歡迎來到代數的世界！
哈囉！準備好投入數學中最有力的工具之一：代數。你可能聽過它很難，但別擔心！我們會將它拆解成簡單易懂的部分。
把代數想像成一種密碼，幫助我們解決謎題和現實世界的問題，例如計算特價商品的價格、規劃行程，甚至建立網站。在這章裡，你將學會如何說這種由字母和數字組成的「語言」。我們開始吧！
第一部分：基本構件 —— 代數式
這一切都從這裡開始。我們學習如何把文字轉化為數學，並理解代數式的基本組成部分。
1.1 用字母表示數
在代數中，我們用字母來表示未知數。這些字母稱為變數 (variables)。這就像一個盒子，你可以隨意放入任何數字。
為什麼這很有用？想像你生日收到一筆錢，但你還不知道確切的金額。你可以稱之為「m」（m for money）！
關鍵技巧：將文字轉化為代數
這是最重要的第一步！我們用字母 'n' 來代表「一個數字」。
- 「一個數字多5」變成 $$n + 5$$
- 「一個數字減少10」變成 $$n - 10$$
- 「一個數字與3的積」變成 $$3n$$ （在代數中，我們通常把數字寫在字母前面，乘號「x」可以省略。所以 $$3 \times n$$ 就是 $$3n$$。）
- 「一個數字除以4」變成 $$ \frac{n}{4} $$ （我們用分數來表示除法。）
關鍵技巧：將代數轉化為文字
我們倒過來做吧！
- $$x + 2$$ 可以是 「x多2」 或 「x與2的和」。
- $$y - 7$$ 可以是 「y少7」 或 「y減少7」。
- $$5p$$ 可以是 「5乘以p」 或 「5與p的積」。
1.2 理解代數式的組成部分
我們來看看這個代數式：$$ 5x + 3y - 7 $$
- 項 (Terms)：這些是由加號或減號分隔的部分。這裡的項是 $$5x$$、$$3y$$ 和 $$-7$$。
- 變數 (Variable)：代表未知數值的字母。這裡的變數是 x 和 y。
- 係數 (Coefficient)：與變數相乘的數字。x 的係數是 5。y 的係數是 3。
- 常數項 (Constant Term)：獨立的數字，不帶變數。這裡的常數是 -7。
快速溫習
在項 $$8k$$ 中，係數是 8，而變數是 k。
1.3 多項式：代數式的命名
「Poly」的意思是「多個」。一個多項式 (polynomial) 是由一項或多項組成的代數式。我們對只有幾項的多項式有特別的名稱：
- 單項式 (Monomial)：只有一項的代數式（例如，$$7x$$、 $$-5$$、 $$2y^2$$）。
- 二項式 (Binomial)：有兩項的代數式（例如，$$x+4$$、 $$3a-2b$$）。
- 三項式 (Trinomial)：有三項的代數式（例如，$$x^2+2x+1$$）。
1.4 合併同類項以簡化代數式
想想水果吧。你有3個蘋果，再得到2個蘋果，你就有5個蘋果。但如果你有3個蘋果和2條香蕉，你不能將它們合併成「5個蘋果香蕉」。代數也是一樣！
同類項 (Like Terms) 是指具有完全相同的變數部分（包括次方）的項。
- $$4x$$ 和 $$7x$$ 是同類項。
- $$5y^2$$ 和 $$-2y^2$$ 是同類項。
- $$3a$$ 和 $$6b$$ 是非同類項（變數不同）。
- $$2x$$ 和 $$9x^2$$ 是非同類項（次方不同）。
要簡化，我們只需將同類項的係數相加或相減。
例子：簡化 $$ \bf{7x} + \bf{2y} - \bf{3x} + \bf{4y} $$
1. 將同類項組合起來：$$ (7x - 3x) + (2y + 4y) $$
2. 合併它們：$$ 4x + 6y $$
1.5 多項式的運算
你可以像數字一樣，對多項式進行加、減和乘的運算！
加法：移除括號並合併同類項。
例子：$$(2a + 5b) + (6a - 3b)$$
$$= 2a + 5b + 6a - 3b$$
$$= (2a+6a) + (5b-3b)$$
$$= 8a + 2b$$
減法：將第二個括號內所有項的符號反轉，然後合併同類項。
例子：$$(4x + 7) - (3x - 2)$$
$$= 4x + 7 - 3x + 2$$ （請注意，-2 變成了 +2！）
$$= (4x - 3x) + (7 + 2)$$
$$= x + 9$$
乘法：將括號外的項乘以括號內的每一項。
例子：$$3(2x + 5)$$
$$= (3 \times 2x) + (3 \times 5)$$
$$= 6x + 15$$
第一部分重點總結
代數式使用字母（變數）來表示數字。我們可以透過合併同類項來簡化它們，並可以對它們進行加、減、乘等運算。
第二部分：尋找平衡 —— 方程
現在我們了解了代數式是什麼，讓我們來學習方程吧。方程就是關於平衡的！
2.1 什麼是方程？
一個方程 (equation) 表示兩個代數式相等。它總是會有一個等號 (=)。
比喻：一個平衡的蹺蹺板
把方程想像成一個完美平衡的蹺蹺板。如果你在一邊增加或移除一些東西，你必須在另一邊做同樣的事情，才能保持平衡。
例子：$$2x + 1 = 7$$
這是一個一元一次方程 (linear equation in one unknown)，因為它只有一個變數 (x)，且變數的最高次方是1。
2.2 求解一元一次方程
「求解」方程是指找出使方程成立的未知變數的值。我們的目標是將變數單獨放在等號的一邊。
黃金法則：無論你對方程的哪一邊做什麼，你都必須對另一邊做同樣的事情。
逐步指引：求解 $$3x - 5 = 16$$
- 目標：讓「x」項單獨存在。問題出在「-5」。
- 行動：做與「-5」相反的運算，也就是「+5」，加到兩邊以保持平衡。 $$3x - 5 + 5 = 16 + 5$$ $$3x = 21$$
- 目標：讓「x」完全單獨存在。問題出在乘以x的「3」。
- 行動：做與「乘以3」相反的運算，也就是「除以3」，除到兩邊。 $$\frac{3x}{3} = \frac{21}{3}$$ $$x = 7$$
2.3 從文字題列出方程
這就是代數變成現實生活工具的時候了！
問題：森的年齡是弟弟湯姆的兩倍。他們的總年齡是18歲。湯姆幾歲？
- 定義未知數：設湯姆的年齡為 'a'。
- 寫出其他數值的代數式：森的年齡是湯姆的兩倍，所以森的年齡是 $$2a$$。
- 列出方程：他們的總年齡是18歲。所以，湯姆的年齡 + 森的年齡 = 18。 $$a + 2a = 18$$
- 求解方程： $$3a = 18$$ $$\frac{3a}{3} = \frac{18}{3}$$ $$a = 6$$
- 回答問題：湯姆是6歲。（森是 2 x 6 = 12歲。）
2.4 求解聯立一次方程
如果你有兩個未知數（例如 x 和 y）和兩個方程怎麼辦？這些稱為聯立方程 (simultaneous equations)。你需要兩個方程才能找出兩個未知數的值。
現實生活例子：你買了2個蘋果和1個橙，花了$7。你的朋友買了1個蘋果和1個橙，花了$5。一個蘋果和一個橙的價格是多少？
設蘋果的價格為 a，橙的價格為 o。
方程1：$$2a + o = 7$$
方程2：$$a + o = 5$$
有兩種主要的代數方法可以解決這個問題：
方法一：代入法 (Substitution)
- 重新整理一個方程，將其中一個變數單獨放在一邊。讓我們使用方程2： $$a + o = 5 \implies o = 5 - a$$
- 代入這個代數式到另一個方程。我們將 $$(5-a)$$ 代入方程1中的「o」： $$2a + (5-a) = 7$$
- 求解這個只有一個變數的新方程： $$2a + 5 - a = 7$$ $$a + 5 = 7$$ $$a = 2$$
- 找出另一個變數，就像在代入法中一樣。將 $$a=2$$ 代回任何一個原始方程。 $$o = 5 - a \implies o = 5 - 2 \implies o = 3$$
解：一個蘋果的價格是$2，一個橙的價格是$3。
方法二：消去法 (Elimination)
目標是將方程相加或相減，以消去一個變數。
我們的方程是：
1: $$2a + o = 7$$
2: $$a + o = 5$$
- 將它們對齊。請注意，兩個方程都有「+o」。
- 相減方程2從方程1中減去，以消去「o」。 $$(2a + o) - (a + o) = 7 - 5$$ $$2a + o - a - o = 2$$ $$a = 2$$
- 找出另一個變數，就像在代入法中一樣。將 $$a=2$$ 代入方程2： $$2 + o = 5 \implies o = 3$$
我們得到了相同的答案！你可以選擇你覺得較容易的方法。
你知道嗎？
二元一次方程（例如 $$y = 2x + 1$$）的圖像總是一條直線。一對聯立方程的解就是它們兩條線在圖像上相交的點！
第二部分重點總結
方程是關於平衡的。要解它們，你必須始終對兩邊做同樣的事情。對於兩個未知數，你需要兩個方程，你可以使用代入法或消去法來求解。
第三部分：特殊工具 —— 恆等式與因式分解
讓我們利用新學到的技能來處理科學公式和比較數量吧。
3.1 方程 vs. 恆等式
一個方程 (equation) 只對特定的值成立。例如，$$x+2=5$$ 只在 $$x=3$$ 時成立。
一個恆等式 (identity) 對所有可能的值都成立。這就像用兩種不同的方式寫同一個東西。我們有時會使用 $$ \equiv $$ 符號。
例子：$$2(x+1) \equiv 2x+2$$。無論你為 x 選哪個數字，這都將永遠成立！
3.2 必須記住的重要恆等式
這些是展開括號的超級有用捷徑。
- 完全平方（和）： $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
- 完全平方（差）： $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
- 平方差： $$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$
使用恆等式的例子：展開 $$(x+3)^2$$
使用公式 $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$，其中 $$a=x$$ 和 $$b=3$$：
$$(x)^2 + 2(x)(3) + (3)^2$$
$$= x^2 + 6x + 9$$
這比手動將 $$(x+3)(x+3)$$ 展開要快得多！
3.3 因式分解：展開的逆運算
因式分解 (Factorising) 意味著將一個代數式放回括號裡。這就像找出原本相乘的「成分」一樣。
方法一：提取公因數 (Extracting a Common Factor)
找出所有項的最高公因數 (HCF)。
例子：因式分解 $$6x + 9$$
6 和 9 的 HCF 是 3。所以，我們「提取」3 出來。
$$= 3(2x + 3)$$
你可以透過展開它來檢查你的答案：$$3 \times 2x = 6x$$ 和 $$3 \times 3 = 9$$。它成功了！
方法二：利用恆等式 (Using the Identities)
如果你看到一個代數式看起來像我們的恆等式右邊的樣子，你就可以用它來因式分解！
例子一：因式分解 $$x^2 - 25$$
這看起來像「平方差」($$a^2 - b^2$$)，其中 $$a=x$$ 和 $$b=5$$。
所以，它被因式分解為 $$(a+b)(a-b)$$，也就是 $$(x+5)(x-5)$$。
例子二：因式分解 $$x^2 + 10x + 25$$
這看起來像「完全平方」($$a^2 + 2ab + b^2$$)，其中 $$a=x$$ 和 $$b=5$$。
讓我們檢查中間項：$$2ab = 2(x)(5) = 10x$$。它符合！
所以，它被因式分解為 $$(a+b)^2$$，也就是 $$(x+5)^2$$。
方法三：十字相乘法 (The Cross-Method)
這用於像 $$x^2 + bx + c$$ 這樣的三項式。
例子：因式分解 $$x^2 + 7x + 12$$
1. 我們需要兩個數字相乘得到最後一項 (12)。
2. 這兩個相同的數字必須相加得到中間項的係數 (7)。
3. 讓我們列出 12 的因數：(1, 12), (2, 6), (3, 4)。
4. 哪一對相加等於 7？是 3 和 4！($$3 \times 4 = 12$$ 且 $$3+4=7$$)。
5. 所以因數是 $$(x+3)$$ 和 $$(x+4)$$。
第三部分重點總結
恆等式是展開代數式的捷徑。因式分解是逆向過程，我們將代數式放回括號裡。學會識別這些模式是代數的關鍵技能！
第四部分：進階技能 —— 公式與不等式
讓我們利用新學到的技能來處理科學公式和比較數量吧。
4.1 公式運用
一個公式 (formula) 是一個方程，描述不同變數之間的關係，就像三角形的面積公式：$$A = \frac{bh}{2}$$。
代入 (Substitution)
如果你知道某些變數的值，你可以將它們「代入」公式中，找出未知數的值。
例子：求底 (b) = 10 厘米、高 (h) = 4 厘米的三角形面積 (A)。
$$A = \frac{bh}{2}$$
$$A = \frac{(10)(4)}{2}$$
$$A = \frac{40}{2} = 20$$
面積是 20 cm²。
更改公式主項 (Changing the Subject of a Formula)
這意味著重新整理公式，使另一個變數單獨存在。我們使用與求解方程相同的平衡規則。
例子：將公式 $$A = \frac{bh}{2}$$ 的主項改為「h」。
1. 目標：讓「h」單獨存在。首先，讓我們擺脫「除以2」的部分。
2. 行動：兩邊乘以2。
$$2A = bh$$
3. 目標：讓「h」單獨存在。現在，讓我們擺脫與它相乘的「b」。
4. 行動：兩邊除以「b」。
$$\frac{2A}{b} = h$$
所以，我們重新整理後的公式是 $$h = \frac{2A}{b}$$。
4.2 代數分數
這些是包含變數的分數。我們可以像普通分數一樣簡化和運算它們。
加法／減法：你需要一個公分母！
例子：$$ \frac{3}{x+1} + \frac{2}{x+2} $$
公分母是 $$(x+1)(x+2)$$。
$$ = \frac{3(x+2)}{(x+1)(x+2)} + \frac{2(x+1)}{(x+1)(x+2)} $$
$$ = \frac{3x+6+2x+2}{(x+1)(x+2)} $$
$$ = \frac{5x+8}{(x+1)(x+2)} $$
4.3 不等式簡介
當兩個數量不相等時，我們會使用不等式 (inequality)。我們使用這些符號：
- > ：大於
- < ：小於
- ≥ ：大於或等於
- ≤ ：小於或等於
例子：要玩一個遊戲，你的身高 (h) 必須至少是 120 厘米。我們寫作 $$h \ge 120$$。
我們可以在數線 (number line) 上顯示不等式的解。對於 $$x > 2$$，解是所有大於 2 的數字。我們在 2 處畫一個空心圓圈（因為不等於 2），並向右畫一個箭頭。
4.4 求解一元一次不等式
我們像求解方程一樣求解這些不等式，但有一個非常重要的新規則。
不等式的「危險」規則
如果你將不等式兩邊乘以或除以一個負數，你必須反轉不等號的方向。
例子一（無需反轉）：求解 $$2x + 5 < 11$$
$$2x < 11 - 5$$
$$2x < 6$$
$$x < 3$$ （我們除以正數 2，所以符號保持不變。）
例子二（需要反轉！）：求解 $$-3x + 1 \ge 10$$
$$-3x \ge 10 - 1$$
$$-3x \ge 9$$
$$\frac{-3x}{-3} \le \frac{9}{-3}$$ （我們正在除以 -3，所以我們將符號從 ≥ 反轉為 ≤！）
$$x \le -3$$
第四部分重點總結
我們可以使用求解方程的技能來處理公式和代數分數。不等式以類似的方式求解，但我們必須記住，當乘以或除以負數時，要反轉不等號的方向。