深入探討函數圖像：你的數學視覺指南！
各位同學！歡迎來到「深入探討函數圖像」這個課題。不要被這個名稱嚇怕你們，你們可以將本章當作是學習一種新語言——圖像的語言。函數圖像就如同一個個圖畫，訴說著數學關係的故事。
在本章，我們會探索不同函數圖像的「個性」，學習如何不需複雜的代數運算，都可以用它們來解題，甚至發現如何移動、拉伸和翻轉它們！這是一個超實用的技巧，可以讓抽象的概念變得更容易看到和理解。事不宜遲，我們立即開始吧！
第一部分：函數圖像快速概覽
在我們深入探討之前，先來認識一下這些「主要角色」——你們會遇到的不同類型函數圖像。每一個都有它自己獨特的形狀和特徵！
常數函數：平坦的路
它們之中最簡單的一個！
方程： $$y = c$$ (其中 c 只是一個數)
形狀： 一條完美的水平直線。
例子：$$y = 3$$ 的圖像就是一條水平線，線上每一個點的y座標都是3。就如同在一個完全平坦的地面上行走。
線性函數：一致的斜度
這些你們之前見過很多次了！
方程： $$y = mx + c$$
形狀： 一條向上或向下傾斜的直線。
例子：$$y = 2x + 1$$ 的圖像就是一條直線。每當你向右走一步 (x增加1)，你就會向上走兩步 (y增加2)。就如同在一個斜度固定的斜坡上行走。
二次函數：U形轉彎
這些就是彎彎曲曲的「U」形。
方程： $$y = ax^2 + bx + c$$
形狀： 一條拋物線，可以開口向上 (如同笑臉 😊) 或開口向下 (如同愁眉 ☹️)。
例子：一個球被拋到空中的路徑就是一條拋物線。它會向上升，到達最高點 (頂點)，然後再落下來。
三角函數：無窮無盡的波浪
這些函數描述重複的規律。
方程： $$y = ext{sin } x$$ 和 $$y = ext{cos } x$$
形狀： 一條平滑、連續而且無限延伸的波浪線。
例子：想像一下聲波、池塘上的漣漪，又或者是擺動的擺。這些都遵循著重複的波浪形規律，就正如正弦或餘弦函數的圖像一樣。
給各位同學的小提示
你們可能還會見到指數函數和對數函數。雖然深入探討它們的圖像通常是非基礎課題的內容，但是知道它們大概的樣貌也是件很有趣的事！指數函數展示快速增長 (如同一個「J」字形曲線)，而對數函數則顯示增長速度逐漸減慢的情況。
圖像比較：應該留意什麼？
當你們被要求比較不同的圖像時，以下是四大關鍵特徵值得你們討論：
- 定義域： 所有可能的 x 值是什麼？對於線性和二次函數，x 可以是任何實數。但是對於其他某些函數，可能會有限制。
- 最大值／最小值： 有沒有最高點 (最大值) 或最低點 (最小值)？開口向上的拋物線在它的頂點會有最小值。開口向下的就會有最大值。正弦和餘弦波浪線就同時有齊最大值和最小值！
- 對稱性： 這個圖像是不是它自己的鏡像？拋物線會有一條穿過它們頂點的對稱軸。
- 週期性： 這個圖像是不是以一個規律的週期重複出現？這是三角函數圖像的關鍵特徵。一個完整週期的長度就稱為週期。
第一部分的重點總結
每種函數都有它獨特的圖像形狀。通過觀察它的形狀，我們可以理解它的主要特性，例如它的最高點／最低點、對稱性，以及它是不是會重複出現。
第二部分：用圖像解題：圖解法
你們知不知道，其實單憑觀察圖像就可以解方程了？這是一種強大的視覺解法，比起單純盯著符號和數字，可以讓事情更加清晰易懂。
解 $$f(x) = k$$：圖像在哪裡相交？
解一個好似 $$x^2 - x - 5 = 1$$ 這樣的方程，可能會覺得有些棘手。但如果我們用圖像的角度去想呢？
方程 $$f(x) = k$$ 其實是在問：「對於函數 $$y = f(x)$$，在哪些 x 值，y 值會等於 $$k$$？」
這和找兩條圖像的相交點是一回事：
- $$y = f(x)$$ 的圖像 (這條可以是曲線、波浪線等等)
- $$y = k$$ 的圖像 (這條永遠都是一條水平線！)
這兩條圖像相交的x座標，就是這個方程的解了！
分步指南：
我們來解 $$x^2 - 3 = 1$$，並用 $$y = x^2 - 3$$ 的圖像。
步驟 1： 你們會得到 $$y = x^2 - 3$$ 的圖像 (一條拋物線)。
步驟 2： 在同一個坐標軸上，畫出水平線 $$y = 1$$。
步驟 3： 找找看拋物線和直線在哪裡相交。你會看到它們在兩點相遇。
步驟 4： 讀出這些相交點的x座標。它們分別是 $$x = -2$$ 和 $$x = 2$$。
結果： 解是 $$x = -2$$ 和 $$x = 2$$。就這麼簡單！不需要做因式分解了！
解不等式好似 $$f(x) > k$$：哪個在上面？
我們可以用同樣的概念來解不等式。這也是關於比較曲線 ($$y = f(x)$$) 和水平線 ($$y = k$$) 的相對位置。
- 要解 $$f(x) > k$$，就找曲線在直線 $$y=k$$ 之上的 x 值範圍。
- 要解 $$f(x) < k$$，就找曲線在直線 $$y=k$$ 之下的 x 值範圍。
記憶小提示： 將「>」符號想像成一個向上的箭頭 (表示之上)，而「<」符號想像成一個向下的箭頭 (表示之下)。
快速溫習小方塊
$$f(x) = k$$： 函數 $$f(x)$$ 的圖像和直線 $$y=k$$ 相交的地方。
$$f(x) > k$$： 函數 $$f(x)$$ 的圖像在直線 $$y=k$$ 之上的地方。
$$f(x) < k$$： 函數 $$f(x)$$ 的圖像在直線 $$y=k$$ 之下的地方。
(對於 $$ ext{≥}$$ 或 $$ ext{≤}$$，只要將相交點包括在你的答案裡面就可以了！)
常見錯誤警報！
當你解不等式的時候，你的答案應該是x 值的範圍，而不是 y 值。例如，答案應該會是 「$$x > 5$$」 或者 「$$ -1 < x < 3$$」，而不是 「$$y > k$$」。你是要找出這個條件的原因 (x)，而不是說回條件本身。
第二部分的重點總結
我們可以透過畫出函數圖像和一條水平線，來解方程和不等式。答案就是圖像和線相交、在線之上，或者在線之下的 x 值。
第三部分：圖像大變身：函數圖像變換
想像一下，你們有一個函數圖像，例如 $$y = f(x)$$。函數變換就是些簡單的規則，可以讓你們移動、拉伸、縮小和翻轉圖像，從而創造一個新圖像，而不需從頭開始重新畫所有點！
就算一開始覺得有些難處理也不需擔心，我們會用簡單的比喻來拆解它。
1. 垂直平移 ($$y = f(x) + k$$) - 搭電梯
這是最簡單的一個！它會將整個圖像直接向上或向下移動。
- 如果 $$y = f(x) + k$$ (其中 k > 0)，圖像就會向上平移 k 個單位。
- 如果 $$y = f(x) - k$$ (其中 k > 0)，圖像就會向下平移 k 個單位。
比喻： 想像你的圖像在部電梯裡面。在函數外面加 k，就等於按「上」鍵。減去 k，就等於按「下」鍵。形狀不會變，只是改變它的垂直位置。
2. 水平平移 ($$y = f(x+k)$$) - 側步
這個會將圖像向左或向右移動。要小心啊，它有些違反直覺！
- 如果 $$y = f(x + k)$$ (其中 k > 0)，圖像就會向左平移 k 個單位。
- 如果 $$y = f(x - k)$$ (其中 k > 0)，圖像就會向右平移 k 個單位。
記憶小秘訣： 將「x」旁邊括號裡面的東西，想成是去了「相反世界」。所以括號裡面的「+k」就代表你要做相反的事情，向左移動 (即是負方向)。而「-k」就代表你向右移動。
3. 垂直伸展／反射 ($$y = kf(x)$$) - 伸縮彈簧
這個會將圖像垂直拉伸或壓縮。改變發生在函數的外面，所以它會影響 y 值。
- 如果 $$|k| > 1$$，圖像會沿 y 軸方向垂直拉伸，遠離 x 軸。(圖像會變得更高／更陡峭)。
- 如果 $$0 < |k| < 1$$，圖像會沿 y 軸方向垂直壓縮，靠近 x 軸。(圖像會變得更矮／更平坦)。
- 如果 $$k$$ 是負數，圖像還會沿 x 軸反射 (上下翻轉)。
比喻： 想像圖像是一個伸縮彈簧。乘一個大數會將它拉長。乘一個分數會將它壓扁。負號就將它翻轉。
4. 水平伸展／反射 ($$y = f(kx)$$) - 手風琴
這個會將圖像水平拉伸或壓縮。改變是在括號裡面，所以又回到「相反世界」了！
- 如果 $$|k| > 1$$，圖像會沿 x 軸方向水平壓縮，靠近 y 軸。(圖像會變得更窄)。
- 如果 $$0 < |k| < 1$$，圖像會沿 x 軸方向水平拉伸，遠離 y 軸。(圖像會變得更寬)。
- 如果 $$k$$ 是負數，圖像還會沿 y 軸反射 (左右翻轉)。
比喻： 這個就如同玩手風琴。一個更大的「k」會將它壓在一起，而一個較小的分數「k」會將它拉開。
綜合應用
很多時候，你們會見到多種變換組合在一起。例如，我們如何得到 $$y = -(x-2)^2 + 3$$ 的圖像？我們可以由基本的 $$y = x^2$$ 圖像一步一步建立它。
- 從 $$y = x^2$$ 開始 (我們基本的 U 形拋物線)。
- 處理水平平移：`(x-2)` 部分代表我們將圖像向右平移 2 個單位。現在我們有 $$y = (x-2)^2$$ 的圖像。
- 處理反射： 最前面的「-」號代表我們將圖像沿 x 軸反射。現在我們有 $$y = -(x-2)^2$$ 的圖像。
- 處理垂直平移： 最後面的「+3」代表我們將圖像向上平移 3 個單位。我們就得到最終的圖像，$$y = -(x-2)^2 + 3$$。
第三部分的重點總結
函數外面的改變 (例如 $$f(x)+k$$、$$k f(x)$$) 會垂直影響圖像，而且是直覺上的改變。函數裡面和 x 有關的改變 (例如 $$f(x+k)$$、$$f(kx)$$) 會水平影響圖像，而且通常和你預期的相反。