數學 | 四邊形

課題：四邊形 — 探索四邊形圖形的奇妙世界！

各位同學！歡迎來到四邊形的奇妙世界。這個詞語聽起來可能很宏大、很花巧，但它只是任何有四條邊的圖形的數學名稱。看看你周圍！你的電話、一本書、一扇窗、一隻風箏——它們全部都是四邊形！

在這個課題中，我們會成為形狀偵探。我們會探索一個特別的四邊形「家族」，學習它們隱藏的特性，甚至學會如何證明它們。就好像玩圖形拼圖一樣！不必擔心如果最初看起來很難，我們會一步步來拆解它。那麼我們就開始吧！

1. 平行四邊形：家族的領袖！

想像一下平行四邊形是許多其他特別四邊形的「父母」。明白它就是了解所有其他圖形的關鍵！

一個平行四邊形是一個四邊形，其中兩對對邊都互相平行。想像一個傾斜的長方形——它就是一個平行四邊形！

例子：在平行四邊形ABCD中，邊AB平行於邊DC，而邊AD平行於邊BC。

平行四邊形的特性

每個平行四邊形都有三個一定是真的特別特性。它們就是你主要的偵探工具！

1. 對邊等長。
邊AB的長度與邊DC一樣。AD的長度與BC一樣。
$$AB = DC$$ and $$AD = BC$$

2. 對角相等。
角A與角C相等。角B與角D相等。
$$\angle A = \angle C$$ and $$\angle B = \angle D$$

3. 對角線互相平分。
一條對角線是連接對角的直線。平分意思是「將對方一分為二」。所以，在一個平行四邊形中，兩條對角線會在它們精準的中點相交。
如果對角線AC與BD在點E相交，那麼AE = EC與BE = ED。

小貼士：平行四邊形

平行四邊形是一個有2對平行邊的4邊形。記住它三個主要特性：
1. 對邊等長。
2. 對角相等。
3. 對角線互相平分。

2. 特別的「小朋友」：長方形、菱形和正方形

長方形、菱形和正方形都是特別類型的平行四邊形。這意思是它們不僅具備了所有平行四邊形的三個特性，還有自己額外的「超能力」！

長方形

一個長方形是一個有四個直角($$90^\circ$$)的平行四邊形。

特性：

• (繼承自) 所有平行四邊形的特性。

• 另外：所有四個角都是直角($$90^\circ$$)。

• 另外：對角線等長。(AC = BD)

• 因為對角線等長「而且」互相平分，它們會將對方切成四條相等的小線段。

現實世界例子：一扇門、書的封面、電視螢幕。

菱形

一個菱形是一個有四條等長邊的平行四邊形。想像它是一個傾斜的正方形。

特性：

• (繼承自) 所有平行四邊形的特性。

• 另外：所有四條邊都等長。(AB = BC = CD = DA)

• 另外：對角線互相垂直。(它們會以$$90^\circ$$角相交)。

• 另外：對角線平分對角。(它們將角位完美地一分為二)。

現實世界例子：撲克牌上面的菱形圖案、一些風箏的設計。

正方形

一個正方形是家族中的超級巨星！它同時是一個長方形和一個菱形。

特性：

正方形具備了所有平行四邊形、長方形和菱形的特性！這使它超級特別。

• 對邊平行且等長。

• 所有四條邊都等長。

• 所有四個角都是$$90^\circ$$

• 對角線等長。

• 對角線互相平分。

• 對角線互相垂直。

• 對角線平分角位(每邊為$$45^\circ$$)。

常見錯誤提點！

菱形是正方形嗎？不一定！菱形有四條等長的邊，但它的角可能不是$$90^\circ$$。

正方形是菱形嗎？是，一定是！正方形有四條等長的邊，這正是菱形的定義。

你可以這樣想：所有爹利犬都是狗，但不是所有狗都是爹利犬。所有正方形都是菱形，但不是所有菱形都是正方形。

小貼士：四邊形家族

平行四邊形是家族的姓氏。
- 長方形是一個有$$90^\circ$$角的平行四邊形。
- 菱形是一個有4條等長邊的平行四邊形。
- 正方形同時是長方形和菱形(它有$$90^\circ$$角「以及」4條等長邊)。

3. 如何證明一個圖形是平行四邊形

有時，你將會得到一個圖形，然後要你證明它是一個平行四邊形。你不需要知道它所有東西！你只需要證明以下其中一個條件是真的就行。

平行四邊形的四個條件 (或檢測方法)：

如果你證明到其中一個，就已經證明了該圖形是平行四邊形了！

1. 兩對對邊等長。
如果你知道AB = DC與AD = BC，那麼它「一定」是平行四邊形。

2. 兩對對角相等。
如果你知道$$\angle A = \angle C$$與$$\angle B = \angle D$$，那麼它「一定」是平行四邊形。

3. 對角線互相平分。
如果你知道對角線互相平分，那麼它「一定」是平行四邊形。

4. 其中一對對邊既等長「又」互相平行。
這非常有用！如果你只是知道AB = DC「以及」AB平行於DC，那麼就夠了！它「一定」是平行四邊形。

小貼士：證明平行四邊形

要證明一個四邊形是平行四邊形，你不需要展示它所有特性。只需要證明四個條件中其中一個是真的就行。

4. 簡單的幾何證明

幾何證明只是一個邏輯論證，你一步步地解釋一些東西，並用你已經知道的事實。將自己想像成一個在法庭上的律師，呈上證據(你的理由)來證明你的論點！

如何寫一個簡單的證明

每個證明都有一個簡單的結構：

1. 已知：你已經有什麼資料？(線索)
2. 證明：你想證明什麼？(目標)
3. 證明：一系列的陳述以及它們為何是真的理由。每個陳述都需要理由！

證明例子

已知：ABCD是一個平行四邊形。
證明：三角形ABD全等於三角形CDB。
(記住，全等`$$\cong$$`意思是兩個三角形的大小和形狀都是一樣的)。

證明：

看？你只是用了我們之前學過的特性作為你的理由。證明就是一個個的謎題！你練得越多，它們就會變得越簡單。

5. 另外兩個超級有用的定理

這兩個定理它們經常用於三角形和平行線，但其實與四邊形有非常密切的關係！

中點定理

這聽起來很複雜，但概念很簡單！

它說什麼：在任何三角形中，如果你找到其中兩條邊的中點，並用一條線連接它們，那麼這條新的線就是...
1. ...平行於第三條邊。
2. ...剛好是第三條邊長度的一半。

想像一個三角形ABC。如果D是AB的中點，E是AC的中點，那麼線DE就會平行於BC，而DE的長度就會是BC長度的一半。

截線定理

這個定理全部都是關於平行線的。

它說什麼：如果你有三條或更多平行線被一條截線(一條穿過它們的線)所截，並且在這條截線上被截出來的線段是相等的，那麼在任何其他截線上被截出來的線段都將會是相等的。

比喻：想像一條梯子。梯級是互相平行的。如果垂直的側邊扶手在每個梯級之間都標記著相等的1英尺線段，那麼另一條垂直的側邊扶手也一定會有相等的1英尺線段在每個梯級之間！

小貼士：特別定理

中點定理：連接三角形兩條邊的中點會產生一條線，這條線平行於第三條邊，並且長度是第三條邊的一半。
截線定理：如果平行線在一條截線上截出相等的線段，那麼它們在所有截線上都會截出相等的線段。

恭喜你！你已經學會了整個平行四邊形家族以及一些很有用的定理了。繼續練習辨認這些圖形和它們的特性，你很快就會成為幾何大師了！