8 \times \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{3 \times 2} = \frac{8\sqrt{2}}{6} $$
- 化簡分數： 就像任何其他分數一樣，$$ \frac{8}{6} $$ 可以化簡為 $$ \frac{4}{3} $$。
所以，$$ \frac{8}{3\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{3} $$。
重點摘要
處理根式時，務必先透過尋找完全平方數因數來化簡。你只能加減「同類」根式。
章節總結
嘩，你學到了很多東西！讓我們快速回顧一下。
有理數（「比例」隊）
- 可以寫成一個分數 $$ \frac{p}{q} $$。
- 小數點後是有限（停下來）或循環（重複）。
- 例子：5, -12, $$ \frac{3}{4} $$, 0.8, 0.333...
無理數（「狂野」隊）
- 無法寫成簡單分數。
- 小數點後無限伸延且永不重複。
- 例子：$$ \pi, \sqrt{2}, \sqrt{7}, \sqrt{21} $$
能夠完成這些學習內容，你做得非常棒！繼續練習，你將會成為辨識和處理各種數字的專家。