多項式進階：你的終極溫習指南！
大家好！歡迎來到「多項式進階」的溫習筆記。即使這個課題聽起來有點嚇人，也別擔心。你之前已經接觸過多項式了，而這個章節就是要學習一些處理多項式的新技巧。
我們會仔細講解如何進行多項式除法（就像你小學時做數字除法一樣！），發現一些驚人的捷徑，叫做餘數定理和因式定理，並學習如何處理由多項式組成的分數。這些技巧非常重要，因為它們是解決更複雜數學問題的基礎。
讓我們一步一步來。你一定做得到！
1. 多項式除法：「長除法」方法
還記得數字的長除法嗎？例如用529除以23？我們對多項式也能做同樣的事情！這是一個強大的工具，能將大型多項式分解成更小、更易於處理的部分。
首先，甚麼是除法算式？
這只是一個正式的說法，說明我們從長除法中已經知道的東西。當你用一個多項式除以另一個多項式時，你會得到一個結果，有時還有剩餘的部分。
規則：被除數 = (除數 × 商) + 餘數
在多項式中，如果我們用一個多項式 f(x) 除以另一個多項式 g(x)，我們會得到：
$$f(x) = g(x) \cdot Q(x) + R(x)$$
其中：
- f(x) 是被除數（被除的多項式）。
- g(x) 是除數（用來除的多項式）。
- Q(x) 是商（除法的主要結果）。
- R(x) 是餘數（剩餘的部分）。
一個重要規則：餘數 R(x) 的次數必須小於除數 g(x) 的次數。
長除法的逐步指南
讓我們用 f(x) = 2x³ + 5x² - 4x - 5 除以 g(x) = x + 3。
步驟 1：排列。 將其寫成長除法格式。確保兩個多項式都按降冪排列。如果缺少任何項，請用零係數補上（例如 0x²）。
步驟 2：相除。 用被除數的第一項 (2x³) 除以除數的第一項 (x)。
$$2x³ ÷ x = 2x²$$。這是商的第一部分。
步驟 3：相乘。 將此結果 (2x²) 乘以整個除數 (x + 3)。
$$2x² \cdot (x + 3) = 2x³ + 6x²$$。將此寫在被除數下方。
步驟 4：相減。 將這個新的多項式從被除數中減去。務必小心負號！
$$(2x³ + 5x²) - (2x³ + 6x²) = -x²$$
步驟 5：降下。 降下被除數的下一項 (-4x)。
步驟 6：重複！ 現在用新的多項式 (-x² - 4x) 重複這個過程。
- 相除： $$-x² ÷ x = -x$$
- 相乘： $$-x \cdot (x + 3) = -x² - 3x$$
- 相減： $$(-x² - 4x) - (-x² - 3x) = -x$$
- 降下： 下一項，即是 -5。
用 -x - 5 再重複一次。
- 相除： $$-x ÷ x = -1$$
- 相乘： $$-1 \cdot (x + 3) = -x - 3$$
- 相減： $$(-x - 5) - (-x - 3) = -2$$
我們不能再繼續除了，因為 -2 的次數（即 0）小於 x+3 的次數（即 1）。所以，-2 就是我們的餘數！
結果： 商是 2x² - x - 1，餘數是 -2。
因此，我們可以寫成：2x³ + 5x² - 4x - 5 = (x + 3)(2x² - x - 1) - 2。
第一部分的重點
多項式長除法遵循與數字除法相同的「相除、相乘、相減、降下」模式。這是找到商和餘數的可靠方法。永遠記得為缺少的項補上佔位符（例如 0x）！
2. 餘數定理：一個巧妙的捷徑！
進行長除法可能會很……長！如果你只需要找出餘數怎麼辦？餘數定理可以幫你省下不少時間。這是一個驚人的捷徑。
它是如何運作的？
該定理指出：
當多項式 f(x) 除以一次多項式 (x - a) 時，餘數就是 f(a)。
為什麼？很簡單！根據除法算式，我們有 f(x) = (x - a)Q(x) + R。如果我們代入 x = a，第一部分會變成 (a - a)Q(a)，即是 0！所以我們剩下 f(a) = R。這真是太聰明了！
讓我們試試看！
讓我們用之前的例子：找出當 f(x) = 2x³ + 5x² - 4x - 5 除以 x + 3 時的餘數。
- 1. 找出 'a'。 我們的除數是 x + 3。為了匹配 (x - a) 的形式，我們將它寫成 x - (-3)。因此，a = -3。
- 2. 計算 f(a)。 我們需要找出 f(-3)。將 x = -3 代入多項式：
f(-3) = 2(-3)³ + 5(-3)² - 4(-3) - 5
f(-3) = 2(-27) + 5(9) + 12 - 5
f(-3) = -54 + 45 + 12 - 5
f(-3) = -2
餘數是 -2。看！這與我們從長除法得到的結果相同，但快得多。
快速複習：如果除數是 (ax - b) 怎麼辦？
概念相同。只需找出使除數為零的 x 值。
對於 ax - b = 0，我們有 x = b/a。
因此，當 f(x) 除以 (ax - b) 時的餘數是 f(b/a)。
第二部分的重點
要找出 f(x) 除以 (x - a) 的餘數，只需計算 f(a)。無需長除法！這是本章最有用的技巧之一。
3. 因式定理：找出構成部分
因式定理是餘數定理的一個特殊情況。如果餘數是 0 會怎樣？這表示除數能完美地整除！這就使它成為一個因式。
類比：當你用 12 除以 3 時，餘數是 0。這表示 3 是 12 的一個因數。多項式的道理也是一樣。
定理簡述
該定理有兩個部分：
- 如果 f(a) = 0，那麼 (x - a) 是多項式 f(x) 的一個因式。
- 如果 (x - a) 是 f(x) 的一個因式，那麼 f(a) = 0。
如何使用因式定理
這個定理對於因式分解高次多項式非常有用。
例子：將 f(x) = x³ + 2x² - 5x - 6 完全因式分解。
步驟 1：找出一個可能的因式。 我們需要找到一個數字 'a' 使 f(a) = 0。
小貼士： 嘗試常數項（即 -6）的整數因數。 'a' 的可能值是 ±1, ±2, ±3, ±6。
讓我們測試一下：
- f(1) = (1)³ + 2(1)² - 5(1) - 6 = 1 + 2 - 5 - 6 = -8。不是零。
- f(-1) = (-1)³ + 2(-1)² - 5(-1) - 6 = -1 + 2 + 5 - 6 = 0。是！
由於 f(-1) = 0，我們知道 (x - (-1))，即是 (x + 1)，是一個因式！
步驟 2：找出其他因式。 既然我們找到了一個因式，我們可以使用長除法來找出其餘的。用原始多項式除以我們剛剛找到的因式。
用 (x³ + 2x² - 5x - 6) 除以 (x + 1)。
（如果你進行長除法，你會得到商是 x² + x - 6，餘數是 0）。
所以，f(x) = (x + 1)(x² + x - 6)。
步驟 3：因式分解剩餘的二次式。 現在我們只需要因式分解 x² + x - 6。這很簡單！
x² + x - 6 = (x + 3)(x - 2)
最終答案： f(x) = (x + 1)(x + 3)(x - 2)。我們已經完全因式分解了它！
第三部分的重點
因式定理是分解大型多項式的關鍵。如果 f(a) = 0，那麼 (x - a) 是一個因式。測試常數項的因數來找到你的第一個因式，然後使用長除法。
4. 多項式的 H.C.F. 及 L.C.M.
你已經學過如何找出數字的最高公因數 (H.C.F.) 和最低公倍數 (L.C.M.)。現在，我們將把它應用到多項式上。這項技巧對於處理多項式分數至關重要。
快速複習：數字的 H.C.F. 及 L.C.M.
讓我們找出 12 和 18 的 H.C.F. 及 L.C.M.。
1. 因式分解：12 = 2² × 3¹ 和 18 = 2¹ × 3²
2. H.C.F.：取公因數中最低次冪的積。公因數是 2 和 3。最低次冪是 2¹ 和 3¹。H.C.F. = 2 × 3 = 6。
3. L.C.M.：取所有因數中最高次冪的積。所有因數是 2 和 3。最高次冪是 2² 和 3²。L.C.M. = 2² × 3² = 36。
我們對多項式也採用完全相同的邏輯！
多項式的逐步指南
例子：找出以下多項式的 H.C.F. 及 L.C.M.：
P(x) = x² - 9
Q(x) = x² - x - 12
步驟 1：將所有多項式完全因式分解！ 這永遠是第一步。
P(x) = (x - 3)(x + 3)
Q(x) = (x - 4)(x + 3)
步驟 2：找出 H.C.F.。 找出它們的公因式。
兩者都有因式 (x + 3)。就這樣。
所以，H.C.F. = (x + 3)。
步驟 3：找出 L.C.M.。 列出所有獨特的因式，並取每個因式的最高次冪。
獨特的因式是 (x - 3)、(x + 3) 和 (x - 4)。每個因式的最高次冪都是 1。
所以，L.C.M. = (x - 3)(x + 3)(x - 4)。
第四部分的重點
重點永遠是先因式分解！然後記住這些簡單規則：
H.C.F. = 公有因式的最低次冪之積。
L.C.M. = 所有因式的最高次冪之積。
5. 處理有理函數（多項式分數）
有理函數只是一個花俏的名字，指的是一個分子是多項式、分母也是多項式的分數。現在我們將利用 H.C.F. 和 L.C.M. 的技巧來簡化、加、減、乘、除它們。
簡化、相乘和相除
所有這些運算的金科玉律是：先因式分解，然後約簡！
例子（簡化）： 簡化 $$(x² - 9) / (x² - x - 12)$$
$$ \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 4)(x + 3)} = \frac{(x - 3)\cancel{(x + 3)}}{(x - 4)\cancel{(x + 3)}} = \frac{x - 3}{x - 4} $$
例子（相乘）： 計算 $$ \frac{x+2}{x-5} \cdot \frac{x^2 - 25}{x^2 - 4} $$
$$ \frac{x+2}{x-5} \cdot \frac{(x-5)(x+5)}{(x-2)(x+2)} = \frac{\cancel{(x+2)}}{\cancel{(x-5)}} \cdot \frac{\cancel{(x-5)}(x+5)}{(x-2)\cancel{(x+2)}} = \frac{x+5}{x-2} $$
例子（相除）： 計算 $$ \frac{x+1}{x-2} \div \frac{x^2+3x+2}{x^2-4} $$
記住：保持、變換、倒轉！
$$ \frac{x+1}{x-2} \cdot \frac{x^2-4}{x^2+3x+2} = \frac{x+1}{x-2} \cdot \frac{(x-2)(x+2)}{(x+1)(x+2)} = 1 $$
相加和相減
就像處理數字分數一樣，你需要一個公分母。而最好的公分母是什麼？就是L.C.M.！
例子： 計算 $$ \frac{3}{x-4} - \frac{2}{x+3} $$
步驟 1：找出分母的 L.C.M.。 分母已經因式分解。(x-4) 和 (x+3) 的 L.C.M. 就簡單是 (x-4)(x+3)。
步驟 2：將每個分數重寫為具有公分母的形式。
$$ \frac{3(x+3)}{(x-4)(x+3)} - \frac{2(x-4)}{(x-4)(x+3)} $$
步驟 3：合併分子。 對於減號要非常小心！
$$ \frac{3(x+3) - 2(x-4)}{(x-4)(x+3)} = \frac{3x+9 - 2x+8}{(x-4)(x+3)} $$
步驟 4：簡化分子。
$$ \frac{x+17}{(x-4)(x+3)} $$
這就是我們的最終答案。除非被要求，否則不要展開分母。
你知道嗎？
「有理函數 (rational function)」中的「有理 (rational)」一詞，源於「比率 (ratio)」這個詞，因為它是由兩個多項式構成的比率。它與數字是否「合理」或「邏輯」無關！
第五部分的重點
處理有理函數就像處理普通分數一樣。
- 對於乘法和除法：因式分解並約簡。
- 對於加法和減法：找出L.C.M. 以獲得公分母，然後合併。