歡迎來到正負數的世界！
哈囉！是時候一起探索數學一個超實用的範疇了，它就是正負數！你經常都用數字，但現在我們會賦予數字一個方向：正數（向前）和負數（向後）。
為什麼它這麼重要？它們幫助我們表達：
• 零度以上或以下的溫度。
• 你擁有的錢（結餘）和你欠人的錢（債務）。
• 搭升降機上落樓層，甚至是海平面以上或以下的高度。
讀完這份筆記，你就會變成一個處理正負數的高手，無論是理解、比較或計算都難不倒你！一開始覺得陌生都不用擔心——我們會一步一步來！
第一部分：什麼是正負數？
認識數字：正數、負數和零
有向數（或稱正負數）只是一個帶有方向的數字，用符號來表示。
• 正數 (+): 這些數字你們都很熟悉了！它們是任何大於零的數字。它們代表增加、增長或者向前的方向。我們可以在它們前面寫個加號（+），但通常都不會寫。
例如：5 和 +5 其實是一樣的。
• 負數 (-): 它們是小於零的數字。它們是正數的「相反」。它們代表減少、損失或者向後的方向。它們前面一定會有個減號（-）。
例如：-5（我們讀作「負五」）。
• 零 (0): 零是很特別的！它既不是正數，又不是負數。它是我們的起點或中立點。
現實世界例子：溫度
想像一下溫度計。
• +25°C 的炎熱天氣，即是比零度高 25 度。
• -10°C 的嚴寒天氣，即是比零度低 10 度。
• 0°C 就是水結冰的溫度。
第二部分：數線 — 我們的數學地圖
在數線上視覺化數字
要理解正負數，最好的方法就是從數線上面看它們。數線就好像所有數字的地圖一樣。
• 零 (0) 在中間。
• 正數在零的右邊，數值會越來越大。
• 負數在零的左邊，數值會越來越小。
想像這條線：
... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...
比較正負數
哪個數字大一些？有了數線就非常容易了！
黃金法則：任何在右邊的數字永遠都比它左邊的任何數字大。
例子：
• 2 和 -1 哪個大一些？
在數線上找到它們。因為 2 在 -1 的右邊，所以 2 大於 -1。我們寫成 $$2 > -1$$。
• -5 和 -2 哪個大一些？
在數線上找到它們。-2 在 -5 的右邊，所以 -2 大於 -5。這可能會令你覺得有些奇怪，但試著想想溫度：-2°C 比 -5°C 暖（即是溫度高一些）！
常見錯誤提醒！
不要以為 5 大於 2，所以 -5 就一定大於 -2。它們是相反的！對於負數來說，看起來越小的數字，其實才是越大的數字。
重點提示
數線是你學習正負數的最佳拍檔。越右邊 = 數值越大。
第三部分：正負數的加減法
加法：在數線上移動
想像加法就是在數線上移動。
• 加正數即是向右移動。
• 加負數即是向左移動。
讓我們試著做些例子：
1. 正數 + 正數：$$3 + 2$$
由 3 開始。向右移動 2 步。你會到達 5。
$$3 + 2 = 5$$
2. 正數 + 負數：$$5 + (-3)$$
由 5 開始。向左移動 3 步。你會到達 2。
$$5 + (-3) = 2$$
3. 負數 + 正數：$$-4 + 6$$
由 -4 開始。向右移動 6 步。你會到達 2。
$$-4 + 6 = 2$$
4. 負數 + 負數：$$-2 + (-5)$$
由 -2 開始。向左移動 5 步。你會到達 -7。
$$-2 + (-5) = -7$$
減法：變魔術般簡單
減法可能會比較麻煩，所以這裡有個簡單的小撇步：減去一個數字，其實等同於加上它的相反數。
口訣：「首數不變，減號變加，次數變號」1. 首數不變：第一個數字保持不變。
2. 減號變加：將減號（-）變成加號（+）。
3. 次數變號：將第二個數字的正負號變成它的相反。
試著做：
1. 簡單減法：$$9 - 4$$
保留 9，將減號變加號，將 4 變為 -4。算式變成 $$9 + (-4)$$。
由 9 開始，向左移動 4 步。答案是 5。
2. 減去一個較大的數字：$$6 - 10$$
保留 6，將減號變加號，將 10 變為 -10。算式變成 $$6 + (-10)$$。
由 6 開始，向左移動 10 步。答案是 -4。
3. 減去負數：$$8 - (-3)$$
這是最重要的一個！保留 8，將減號變加號，將 -3 變為 +3。算式變成 $$8 + 3$$。
答案是 11。
幫助你記憶：當你看到兩個減號連在一起，例如 $$ -(-3) $$，它們就會合在一起變成一個大加號！所以，$$8 - (-3)$$ 就直接變成 $$8 + 3$$。
重點提示
加法就用數線。減法就先將算式轉為加法問題（「首數不變，減號變加，次數變號」）。
第四部分：正負數的乘除法
乘法和除法：符號規則
好消息！做乘法和除法的時候，你不需要用到數線。你只需要學會兩個簡單的符號規則就行了。
規則一：如果符號相同，答案是正數。
正數 × 正數 = 正數 ($$3 imes 4 = 12$$)
負數 × 負數 = 正數 ($$(-3) imes (-4) = 12$$)
負數 ÷ 負數 = 正數 ($$(-10) imes (-2) = 5$$)
規則二：如果符號不同，答案是負數。
正數 × 負數 = 負數 ($$3 imes (-4) = -12$$)
負數 × 正數 = 負數 ($$(-3) imes 4 = -12$$)
正數 ÷ 負數 = 負數 ($$10 imes (-2) = -5$$)
快速溫習小方塊
乘法及除法符號：
• 符號相同 = 正數 (+)
• 符號不同 = 負數 (-)
分步處理：
1. 不理符號，直接將數字進行乘或除。
2. 看回原本算式的符號，來決定你的答案應該是正數或負數。
例子：計算 $$(-20) imes 4$$
步驟一：直接將數字進行除法：$$20 imes 4 = 5$$。
步驟二：看看符號。我們有一個負數 (-20) 和一個正數 (4)。符號不同，所以答案必須是負數。
最終答案：$$-5$$。
你知道嗎？
這個方法有效，是因為乘法只是重複的加法。例如，$$3 imes (-4)$$ 意思是將 -4 加三次：$$(-4) + (-4) + (-4) = -12$$。符號規則就是一個快捷方式！
第五部分：混合運算及解題
運算次序 (BODMAS)
當你遇到一條有不同運算符號的長算式時，你必須依照正確的運算次序。你可能聽過這個叫 BODMAS 或者 PEMDAS。對於正負數來說，規則都是一樣的！
1. Brackets（括號）
2. Orders（次方 — 我們暫時不用擔心這個部分）
3. Division and Multiplication（除法和乘法，由左至右）
4. Addition and Subtraction（加法和減法，由左至右）
分步示範例子：$$(-2) imes (8 - 3) + (-12) imes 2$$
不用怕！跟著步驟做就行了。
步驟一：括號 (Brackets)
首先，計算括號裡面的部分：$$(8 - 3) = 5$$。
現在條算式變成：$$(-2) imes 5 + (-12) imes 2$$
步驟二：除法和乘法 (Division and Multiplication)（由左至右）
接著，我們做乘法：$$(-2) imes 5 = -10$$（符號不同，答案是負數）。
然後做除法：$$(-12) imes 2 = -6$$（符號不同，答案是負數）。
現在條算式變成：$$-10 + (-6)$$
步驟三：加法和減法 (Addition and Subtraction)
最後，我們做加法。由 -10 開始，向左移動 6 步。
$$-10 + (-6) = -16$$
最終答案是 -16。你行的！只要一步一步來就行。
解決現實世界問題
讓我們用新學的技能來解決一些現實生活的問題吧。
問題一：溫度變化
莫斯科午夜氣溫為 -8°C。到了中午，氣溫上升了 12°C。請問中午氣溫是多少？
算式：我們由 -8 開始，「上升了 12」即是加 12。所以是 $$-8 + 12$$。
解答：在數線上由 -8 開始，向右移動 12 格。你會到達 4。
中午氣溫是 4°C。
問題二：銀行帳戶
你銀行帳戶有 $20。你用銀行卡買了個遊戲，價值 $50。請問你銀行帳戶的新結餘是多少？
算式：我們由 20 開始，減去 50。所以是 $$20 - 50$$。
解答：用「首數不變，減號變加，次數變號」的方法，算式變成 $$20 + (-50)$$。由 20 開始，向左移動 50 步。你會經過 0，最終到達 -30。
你銀行帳戶的新結餘是 -$30。這意思是你欠銀行 $30。
問題三：潛水深度
一位潛水員在海平面以下 15 米的深度。這個可以用 -15m 表示。如果它再潛深三倍，它的新位置是多少？
算式：我們需要找出 3 乘 -15。所以是 $$3 imes (-15)$$。
解答：首先，將數字相乘：$$3 imes 15 = 45$$。符號不同（一個正數，一個負數），所以答案是負數。
它的新位置是 -45m，即是海平面以下 45 米。
章節回顧：你的正負數工具箱
表現出色！你已經學會了正負數的基本概念。以下是你需要記住的重點：
• 正負數帶有符號（+ 或 -），表示它們距離零的方向。
• 數線是你的視覺導向。在右邊的數字永遠都是大一些。
• 進行加法時，在數線上，加正數就向右移，加負數就向左移。
• 進行減法時，將算式變成加法，即是加上它的相反數（「首數不變，減號變加，次數變號」）。記得兩個減號連在一起會變成一個加號！
• 進行乘法和除法時，記住符號規則：符號相同的答案是正數，符號不同的答案是負數。
• 遇到複雜問題時，記得要跟隨運算次序 (BODMAS)。
繼續練習，你就會發現正負數是解決各種問題的強大工具！