深入探討函數圖像：你的數學視覺指南！
各位同學！歡迎嚟到「深入探討函數圖像」呢個課題。唔好俾個名嚇怕你哋，你哋可以將呢章當係學習一種新語言——圖像嘅語言。函數圖像就好似一幅幅圖畫，訴說著數學關係嘅故事。
喺呢章，我哋會探索唔同函數圖像嘅「個性」，學習點樣唔使複雜嘅代數運算，都可以用佢哋嚟解題，甚至發現點樣移動、拉伸同翻轉佢哋！呢個係一個超實用嘅技巧，可以令抽象嘅概念變得更容易睇到同理解。事不宜遲，我哋立即開始啦！
第一部分：函數圖像快速概覽
喺我哋深入探討之前，先嚟認識一下呢啲「主要角色」——你哋會遇到嘅唔同類型函數圖像。每一個都有佢自己獨特嘅形狀同特徵㗎！
常數函數：平坦嘅路
佢哋之中最簡單嘅一個！
方程： $$y = c$$ (其中 c 只係一個數)
形狀： 一條完美嘅水平直線。
例子：$$y = 3$$ 嘅圖像就係一條水平線，線上每一個點嘅y座標都係3。就好似喺一個完全平坦嘅地面上行走咁。
線性函數：一致嘅斜度
呢啲你哋之前見過好多次啦！
方程： $$y = mx + c$$
形狀： 一條向上或向下傾斜嘅直線。
例子：$$y = 2x + 1$$ 嘅圖像就係一條直線。每當你向右行一步 (x增加1)，你就會向上行兩步 (y增加2)。就好似喺一個斜度固定嘅斜坡上行走咁。
二次函數：U形轉彎
呢啲就係彎彎曲曲嘅「U」形。
方程： $$y = ax^2 + bx + c$$
形狀： 一條拋物線，可以開口向上 (好似笑臉 😊) 或開口向下 (好似愁眉 ☹️)。
例子：一個球被拋到空中嘅路徑就係一條拋物線。佢會向上升，到達最高點 (頂點)，然後再落返嚟。
三角函數：無窮無盡嘅波浪
呢啲函數描述重複嘅規律。
方程： $$y = \sin x$$ 和 $$y = \cos x$$
形狀： 一條平滑、連續而且無限延伸嘅波浪線。
例子：想像一下聲波、池塘上嘅漣漪，又或者係擺動嘅擺。呢啲都係遵循住重複嘅波浪形規律，就正如正弦或餘弦函數嘅圖像一樣。
給各位同學嘅小提示
你哋可能仲會見到指數函數同對數函數。雖然深入探討佢哋嘅圖像通常係非基礎課題嘅內容，但係知道佢哋大概嘅樣貌都係件幾有趣嘅事！指數函數展示快速增長 (好似一個「J」字形曲線)，而對數函數則顯示增長速度逐漸減慢嘅情況。
圖像比較：應該留意啲乜？
當你哋被要求比較唔同嘅圖像時，以下係四大關鍵特徵值得你哋討論：
- 定義域： 所有可能嘅 x 值係乜嘢？對於線性同二次函數，x 可以係任何實數。但係對於其他某啲函數，可能會有限制。
- 最大值／最小值： 有冇最高點 (最大值) 或最低點 (最小值)？開口向上嘅拋物線喺佢嘅頂點會有最小值。開口向下嘅就會有最大值。正弦同餘弦波浪線就同時有齊最大值同最小值㗎！
- 對稱性： 呢個圖像係唔係佢自己嘅鏡像？拋物線會有一條穿過佢哋頂點嘅對稱軸。
- 週期性： 呢個圖像係唔係以一個規律嘅週期重複出現？呢個係三角函數圖像嘅關鍵特徵。一個完整週期嘅長度就稱為週期。
第一部分嘅重點總結
每種函數都有佢獨特嘅圖像形狀。通過觀察佢嘅形狀，我哋可以理解佢嘅主要特性，例如佢嘅最高點／最低點、對稱性，同埋佢係唔係會重複出現。
第二部分：用圖像解題：圖解法
你哋知唔知，其實單憑觀察圖像就可以解方程㗎？呢種係一種強大嘅視覺解法，比起單純盯住符號同數字，可以令嘢更加清晰易明。
解 $$f(x) = k$$：圖像喺邊度相交？
解一個好似 $$x^2 - x - 5 = 1$$ 咁嘅方程，可能會覺得有啲棘手。但如果我哋用圖像嘅角度去諗呢？
方程 $$f(x) = k$$ 其實係問緊：「對於函數 $$y = f(x)$$，喺邊啲 x 值，y 值會等於 $$k$$？」
呢個同搵兩條圖像嘅相交點係一回事嚟㗎：
- $$y = f(x)$$ 嘅圖像 (呢條可以係曲線、波浪線等等)
- $$y = k$$ 嘅圖像 (呢條永遠都係一條水平線！)
呢兩條圖像相交嘅x座標，就係呢個方程嘅解喇！
分步指南：
我哋嚟解 $$x^2 - 3 = 1$$，並用 $$y = x^2 - 3$$ 嘅圖像。
步驟 1： 你哋會得到 $$y = x^2 - 3$$ 嘅圖像 (一條拋物線)。
步驟 2： 喺同一個坐標軸上，畫出水平線 $$y = 1$$。
步驟 3： 搵吓拋物線同直線喺邊度相交。你會見到佢哋喺兩點相遇。
步驟 4： 讀出呢啲相交點嘅x座標。佢哋分別係 $$x = -2$$ 同 $$x = 2$$。
結果： 解係 $$x = -2$$ 同 $$x = 2$$。就係咁簡單！唔需要做因式分解㗎！
解不等式好似 $$f(x) > k$$：邊個喺上面？
我哋可以用同樣嘅概念嚟解不等式。呢個都係關於比較曲線 ($$y = f(x)$$) 同水平線 ($$y = k$$) 嘅相對位置。
- 要解 $$f(x) > k$$，就搵曲線喺直線 $$y=k$$ 之上嘅 x 值範圍。
- 要解 $$f(x) < k$$，就搵曲線喺直線 $$y=k$$ 之下嘅 x 值範圍。
記憶小貼士： 將「>」符號想像成一個向上嘅箭咀 (表示之上)，而「<」符號想像成一個向下嘅箭咀 (表示之下)。
快速溫習小方塊
$$f(x) = k$$： 函數 $$f(x)$$ 嘅圖像同直線 $$y=k$$ 相交嘅地方。
$$f(x) > k$$： 函數 $$f(x)$$ 嘅圖像喺直線 $$y=k$$ 之上嘅地方。
$$f(x) < k$$： 函數 $$f(x)$$ 嘅圖像喺直線 $$y=k$$ 之下嘅地方。
(對於 $$\geq$$ 或 $$\leq$$，只要將相交點包括喺你嘅答案入面就得啦！)
常見錯誤警報！
當你解不等式嘅時候，你嘅答案應該係x 值嘅範圍，而唔係 y 值。例如，答案應該會係 「$$x > 5$$」 或者 「$$ -1 < x < 3$$」，而唔係 「$$y > k$$」。你係要搵出呢個條件嘅原因 (x)，而唔係講返條件本身。
第二部分嘅重點總結
我哋可以透過畫出函數圖像同一條水平線，嚟解方程同不等式。答案就係圖像同條線相交、喺條線之上，或者喺條線之下嘅 x 值。
第三部分：圖像大變身：函數圖像變換
想像一下，你哋有一個函數圖像，例如 $$y = f(x)$$。函數變換就係啲簡單嘅規則，可以令你哋移動、拉伸、縮小同翻轉個圖像，從而創造一個新圖像，而唔使從頭開始重新畫所有點！
就算一開始覺得有啲難搞都唔使擔心，我哋會用簡單嘅比喻嚟拆解佢。
1. 垂直平移 ($$y = f(x) + k$$) - 搭電梯
呢個係最簡單嘅一個！佢會將整個圖像直接向上或向下移動。
- 如果係 $$y = f(x) + k$$ (其中 k > 0)，圖像就會向上平移 k 個單位。
- 如果係 $$y = f(x) - k$$ (其中 k > 0)，圖像就會向下平移 k 個單位。
比喻： 想像你嘅圖像喺部電梯入面。喺函數外面加 k，就等於撳「上」掣。減去 k，就等於撳「下」掣。形狀唔會變，只係改變佢嘅垂直位置。
2. 水平平移 ($$y = f(x+k)$$) - 側步
呢個會將圖像向左或向右移動。要小心啊，佢有少少違反直覺㗎！
- 如果係 $$y = f(x + k)$$ (其中 k > 0)，圖像就會向左平移 k 個單位。
- 如果係 $$y = f(x - k)$$ (其中 k > 0)，圖像就會向右平移 k 個單位。
記憶小秘訣： 將「x」旁邊括號入面嘅嘢，諗成係去咗「相反世界」。所以括號入面嘅「+k」就代表你要做相反嘅嘢，向左移動 (即係負方向)。而「-k」就代表你向右移動。
3. 垂直伸展／反射 ($$y = kf(x)$$) - 伸縮彈簧
呢個會將圖像垂直拉伸或壓縮。改變發生喺函數嘅外面，所以佢會影響 y 值。
- 如果 $$|k| > 1$$，圖像會沿 y 軸方向垂直拉伸，遠離 x 軸。(圖像會變得更高／更陡峭)。
- 如果 $$0 < |k| < 1$$，圖像會沿 y 軸方向垂直壓縮，靠近 x 軸。(圖像會變得更矮／更平坦)。
- 如果 $$k$$ 係負數，圖像仲會沿 x 軸反射 (上下翻轉)。
比喻： 想像圖像係一個伸縮彈簧。乘一個大數會將佢拉長。乘一個分數會將佢壓扁。負號就將佢翻轉。
4. 水平伸展／反射 ($$y = f(kx)$$) - 手風琴
呢個會將圖像水平拉伸或壓縮。改變係喺括號入面，所以又返到「相反世界」喇！
- 如果 $$|k| > 1$$，圖像會沿 x 軸方向水平壓縮，靠近 y 軸。(圖像會變得更窄)。
- 如果 $$0 < |k| < 1$$，圖像會沿 x 軸方向水平拉伸，遠離 y 軸。(圖像會變得更闊)。
- 如果 $$k$$ 係負數，圖像仲會沿 y 軸反射 (左右翻轉)。
比喻： 呢個就好似玩手風琴。一個更大嘅「k」會將佢壓埋一齊，而一個較細嘅分數「k」會將佢拉開。
綜合應用
好多時，你哋會見到多種變換組合埋一齊。例如，我哋點樣得到 $$y = -(x-2)^2 + 3$$ 嘅圖像？我哋可以由基本嘅 $$y = x^2$$ 圖像一步一步建立佢。
- 從 $$y = x^2$$ 開始 (我哋基本嘅 U 形拋物線)。
- 處理水平平移：`(x-2)` 部分代表我哋將圖像向右平移 2 個單位。而家我哋有 $$y = (x-2)^2$$ 嘅圖像。
- 處理反射： 最前面嘅「-」號代表我哋將圖像沿 x 軸反射。而家我哋有 $$y = -(x-2)^2$$ 嘅圖像。
- 處理垂直平移： 最後面嘅「+3」代表我哋將圖像向上平移 3 個單位。我哋就得到最終嘅圖像，$$y = -(x-2)^2 + 3$$。
第三部分嘅重點總結
函數外面嘅改變 (例如 $$f(x)+k$$、$$k f(x)$$) 會垂直影響圖像，而且係直覺上嘅改變。函數入面同 x 有關嘅改變 (例如 $$f(x+k)$$、$$f(kx)$$) 會水平影響圖像，而且通常同你預期嘅相反。