方程進階:不只線性,更多變化!

大家好!歡迎來到「方程進階」的學習筆記。在初中階段,你已經是解線性方程的專家了。現在,我們要來個大升級!這一章會帶你挑戰更複雜、更有趣的方程。我們會學習如何找出直線與曲線的交點,以及怎樣解開那些看似複雜,但其實是披著二次方程外衣的「偽裝」方程。

為什麼這很重要?因為這些技巧就像解決問題的超級工具,不只在數學,連物理、工程學和經濟學等領域都大派用場!事不宜遲,立即開始吧!


1. 直線與曲線的相遇:解聯立方程

想像一下筆直的道路和蜿蜒的河流。它們會在哪些點相交呢?這就正是我們在解一條線性方程(道路)和一條二次方程(河流)的聯立方程時,所要找的答案!

快速回顧:甚麼是聯立方程?

解聯立方程的意思,就是要找出能讓兩個方程同時成立的一組變數值(例如 `x` 和 `y`)。從幾何角度來看,就是找出它們圖像的交點坐標。你以前解過兩條直線的聯立方程,它們通常只會在一個點相交(除非兩條直線完全重疊!)。但當直線遇上拋物線,情況就變得更有趣了。


圖解法 (學習目標 5.1)

這個方法重視視覺化。方程的解,簡單來說就是兩個方程的圖像在坐標平面上實際相交的點。

分步操作指南:

  1. 仔細畫出線性方程(直線)的圖像。
  2. 在同一個坐標軸上,畫出二次方程的圖像,它會是一條形如 $$y = ax^2 + bx + c$$ 的拋物線。
  3. 找出直線和拋物線相交的地方。
  4. 讀取這些交點的 (x, y) 坐標。這些就是你的解!

你可能會看到以下三種情況:

  • 兩個交點:這表示有兩個相異實數解
  • 一個交點:直線剛好在一個點上觸碰拋物線(這條直線就是切線)。這表示有一個重覆實數解
  • 沒有交點:直線和拋物線從不相遇。這表示沒有實數解

快速溫習
圖解法:畫出兩個圖像。它們的交點坐標就是方程的解。就這麼簡單!在文憑試 (DSE) 中,拋物線通常會以友善的 $$y = ax^2 + bx + c$$ 形式出現,方便你使用這種方法。


代數法 (學習目標 5.2)

這是一種更精確、不用圖像的方式來解決這些問題。最常用的技巧就是代入法。你可以想像自己是一名偵探:利用其中一個方程提供的線索,去解開另一個方程的秘密。

分步操作指南:

  1. 你會有一個線性方程和一個二次方程。如果可以,給它們標上編號,會更方便。
  2. 線性方程中,將其中一個變數設為主項。例如,將 `x - y = 2` 重新排列成 `x = y + 2`。這就是你的「代入工具」。
  3. 將這個表達式代入二次方程中。這樣會消除一個變數,讓你得到一個只含單一變數的普通二次方程。
  4. 解這個新的二次方程,找出該變數的值(例如,找出所有可能的 `y` 值)。
  5. 將你剛才找到的值代回簡單的線性方程(你的「代入工具」在第 2 步中建立的,非常適合這一步),找出另一個變數的對應值。
  6. 將你的最終答案寫成坐標對,例如 `(x, y)`。務必確保它們是正確配對的!

例子:解以下聯立方程:

(1) $$y - x = 1$$

(2) $$y = x^2 - 1$$

步驟 1 和 2:從線性方程 (1) 中,我們將 `y` 設為主項。
$$y = x + 1$$

步驟 3:將此代入二次方程 (2)。
$$(x + 1) = x^2 - 1$$

步驟 4:重新排列成標準二次方程並求解。
$$0 = x^2 - x - 2$$
$$0 = (x - 2)(x + 1)$$
所以,$$x = 2$$ 或 $$x = -1$$。

步驟 5:現在使用簡單的線性方程重排式 $$y = x + 1$$,找出每個 `x` 對應的 `y` 值。
當 $$x = 2$$ 時,$$y = 2 + 1 = 3$$。
當 $$x = -1$$ 時,$$y = -1 + 1 = 0$$。

步驟 6:清楚列出答案。
解是 (2, 3)(-1, 0)

常見錯誤:
  • 忘記第二個變數:找到所有 `x` 值後,很容易忘記返回去找出對應的 `y` 值。
  • 配對錯誤:確保屬於同一組的 `x` 和 `y` 值寫成一對。
  • 展開錯誤:當你進行代入和展開時,對負號和括號要非常小心。

重點提示:要解一個線性方程和一個二次方程的聯立,其實就是要找出直線和拋物線的交點。你可以透過畫圖(圖解法)來完成,或者更精確地使用代數運算(代數法)。代數法的關鍵就是代入!


2. 偽裝大師:看似複雜的二次方程變形

有些方程初看起來非常複雜(例如包含分數、指數或對數),但它們往往只是穿著「偽裝」的簡單二次方程。我們的工作就是運用一個巧妙的技巧:代入法,來揭開它們的真面目。

「設 u = ...」的妙計

如果你發現一個方程中,某項是另一項的平方,例如 $$a(\text{某個東西})^2 + b(\text{某個東西}) + c = 0$$,你就可以將它簡化。

只需說:「設 u = (那個「某個東西」)」。

你原本看似嚇人的方程,就會神奇地變身為我們熟悉的 $$au^2 + bu + c = 0$$。先解出 `u` 的值,然後再將其代回,就能找到你原本的變數了。別擔心,多練習就會得心應手!

偽裝方程的種類 (學習目標 5.3)
A. 分式方程

例子:解 $$x + \frac{6}{x} = 5$$

  1. 消去分數。首先,請注意 `x` 不能為 0。然後,將整個方程乘以分母 (`x`)。
    $$x(x) + x(\frac{6}{x}) = x(5)$$
    $$x^2 + 6 = 5x$$
  2. 重新排列並求解。
    $$x^2 - 5x + 6 = 0$$
    $$(x - 2)(x - 3) = 0$$
    所以,$$x = 2$$ 或 $$x = 3$$。(兩個都是有效解,因為它們都不是 0)。
B. 指數方程

例子:解 $$4^x - 3 \cdot 2^x - 4 = 0$$

  1. 識破偽裝。請注意 $$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$$。所以這個方程實際上是:
    $$(2^x)^2 - 3(2^x) - 4 = 0$$
  2. 使用「設 u = ...」的妙計。設 $$u = 2^x$$。方程變為:
    $$u^2 - 3u - 4 = 0$$
  3. 解出 u。
    $$(u - 4)(u + 1) = 0$$
    所以,$$u = 4$$ 或 $$u = -1$$。
  4. 代回並解出 x。
    情況 1:$$u = 4 \implies 2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x = 2$$。
    情況 2:$$u = -1 \implies 2^x = -1$$。這個情況沒有實數解,因為一個正數的任何次方都不會是負數。
  5. 唯一的解是 $$x = 2$$。

記憶小貼士:一個正數的底數,例如 $$a^x$$,永遠都是正數。如果你得到 $$a^x = \text{負數}$$ 或 $$a^x = 0$$,請立即捨棄該解!

C. 對數方程

例子:解 $$\log(x-2) + \log(x+1) = \log 10$$ (請記住,log 代表以 10 為底的對數)

  1. 合併對數。使用對數定律 $$\log A + \log B = \log(AB)$$。
    $$\log((x-2)(x+1)) = \log 10$$
  2. 使真數相等。如果 $$\log M = \log N$$,那麼 $$M=N$$。
    $$(x-2)(x+1) = 10$$
  3. 展開並解二次方程。
    $$x^2 - x - 2 = 10$$
    $$x^2 - x - 12 = 0$$
    $$(x - 4)(x + 3) = 0$$
    所以,$$x = 4$$ 或 $$x = -3$$。
  4. 關鍵檢查!對數的真數必須為正數。
    測試 $$x=4$$:$$\log(4-2) = \log(2)$$ (✅),$$\log(4+1) = \log(5)$$ (✅)。所以 $$x=4$$ 是一個有效解。
    測試 $$x=-3$$:$$\log(-3-2) = \log(-5)$$ (❌!)。我們必須捨棄這個解。
  5. 唯一的解是 $$x = 4$$。
D. 三角方程

例子:解 $$2\sin^2\theta - 5\sin\theta + 2 = 0$$ (範圍為 $$0^\circ \le \theta \le 360^\circ$$)

  1. 識破偽裝。這看起來就像是一個關於 $$\sin\theta$$ 的二次方程。
    設 $$u = \sin\theta$$。方程變為:
    $$2u^2 - 5u + 2 = 0$$
  2. 解出 u。
    $$(2u - 1)(u - 2) = 0$$
    所以,$$u = \frac{1}{2}$$ 或 $$u = 2$$。
  3. 代回並解出 θ。
    情況 1:$$\sin\theta = \frac{1}{2}$$。參考角是 $$30^\circ$$。正弦在第一和第二象限為正,所以 $$\theta = 30^\circ$$ 和 $$\theta = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$$。
    情況 2:$$\sin\theta = 2$$。這個情況沒有解,因為正弦函數的值域只介乎 -1 和 1 之間。
  4. 解是 $$\theta = 30^\circ, 150^\circ$$。

重點提示:許多看似複雜的方程,其實都只是偽裝成其他形式的二次方程。關鍵在於辨識出 $$a(\text{某個東西})^2 + b(\text{某個東西}) + c = 0$$ 這個模式,並利用代入法(例如「設 u = ...」)來簡化它。永遠要記得檢查你的最終答案,確保它們在原方程中是有效的(例如,沒有除以零、對數的真數為正、sinθ 在值域範圍內)。


3. 數學實戰:解決應用題 (學習目標 5.4)

這就是我們將所有新學的代數技巧,應用到解決實際文字題的時候了。無論問題看起來多複雜,方法都是一樣的。你一定可以的!

解決文字題的四步策略:

  1. 理解與定義:仔細閱讀題目,弄清楚你需要找出甚麼。然後,用變數來定義未知數,例如「設 `x` 為闊度,單位為厘米」。
  2. 建立方程:將題目中的句子和關係轉換成數學方程。這通常是最棘手的環節,所以要留意關鍵詞,例如「和」、「積」、「周界」、「面積」等。
  3. 求解:運用你在本章學到的代數方法,解出你所建立的方程或方程組。
  4. 檢查與總結:看看你的答案。它在現實世界中合理嗎?(例如,長度不可能是負數)。最後,用清晰的句子回答原始問題。

例子:一個長方形的長度比闊度多 3 厘米。它的面積是 40 平方厘米。求該長方形的尺寸。

1. 理解與定義:我們需要找出長度和闊度。
設闊度為 `w` 厘米。
由於長度比闊度多 3 厘米,所以長度為 `(w + 3)` 厘米。

2. 建立方程:題目給出了面積。長方形面積的公式是 長度 × 闊度。
$$(w + 3) \times w = 40$$

3. 求解:這是一個可以轉換成二次方程的方程。
$$w^2 + 3w = 40$$
$$w^2 + 3w - 40 = 0$$
$$(w + 8)(w - 5) = 0$$
所以,$$w = -8$$ 或 $$w = 5$$。

4. 檢查與總結:闊度不可能是負數,所以我們捨棄 $$w = -8$$。
唯一的有效解是 $$w = 5$$。
如果闊度是 5 厘米,那麼長度就是 $$w + 3 = 5 + 3 = 8$$ 厘米。
讓我們檢查面積:$$5 \times 8 = 40$$。驗證成功!
總結:該長方形的闊度為 5 厘米,長度為 8 厘米。

重點提示:文字題是一個過程:理解、建立方程、求解、檢查。將文字敘述轉化為正確的方程是最重要的練習技能。不要放棄!