課章筆記：幾何學導論
大家好！歡迎來到奇妙的幾何世界。「幾何學」(Geometry) 這個詞源自希臘文，意指「地球」和「測量」。這正好解釋了幾何學是甚麼——它就是探討圖形的形狀、大小、位置，以及空間的特性。
幾何學無處不在：在你住的樓宇、玩的電子遊戲、欣賞的藝術品，甚至大自然中都充滿了幾何！在本章中，我們將學習這個引人入勝的學科的基礎構成元素。初次接觸可能會覺得有點難，但不用擔心，我們會將它拆解成簡單易明的部分。讓我們開始吧！
1. 最基本概念：點、線和平面
在我們能建立美觀的圖形之前，我們需要知道它們是由甚麼組成的。把它們想像成幾何學裡的樂高積木吧！
構成元素
- 點：點是幾何學中最簡單的物件。它指示一個位置，但它沒有大小、長度或闊度。想像一下你用一支很尖的鉛筆輕輕點一下所做出的「點」。我們通常會用大寫字母來命名點，例如點A。
- 線：線是一條在兩個方向上無限延伸的完美直線路徑。它有長度，但沒有闊度。想像一條永無止境、筆直的道路。我們可以用線上的兩個點來命名一條線，例如線AB。
- 平面：平面是一個在所有方向上無限延伸的完美平面。想像一張沒有邊緣、無限延伸的大桌面或一張紙。
快速回顧：關鍵術語
- 點：一個單一的位置。(例子：A)
- 線：一條無限延伸的直線路徑。(例子：一條道路)
- 平面：一個無限延伸的平面。(例子：桌面)
2. 關於角的一切
當兩條線或射線在一個點相遇時，它們就形成了一個角。角是幾何學中一個超級重要的部分，幫助我們描述圖形的「角」。
角的關係 (課程綱要 19.1)
當直線相交時，它們會產生一些彼此之間有特殊關係的角。了解這些關係就像擁有了解決幾何難題的「密碼」！
- 直線上的鄰角：當兩個角彼此相鄰，且它們的外側邊形成一條直線時，它們被稱為直線上的鄰角。它們的和總是 $$180°$$。
類比：想像一個被切成兩塊的完全平坦的薄餅。兩塊薄餅在直線邊緣相鄰的角加起來就是 $$180°$$。
- 對頂角：當兩條直線相交時，它們會形成一個「X」字。直接相對的角稱為對頂角。它們總是彼此相等！
記憶法：想像一把剪刀。當你打開和合上剪刀時，支點對面的角總是相同的。
- 同頂角：當多個角圍繞一個單一點相遇時，它們會填滿一個完整的圓。它們的和總是 $$360°$$。
類比：如果你站在一個位置上轉了一圈，你就轉了 $$360°$$。同頂角也是一樣的道理！
餘角和補角
這是你還需要知道的另外兩組特殊角。
- 餘角：兩個角加起來是$$90°$$（一個直角）。
- 補角：兩個角加起來是$$180°$$（一個平角）。
記憶法：「餘角」(Complementary) 的 C 在字母表中比「補角」(Supplementary) 的 S 靠前，就像 90 在 180 之前一樣。
想一想：「餘角」會形成一個「直角」($$90°$$)，而「補角」會形成一個「平角」（直線）($$180°$$)。
角的重點
- 直線上的鄰角之和是 $$180°$$。
- 對頂角相等。
- 同頂角之和是 $$360°$$。
3. 平行線與截線
你有沒有看過火車軌道？它們並行但從不相交。這就是平行線的精髓！
- 平行線：在一個平面上，兩條或以上的線總是保持相同的距離，並且永不相交（不會交叉）。
- 截線：一條切割兩條或以上其他線（通常是平行線）的線。
特殊角對 (課程綱要 19.2)
當截線切割平行線時，它會產生 8 個角。其中一些角組成了特殊的角對。
- 同位角：這些角在每個交點處都處於相同的「角落」或位置。想像將一個交點直接滑動到另一個交點上方——那些重疊的角就是同位角。
- 內錯角：它們位於截線的相對（交替）兩側，並且在平行線的「內部」。尋找一個「Z」字形——Z 字形拐角處的角就是內錯角。
- 同旁內角：它們位於截線的同一側，並且在平行線的「內部」。尋找一個「C」或「U」字形——C 字形裡面的角就是同旁內角。
平行線的規律 (課程綱要 19.3 及 19.4)
這就是神奇之處！這些規律是雙向的。
1. 如果你已知這些線是平行的...
- ...那麼同位角就「相等」。
- ...那麼內錯角就「相等」。
- ...那麼同旁內角就「互補」（它們的和是 $$180°$$）。
2. 如果你想證明線是平行的...
- ...證明一對同位角是「相等」的。
- ...或者證明一對內錯角是「相等」的。
- ...或者證明一對同旁內角之和是「$$180°$$」。
平行線的重點
記住這三種特殊角對。如果線是平行的，你就知道它們的關係（相等、相等、和是 180°）。如果你能證明其中一種關係成立，你就知道這些線是平行的！
4. 構建圖形：多邊形簡介
既然我們已經了解了線和角，我們就可以開始將它們組合起來，創造圖形了！
「多邊形」是指任何由「直線線段」構成的「封閉」二維圖形（所有線段都連接起來）。例子：三角形、正方形、五邊形。圓形「不是」多邊形，因為它的邊是曲線。
正多邊形 (課程綱要 20.1)
當一個多邊形「完美對稱」時，它就被稱為「正」多邊形。這意味著有兩件事是真實的：
1. 它的所有「邊長」都完全相同。
2. 它的所有「內角」都完全相等。
例子：「等邊三角形」（3 條相等邊，3 個相等角）和「正方形」（4 條相等邊，4 個相等 $$90°$$ 角）都是正多邊形。長方形不是正多邊形，因為儘管它的角都相等，但它的邊長可能不相等。
四邊形速覽 (課程綱要 23.1, 23.2)
「四邊形」是指任何有四條邊的多邊形。以下是一些常見的：
- 平行四邊形：一個有兩對平行邊的四邊形。它的對邊相等，對角也相等。
- 長方形：一種特殊的平行四邊形，所有四個角都是直角 ($$90°$$)。
- 菱形：一種特殊的平行四邊形，所有四條邊長都相等。
- 正方形：最特殊的平行四邊形！它既是長方形，也是菱形。它有四條相等邊和四個直角。
你知道嗎？
蜜蜂可是幾何學的專家！它們用六邊形（一個六條邊的多邊形）來建造蜂巢。這種形狀超級堅固，並且用最少的蜂蠟儲存最多的蜂蜜。大自然真聰明！
5. 跳進三維空間
到目前為止，我們都停留在平面（二維）上。現在，讓我們探索既有長度、闊度，也有高度的圖形——三維圖形吧！
認識三維圖形家族 (課程綱要 17.1)
這些是你每天在現實世界中看到的形狀。
- 棱柱體：有兩個相同且平行的底面，以及扁平的長方形側面。想像一下三角朱古力（三角棱柱體）或一塊芝士。
- 圓柱體：像棱柱體，但有兩個圓形底面。想像一罐湯。
- 棱錐體：有一個底面（通常是正方形或三角形），以及多個在頂部一個點（頂點）匯合的三角形側面。想像一下埃及的大金字塔。「正四面體」是一種特殊的棱錐體，由四個相同的等邊三角形構成。
- 圓錐體：有一個圓形底面和一個彎曲表面，向上收窄至一個點。想像一個雪糕筒。
- 球體：一個完美圓形的立體物件，就像一個球。它表面上的每個點與中心點的距離都相同。
「多面體」是一種有平面多邊形面、直線邊和尖角（頂點）的三維圖形。棱柱體和棱錐體都是多面體，但圓柱體、圓錐體和球體不是，因為它們有彎曲的表面。
如何繪畫三維圖形 (課程綱要 17.3)
在二維紙上繪畫三維圖形可能會有點棘手，但這裡有一個簡單的方法。讓我們試著繪畫一個長方棱柱體（就像一個穀物早餐盒）。
步驟 1：繪畫一個長方形。這將是它的正面。
步驟 2：從四個角中的每一個，畫一條向上並向右的短平行線。
步驟 3：連接這些短線的末端，形成另一個長方形。這就是它的背面。
步驟 4（可選）：將從正面看不到的線畫成虛線，使其看起來更具立體感。
做得好！你剛剛學會了幾何學的基本知識。你從一個簡單的點開始，一步步建立到複雜的三維圖形。繼續練習，你會發現這些形狀和角無處不在！