第18章：統計學的應用與謬誤 — 您的數據偵探指南！
各位同學！您是否曾見過這些新聞標題：「90%用戶都喜歡我們的新App！」或者「吃這種食物可以延年益壽！」？統計數據無處不在—在新聞、廣告、社交媒體中都能見到。它們對了解世界有莫大幫助，但也可能被誤用來誤導您。無需擔心，這一章就是您的秘密武器！我們將學會如何解讀弦外之音、識別可疑的說法，以及了解統計學應該如何正確地運用。就像練成數學的超能力，可以看清真相！
第一部分：概覽 — 總體與樣本
在我們收集任何數據之前，首先要知道我們要討論的對象是誰。這裡就要介紹我們兩個超重要的詞語：「總體 (Population)」和「樣本 (Sample)」。
想像一下，您想知道全港高中學生最喜歡的科目是什麼。
總體 (Population) 是您感興趣的「整個群體」。在這個例子中，就是「所有」香港的高中學生。想問遍每一個人根本是不可能的！
樣本 (Sample) 是「總體的一小部分」，而您實際收集數據的就是這部分。您可能會調查來自不同學校的500名學生。這個就是您的樣本。
比喻時間：品嚐湯品！
將總體想像成一大鍋湯。您不需要喝完整鍋湯才知它好不好喝。您只是一小匙—那個就是您的樣本。如果那一小匙有齊鍋湯裡面所有材料的精華，它就會給予您對整鍋湯的味道有一個良好的概念。我們的目標就是確保我們「一匙」的數據，能夠真實地代表整鍋「湯」。
快速溫習盒
總體 (Population)： 我們想研究的「所有」個體組成的群體。
樣本 (Sample)： 從總體中抽取的部分，我們將在此處收集數據。
為何要抽樣？ 因為相比起研究整個總體，抽樣更便宜、更快、更實際。
第一部分重點
我們將研究一個細小的樣本，去對一個大型總體下結論。最重要的是，樣本必須能夠良好地代表總體，否則我們的結論就會出錯了！
第二部分：如何選擇您的樣本 — 抽樣方法
那麼，我們如何才能得到一個好的「一匙」總體呢？我們用來選擇樣本的方法是非常重要的。我們可以將這些方法分成兩大類。
概率抽樣 (The Fair Methods)
在概率抽樣中，總體中的每個成員都有一個已知的機會被選中。這是獲得一個無偏、具代表性樣本的最佳方法。
1. 簡單隨機抽樣
意指： 每個人被選中的機會都是均等的。就像將每個名字放入一個大抽籤箱，然後隨機抽取出來。
例子：想在1000名學生的學校中調查50名學生，您可以為每位學生編配一個號碼，然後用隨機數字生成器選出50個號碼。
2. 分層抽樣
意指： 首先，您將總體劃分成重要的子群組（稱為「分層」）。然後，您從每個子群組抽取簡單隨機樣本。這樣可以確保您能夠代表所有重要的群組。
例子：您想調查學生對新校規的意見。您知道男生和女生可能有不同意見。所以您將學生總體分成兩個分層：「男生」和「女生」。然後您從每個群組隨機抽樣，確保樣本中的比例能與學校的實際比例一致（例如，如果學校是60%女生，您的樣本也應有60%女生）。
3. 系統抽樣
意指： 您隨機選擇一個起點，然後每隔「第 k 個」成員就選取一個。
例子：想從一份1000人的名單中調查100人，您可以決定每隔第10個人就選取一個。您隨機選擇一個介於1到10之間的起始數字（例如7）。然後您選取第7、第17、第27、第37個人，以此類推。
非概率抽樣 (The Easy, but Biased, Methods)
這些方法更快更方便，但它們通常會導致有偏差的結果，因為不是每個人都有均等的機會被選中。見到研究用這些方法，就要非常小心了！
1. 方便抽樣
意指： 您只是調查那些容易接觸到的人。對研究人員而言是方便，但對於獲得具代表性的樣本而言是非常差的方法。
例子：一位研究人員在午餐時間在一個港鐵站外面，調查最先同意接受訪問的100人。這個樣本會過度代表辦公室工作人士，但就錯過了學生、老人家以及其他地區的人。
2. 配額抽樣
意指： 有點像分層抽樣，但不是隨機的。研究人員決定好子群組以及每個群組的配額（例如：「我需要50個男人和50個女人」）。然後，他們用方便抽樣的方法去填補這些配額。
例子：一位研究人員需要調查20名大學生。他去大學校園，調查他找到的最先20名學生。這也仍然是一種方便抽樣，即使它有「配額」要填補。
您是否知道？
一個著名的抽樣錯誤發生在1936年美國總統大選。一本叫做《文摘》(Literary Digest) 的雜誌調查了超過二百萬人，並預測某個候選人會大獲全勝。但他們完全錯誤！為什麼？因為他們的樣本來自電話簿和汽車登記名單。在1936年，只有比較富有的人才有電話和汽車，所以他們的樣本並不能代表整個投票人口。這就是抽樣偏差 (sampling bias) 的經典例子！
第二部分重點
您如何選擇樣本是至關重要的。概率抽樣 (Probability sampling) 方法（例如簡單隨機抽樣、分層抽樣、系統抽樣）是公平而且能提供最好結果的。對於來自非概率抽樣 (Non-probability sampling)（例如方便抽樣）的結果，您一定要非常批判性地看待，因為它們通常都是有偏差的。
第三部分：問對問題 — 問卷設計
好了，您已經有了樣本。現在您要向他們提問。但是，您如何措辭一條問題，是可以完全改變答案的！一份好的問卷會問清晰、中立的問題。一份差的問卷可以誘使人給出某個特定的答案。
問卷中要避免的常見陷阱：
1. 引導性問題 (Leading Questions)： 這些問題暗示了一個「正確」答案。
差： 「您不是也同意新改良的學校午餐美味得多嗎？」
好： 「您會如何在1到5的評分標準上評價新學校午餐的品質？」
2. 含糊或模稜兩可的問題 (Vague or Ambiguous Questions)： 用詞不清晰。
差： 「您定期做運動嗎？」（「定期」是什麼意思？每日一次？每星期一次？每月一次？）
好： 「上星期您做了至少30分鐘運動的日子有幾多天？」
3. 雙重提問 (Double-Barrelled Questions)： 一條問題詢問兩件事。
差： 「您認為學校應該減少書本開支並增加體育設施開支嗎？」（如果只同意一部分，不同意另一部分該如何處理？）
好： 分成兩條問題：「您認為學校應該減少書本開支嗎？」和「您認為學校應該增加體育設施開支嗎？」
4. 不當的選項 (Inappropriate Options)： 選項令人困惑，或者未能涵蓋所有可能性。
差： 「您幾歲？(a) 20歲以下 (b) 20-30歲 (c) 30歲以上」（如果您剛好20歲或30歲該如何處理？選項重疊，而且不是互斥的。）
好： 「您屬於哪個年齡組別？(a) 20歲以下 (b) 20-29歲 (c) 30歲或以上」
5. 問題次序 (Question Order)： 問題的次序可以影響後續答案。
例子：如果您首先問「您對您的生活有多滿意？」，然後再問「您多久談一次戀愛？」，答案可能會與您反過來詢問的情況不同。
第三部分重點
問題的措辭很重要！當您見到一份調查結果，試著找出他們問了哪些確切的問題。小心旨在產生某個特定結果的引導性、含糊或有詭計的問題。
第四部分：辨識謊言 — 統計學的謬誤
這個時候，我們就要戴上我們的偵探帽了！人們可以在每個階段濫用統計數據：在他們如何收集數據、如何呈現數據，以及如何解讀數據。
濫用1：誤導性數據收集
這個又回到我們頭兩個部分。如果有人使用有偏差的抽樣方法（例如方便抽樣）或者設計得差的問卷，他們的數據從根本上就有缺陷。就像在一個不穩固的地基上蓋屋—無論它看起來多麼漂亮，都不可靠。
警示： 一個標題說「85%的人喜歡X牌咖啡！」，但這個「調查」是在一間X牌商店外面派發免費樣本時進行的。（這是偏頗的樣本！）
濫用2：誤導性圖表
一張圖勝過千言萬語，但也可以道出千個謊言。很容易操縱圖表，使差異看起來比實際更大或更小。
常見圖表詭計：
截斷Y軸 (The Truncated Y-Axis)： 這是最常見的詭計！垂直軸 (Y軸) 不是由零開始。這樣會使微小的差異看起來像巨大的變化。
不一致的刻度 (Inconsistent Scale)： 軸上的數字增長並不一致（例如：它是0、10、20、100、200這樣升），這樣會扭曲圖表。
誤導性的象形圖 (Misleading Pictograms)： 使用圖片時，高和寬都同時按比例放大。這樣會使圖片的面積呈指數級增長，誇大了差異。
令人困惑的3D圖表 (Confusing 3D Charts)： 3D效果可以使您難以讀取實際數值，而且可以使靠近觀察者的部分看起來比實際更大。
濫用3：誤導性解讀
即使有良好的數據和良好的圖表，得出的結論都可能是錯的。
常見解讀詭計：
使用「錯誤」的平均數 (Using the "Wrong" Average)： 還記得平均數、中位數和眾數嗎？一間公司可能會說它的「平均」工資很高，是因為使用了平均數 (mean)，它被幾個百萬富翁級高層拉高了。而中位數 (median)（中間數值）會提供更真實的典型員工收入情況。
相關性不等於因果關係 (Correlation is NOT Causation)： 這是一個很大的誤區！僅僅因為兩件事同時發生，不代表一件事會導致另一件事。
經典例子：冰淇淋銷量和鯊魚襲擊次數有關聯（它們在夏天都會上升）。那麼吃冰淇淋會導致鯊魚襲擊嗎？當然不會了！真正的原因是炎熱的天氣（『潛在變數』），它會使人們去游泳和吃冰淇淋。選擇性挑選數據 (Cherry-Picking Data)： 只呈現支持自己論點的數據，而忽視不支持的數據。
細小的樣本量 (Small Sample Size)： 來自非常細小樣本（例如：「四個人中有三個人同意」）的結果並不可靠，很大機會只是隨機機會造成。
第四部分重點
做一個批判性的觀察者！總是質疑數據來源，檢查圖表的坐標軸，以及仔細思考這個結論是否真正得到證據支持。不要被花俏的數字或圖表騙到您！
第五部分：您的統計學偵探工具箱
恭喜您，您已經學會了所有秘密了！現在，無論您在現實世界遇到任何統計數據，您都可以用這份簡單的清單，像專家一樣評估它。
問自己這些問題：
1. 這項研究由誰出錢資助？又由誰進行？
（他們是否有理由想得到某個特定結果？）
2. 樣本量有多大？樣本是如何揀選出來的？
（夠不夠大？是隨機樣本還是有偏差的方便抽樣？）
3. 他們問了哪些確切的問題？
（是否有引導性、含糊或有詭計的問題？）
4. 數據是如何呈現出來的？
（圖表的Y軸是否由0開始？刻度是否一致的？）
5. 結論是否合乎邏輯？
（他們是否有混淆相關性和因果關係？他們是否有用最適合的「平均數」嗎？）
透過學習統計學的應用和謬誤，您不只是在學習數學，更是在學習如何在日常生活中成為一個更聰明、更具批判性的思考者。現在就出發，做個數據偵探吧！