坐標簡介：你的數學世界地圖指南！
各位同學好！歡迎來到奇妙的坐標世界。你玩電子遊戲時有沒有試過在地圖上尋找角色？或者用導航App來找路？這些都多虧了坐標！
本章將會教你如何在平面上描述一個點的精確位置。這就像學習藏寶圖的秘密代碼一樣。學完這章，你就可以用數字來標示點、計算距離，甚至移動圖形了。剛開始聽起來可能有點複雜，但別擔心，我們會一步步拆解。讓我們開始這趟探險之旅吧！
1. 直角坐標系：我們的地圖
要找出位置，我們需要一張地圖。在數學中，我們的地圖稱為直角坐標系或笛卡兒平面。它看起來像一個帶有兩條主要相交線的網格。
我們地圖的關鍵部分
- x軸：這是一條左右延伸的水平線。你可以把它想像成一條你沿著走的走廊。
- y軸：這是一條上下延伸的鉛垂線。你可以把它想像成你上落的樓梯。
- 原點：這是x軸和y軸相交的特殊點。它是我們的起點，其位置永遠是(0, 0)。
坐標：點的地址
平面上每個點都有一個獨特的地址，稱為坐標，我們會將它寫成一個有序數對：(x, y)。
- 第一個數是x坐標。它告訴你從原點向左或向右移動了多遠。
- 第二個數是y坐標。它告訴你向上或向下移動了多遠。
助記口訣：先跑再跳！
一個記住順序(x, y)的簡單方法是：你必須「跑」（沿著水平x軸）然後才能「跳」（沿著鉛垂y軸上或下）。另外，英文字母中X也在Y之前！
例子：讓我們找找點P(3, 2)。
1. 從原點(0, 0)開始。
2. 沿x軸向右「跑」3個單位（因為x坐標是正3）。
3. 從那裡，向上「跳」2個單位（因為y坐標是正2）。
4. 標示出那個位置。那就是點P了！
四個象限
x軸和y軸將平面分為四個區域，稱為象限。坐標的正負號會告訴你點在哪個象限。
- 象限I：右上角。這裡x和y都是正數。(+, +)
- 象限II：左上角。這裡x是負數，y是正數。(-, +)
- 象限III：左下角。這裡x和y都是負數。(-, -)
- 象限IV：右下角。這裡x是正數，y是負數。(+, -)
快速回顧：基礎知識
坐標平面：我們的網格狀地圖。
x軸：水平線。
y軸：鉛垂線。
原點：起點(0, 0)。
坐標：點的地址，寫作(x, y)。
重點提示
坐標系給予每個點一個獨特的(x, y)地址，精確地告訴我們它在平面上的位置。
2. 尋找簡單距離
現在我們懂得標示點了，接下來讓我們找出點之間的距離吧。我們會從簡單的開始：位於水平或鉛垂直線上的點。
水平線上兩點之間的距離
如果兩點位於水平線上，它們的y坐標將會相同。要找出距離，只需找出它們x坐標的差。
公式：距離 = $$|x_2 - x_1|$$ (垂直線表示絕對值，即只取正數差)。
例子：找出A(2, 3)和B(7, 3)之間的距離。
1. 注意到y坐標都是3，所以這是一條水平線。
2. 減去x坐標：7 - 2 = 5。
3. A和B之間的距離是5個單位。
鉛垂線上兩點之間的距離
如果兩點位於鉛垂線上，它們的x坐標將會相同。要找出距離，只需找出它們y坐標的差。
公式：距離 = $$|y_2 - y_1|$$
例子：找出C(4, 1)和D(4, 6)之間的距離。
1. 注意到x坐標都是4，所以這是一條鉛垂線。
2. 減去y坐標：6 - 1 = 5。
3. C和D之間的距離是5個單位。
常見錯誤要避免！
確保你減去正確的坐標！對於水平線，使用x值。對於鉛垂線，使用y值。在格子上快速畫個草圖，可以幫助你看清要用哪一個。
重點提示
對於水平線或鉛垂線上的點，距離就是其不同坐標的絕對差（正數差）。
3. 距離公式（適用於任意兩點！）
如果線條不是完美的水平或鉛垂線呢？那又怎麼找出距離呢？我們會用到一個強大的工具，稱為距離公式。它適用於任何兩點。
你知道嗎？距離公式其實就是勾股定理（畢氏定理）的變身！它計算的是由兩點構成的直角三角形的斜邊長度。
公式
對於任意兩點 $$A(x_1, y_1)$$ 和 $$B(x_2, y_2)$$，它們之間的距離d是：
$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$使用公式的分步指南
例子：找出P(1, 2)和Q(4, 6)之間的距離。
步驟1：標示你的坐標。
設P為第一個點：$$x_1 = 1, y_1 = 2$$。
設Q為第二個點：$$x_2 = 4, y_2 = 6$$。
（你把哪個點稱為第一個或第二個點都沒關係，結果都會一樣！）
步驟2：將數值代入公式。
$$d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2}$$
步驟3：先計算括號內的部分。
$$d = \sqrt{(3)^2 + (4)^2}$$
步驟4：將數值平方。
$$d = \sqrt{9 + 16}$$
步驟5：加總開方符號下的數值。
$$d = \sqrt{25}$$
步驟6：找出平方根。
$$d = 5$$
P和Q之間的距離是5個單位。
重點提示
距離公式幫助我們找出坐標平面上任意兩點之間直線的長度。
4. 中點公式：找出中間點
中點是剛好位於另外兩點正中間的點。想像一下，這就像找出平均位置一樣。要找出中點，我們只需找出x坐標的平均值和y坐標的平均值。
公式
對於任意兩點 $$A(x_1, y_1)$$ 和 $$B(x_2, y_2)$$，中點M是：
$$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$$使用公式的分步指南
例子：找出A(2, 3)和B(8, 7)之間的中點。
步驟1：確定你的x和y坐標。
$$x_1 = 2, x_2 = 8$$
$$y_1 = 3, y_2 = 7$$
步驟2：找出x坐標的平均值。
$$\frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$$
步驟3：找出y坐標的平均值。
$$\frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$$
步驟4：寫下新的坐標。
中點是M(5, 5)。
重點提示
中點公式透過平均兩點的x和y值，給你兩點之間中間點的坐標。
5. 直線的斜率：它有多斜？
斜率（通常用字母m表示）是一個數值，它告訴我們一條線有多斜。它是「升除以跨」。
- 升：兩點之間的鉛垂改變（它向上或向下移動了多少）。
- 跨：兩點之間的水平改變（它向左或向右移動了多少）。
公式
對於任意兩點 $$A(x_1, y_1)$$ 和 $$B(x_2, y_2)$$，斜率m是：
$$m = \frac{\text{升}}{\text{跨}} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$四種斜率
- 正斜率：線條從左到右向上傾斜。
- 負斜率：線條從左到右向下傾斜。
- 零斜率：線條是完全水平的。（「升」為0）。
- 無定義斜率：線條是完全鉛垂的。（「跨」為0，我們不能除以零！）。
$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 1}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$$
斜率是2。這是正斜率，所以線條向上傾斜。
重點提示
斜率(m)衡量一條線的陡峭程度。數值越大表示線條越陡峭。正負號則告訴你它是向上傾斜(+)還是向下傾斜(-)。
6. 平行線與垂直線
一條線的斜率也可以告訴我們它與另一條線的關係。
平行線
平行線是永不相交的線。想想火車軌道。要達到這一點，它們必須有完全相同的陡峭程度。
規則：如果兩條線的斜率相同，它們就是平行線。
$$m_1 = m_2$$
例子：一條斜率為3的直線平行於另一條斜率為3的直線。垂直線
垂直線是相交於一個完美直角（90°）的線。它們的斜率有著特殊的關係。
規則：如果兩條線的斜率是負倒數，它們就是垂直線。這表示如果你將它們的斜率相乘，你會得到-1。
$$m_1 \times m_2 = -1$$
什麼是負倒數？ 就是把分數倒轉並改變符號！
例子：如果一條線的斜率為$$m_1 = 2$$，那麼一條垂直線的斜率將會是$$m_2 = -\frac{1}{2}$$。（驗證：$$2 \times -\frac{1}{2} = -1$$）
重點提示
斜率告訴我們線條是平行（斜率相同）還是垂直（斜率相乘為-1）。
7. 變換：移動點
變換是指在坐標平面上移動或改變點或圖形的方式。讓我們看看三種主要類型：平移、反射和旋轉。
平移（滑動）
這是最簡單的一種！它只是將一個點「滑動」到一個新位置，而不會轉動或翻轉它。
- 要將點向右移動「a」個單位，將「a」加到x坐標：$$(x, y) \rightarrow (x+a, y)$$
- 要將點向左移動「a」個單位，從x坐標減去「a」：$$(x, y) \rightarrow (x-a, y)$$
- 要將點向上移動「b」個單位，將「b」加到y坐標：$$(x, y) \rightarrow (x, y+b)$$
- 要將點向下移動「b」個單位，從y坐標減去「b」：$$(x, y) \rightarrow (x, y-b)$$
新的x = 3 - 2 = 1
新的y = 4 - 5 = -1
新的點是A'(1, -1)。（我們通常用撇號「'」來表示新的點）。
反射（翻轉）
這就像在「反射線」上為一個點創建鏡像。
- 跨x軸反射：x坐標保持不變，y坐標變號。
$$(x, y) \rightarrow (x, -y)$$ - 跨y軸反射：y坐標保持不變，x坐標變號。
$$(x, y) \rightarrow (-x, y)$$
新的點是B'(5, -2)。
例子：將點C(-3, 4)跨y軸反射。新的點是C'(3, 4)。
繞原點旋轉（轉動）
這表示將一個點繞著原點(0, 0)轉動一個特定的角度。下列規則適用於逆時針旋轉。
- 旋轉90°：交換x和y坐標，並將新的x坐標變號。
$$(x, y) \rightarrow (-y, x)$$ - 旋轉180°：只需將兩個坐標都變號。
$$(x, y) \rightarrow (-x, -y)$$ - 旋轉270°：交換x和y坐標，並將新的y坐標變號。
$$(x, y) \rightarrow (y, -x)$$
順時針旋轉90°等同於逆時針旋轉270°！
例子：將點P(2, 3)繞原點逆時針旋轉90°。根據規則(x, y) → (-y, x)，新的點是P'(-3, 2)。
重點提示
變換將點移動到新的位置。平移是滑動，反射是翻轉，旋轉是轉動。每種變換都有其特定的坐標變換規則。
8. 尋找多邊形的面積
我們可以利用坐標和距離的知識來找出簡單形狀（如長方形和三角形）的面積。
策略：找出底和高
最好的方法是標示出點，並利用水平線和鉛垂線的簡單距離規則，找出你需要的邊長（如底和高）。
例子：找出頂點為A(1, 1)、B(7, 1)、C(7, 4)和D(1, 4)的長方形面積。
步驟1：找出底的長度。
底可以是線段AB。這是一條水平線。
AB的長度 = $$|7 - 1| = 6$$個單位。
步驟2：找出高的長度。
高可以是線段BC。這是一條鉛垂線。
BC的長度 = $$|4 - 1| = 3$$個單位。
步驟3：計算面積。
長方形面積 = 底 × 高
面積 = 6 × 3 = 18平方單位。
重點提示
透過標示多邊形的頂點，你可以找出其水平和鉛垂邊的長度，並利用它們來計算其面積。