溫習筆記：勻速圓周運動及萬有引力
各位同學好！歡迎來到物理學中最引人入勝的課題之一。你有沒有想過，行星是如何圍繞太陽運行，又或者過山車在倒轉時，你為甚麼不會掉下來呢？答案就在於理解勻速圓周運動和萬有引力。在這些筆記中，我們會把這些宏大的概念拆解成簡單易明的部分。我們會探討事物為何會作圓周運動，以及解釋由蘋果落地到月球繞地球運行，統治宇宙萬物的萬有引力。讓我們開始吧！
1. 繞圈圈的學問：勻速圓周運動 (UCM)
想像一輛汽車在圓形賽道上以每小時50公里的穩定速度（速率）行駛。它正在作圓周運動，而且速率沒有改變。這就是勻速圓周運動的精髓。
甚麼是UCM？基本概念
勻速圓周運動 (UCM) 指物體以恆定速率沿圓形路徑運動。
這聽起來很簡單，但其實有一個很「考你」的地方。記住，速度是一個向量——它既有大小（速率），也有方向。在UCM中：
- 速率是恆定的。
- 運動的方向持續改變。
由於方向不斷改變，所以即使速率不變，速度也在改變！而如果速度正在改變，就一定存在加速度。
打個比方：想像你在一個迴旋處繞圈步行。即使你保持穩定的步伐，你仍不斷轉向以沿著彎道前進。你的速度正在改變，因為你的方向正在改變。方向的改變者：向心加速度
作UCM的物體總是在加速。這種加速度稱為向心加速度 (a)。「向心」這個詞的意思是指向圓心。
- 方向：向心加速度永遠指向圓周路徑的圓心。
- 作用：它負責改變速度的方向，而不是其速率。
我們用以下公式計算它：
$$a = \frac{v^2}{r}$$其中：
- a 是向心加速度（單位為 m s⁻²）
- v 是物體的恆定速率（單位為 m s⁻¹）
- r 是圓周路徑的半徑（單位為 m）
「指向圓心」的力：向心力
根據牛頓第二定律 (F = ma)，如果存在加速度，就必然存在一個淨力。引起向心加速度的力稱為向心力 (F)。
重要提示：向心力並不是一種新的力！它是指向圓心的合力。它總是來自一種或多種常見的力。
我們將 F=ma 和 a=v²/r 結合起來計算：
$$F = ma = \frac{mv^2}{r}$$其中 m 是物體的質量（單位為 kg）。
向心力的來源例子：
- 繩上的球：繩子中的張力。
- 汽車轉彎：輪胎與路面之間的摩擦力。
- 月球繞地球運行：來自地球的引力。
常見錯誤提醒：虛假的「離心力」
你可能聽過「離心力」—— 那是在旋轉遊樂設施上時，感覺把你向外推的力。這並不是一種真實的力！你感受到的其實是你自己的慣性——你的身體傾向於保持直線運動。汽車（或遊樂設施）正在迫使你向內轉彎（提供向心力），而你感受到的就是一種向外的推力。
快速回顧：UCM要點
概念：以恆定速率作圓周運動。
核心概念：由於方向不斷改變，速度總是在改變。
向心加速度 (a)：指向圓心。公式：$$a = \frac{v^2}{r}$$
向心力 (F)：指向圓心的合力。它由其他力（如張力、摩擦力、引力）提供。公式：$$F = \frac{mv^2}{r}$$
2. 萬物相吸：萬有引力
為甚麼物體會向下墜？為甚麼地球會繞太陽公轉？牛頓提出了一個革命性的想法：兩者都是由同一種力所造成。他稱之為引力。
牛頓的宏大構想：萬有引力定律
牛頓指出，宇宙中的每個粒子都以一種力吸引著其他所有粒子。這種力的大小取決於兩件事：物體的質量和它們之間的距離。
萬有引力定律的公式如下：
$$F = \frac{GMm}{r^2}$$其中：
- F 是萬有引力（單位為 N）
- G 是萬有引力常數 ($$G \approx 6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}$$)
- M 和 m 是兩個物體的質量（單位為 kg）
- r 是兩個物體中心之間的距離（單位為 m）
你知道嗎？
G 的數值非常小！這就是為甚麼你不會感覺到桌子或椅子對你產生引力。引力只在當物體質量非常巨大時（例如行星或恆星）才會成為一種顯著的力。
常見錯誤提醒：'r' 是指中心到中心的距離！
一個非常常見的錯誤是將行星的半徑或衛星的高度直接用作 'r'。記住，'r' 是從一個物體的中心到另一個物體的中心之間的距離。對於繞地球運行的衛星，'r' 會是地球的半徑加上衛星距離地面的高度。
拉力有多強？引力場強度 (g)
引力場是指一個質量物體會受到引力作用的空間區域。某點的引力場強度 (g) 定義為該點的每單位質量所受的引力。
根據定義：
$$g = \frac{F}{m}$$如果我們將牛頓的萬有引力公式代入 F，我們會得到另一個計算 'g' 的重要公式：
$$g = \frac{(GMm/r^2)}{m} \implies g = \frac{GM}{r^2}$$其中 M 是產生引力場的物體（例如行星）的質量，而 r 是從其中心量度的距離。
在地球表面，'g' 大約是 9.81 N kg⁻¹（或 9.81 m s⁻²），這就是我們都熟悉的重力加速度！
快速回顧：萬有引力要點
概念：任何兩個質量之間普遍存在的吸引力。
核心公式：：$$F = \frac{GMm}{r^2}$$
引力場強度 (g)：每單位質量所受的力。公式：$$g = \frac{GM}{r^2}$$
核心概念：：'r' 總是從物體的中心量度。
3. 壓軸好戲：軌道上的衛星
現在，讓我們把所學的一切結合起來吧！作圓形軌道運行的衛星是勻速圓周運動的完美例子，其中向心力就是由引力提供。
為甚麼衛星不會掉下來？
它們正在下墜！但它們同時也以極快的橫向速度移動，以致於當它們下墜時，地球的表面也在它們下方彎曲遠離。它們正處於一種不斷「繞地球下墜」的狀態。
對於一個在穩定圓形軌道上運行的衛星：
所需的向心力 = 所提供的引力
$$\frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}$$在這裡，'m' 是衛星的質量，'M' 是地球的質量，'v' 是衛星的軌道速率，而 'r' 是軌道半徑（從地球中心量度）。
計算軌道速率
我們可以使用以上方程來找出衛星需要多快的速度（速率）才能保持在軌道上運行。別擔心，這些步驟很簡單直接！
步驟 1：從平衡力方程開始。
$$\frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}$$步驟 2：留意衛星的質量 'm' 在方程兩邊都有出現。我們可以把它們約掉！這表示所需的軌道速率並不取決於衛星的質量。
$$\frac{v^2}{r} = \frac{GM}{r^2}$$步驟 3：重新整理方程，以解出 v²。
$$v^2 = \frac{GMr}{r^2} \implies v^2 = \frac{GM}{r}$$步驟 4：將方程兩邊開平方，以得到計算軌道速率的最終公式。
$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$這告訴我們，進行軌道運動所需的速率只取決於行星的質量 (M) 和衛星距離其中心的距離 (r)。衛星距離越遠，它所需的速率就越慢！
現實世界連結：GPS 和氣象衛星
這些物理學原理正是我們現代世界運作的基礎！全球定位系統 (GPS) 衛星、氣象衛星和電視廣播衛星，都是根據這些原理，精確地放置在特定軌道上，並以精準的速率運行。