等差及等比數列：你的終極溫習指南！
各位同學大家好！歡迎來到代數中最有趣的課題之一：數列與級數的溫習筆記！毋須擔心，這個課題聽起來可能很複雜，但其實都只是關於如何辨識與運用數字裡的規律。請看，無論是花瓣的排列或是你的儲蓄帳戶結餘，規律都無處不在的！
這一章，我們將探討兩種主要的數列：
- 等差數列 (Arithmetic Sequences)：每次都加上同一個數值。(試想：穩定、持續的變化)。
- 等比數列 (Geometric Sequences)：每次都乘以同一個數值。(試想：迅速增長或衰減)。
明白了這些概念，可以幫助你預測未來數值、計算累積總數，還能應付許多現實生活中的問題！事不宜遲，我們開始吧！
第一部分：等差數列 (AS)
什麼是等差數列？
一個等差數列 (或稱 AS) 是一串數字，其中任何兩個連續項之間的差都是常數。就是這麼簡單！我們只是不斷地加減同一個數字。
類比：想像你正走在一條樓梯上，每級樓梯的高度都完全相同。每級的高度就是你的公差！
任何等差數列都有兩個重要的「主角」：
- 首項 (a)：這是數列的起點，即是我們開始的數字。
- 公差 (d)：這是一個固定數字，我們每次都加上它來得到下一項。公差可以是正數、負數，甚至是分數！
要找出公差，只需將任何一項減去其前一項。例如，`第二項 - 第一項`。
例子：
- 數列：3, 7, 11, 15, ...
首項 (a) = 3
公差 (d) = 7 - 3 = 4。我們每次都加 4。 - 數列：20, 18, 16, 14, ...
首項 (a) = 20
公差 (d) = 18 - 20 = -2。我們每次都加 -2 (或者減 2)。
通項公式：找出任何一項 (T_n)
如果你要找出第50項怎麼辦？你不會想把所有50個數字都寫出來的！所以，我們有個公式可以找出通項，通常稱為 `T_n` 或者 `T(n)`，它代表了第 n 個位置的項。
讓我們用邏輯推導一下：
- 第 1 項: `T(1) = a`
- 第 2 項: `T(2) = a + d`
- 第 3 項: `T(3) = a + d + d = a + 2d`
- 第 4 項: `T(4) = a + 3d`
看到規律了嗎？對於第 n 項，我們會加公差 `(n-1)` 次。如此便得出等差數列最重要的公式了：
等差數列通項公式 (AS)
$$ T(n) = a + (n-1)d $$逐步示範：
找出數列 5, 8, 11, ... 的第30項。
- 識別 a 與 d。
首項是 5，所以 `a = 5`。
公差是 8 - 5 = 3，所以 `d = 3`。 - 識別 n。
我們想找出第30項，所以 `n = 30`。 - 代入公式。
`T(30) = a + (30-1)d`
`T(30) = 5 + (29)(3)`
`T(30) = 5 + 87`
`T(30) = 92`
所以，第30項是 92。很簡單對吧？
等差數列之和：找出總和 (S_n)
有時我們需要將一個數列中的項加總起來。這就叫做求和或者級數。首 `n` 項之和叫做 `S_n` 或者 `S(n)`。
你知道嗎？
一位著名數學家卡爾·弗里德里希·高斯，據說他小時候，在幾秒鐘之內就計算出了由 1 加到 100 的總和！他將第一個數與最後一個數配對 (1+100=101)，第二個數與倒數第二個數配對 (2+99=101)，他發現總共有 50 對這樣的組合。50 × 101 = 5050。這就是我們第一個求和公式背後的邏輯！
我們有兩個很方便的公式。使用哪個則取決於你手頭上有什麼資料。
等差數列求和公式 (AS)
1. 如果你知首項與末項：
$$ S_n = rac{n}{2}(a + l) $$其中 `l` 是末項，即是 `T(n)`。
2. 如果你知首項與公差 (最常用)：
$$ S_n = rac{n}{2}[2a + (n-1)d] $$逐步示範：
找出數列 2, 6, 10, 14, ... 的首20項之和。
- 識別 a、d 與 n。
`a = 2`
`d = 6 - 2 = 4`
`n = 20` - 選擇合適的公式。
我們有 `a`、`d` 與 `n`，所以第二個公式最適合。 - 代入公式。
`S(20) = rac{20}{2}[2(2) + (20-1)(4)]`
`S(20) = 10[4 + (19)(4)]`
`S(20) = 10[4 + 76]`
`S(20) = 10[80]`
`S(20) = 800`
首20項之和是 800。
重點提示：等差數列
等差數列涉及重複地加上一個常數值 (`d`)。
- 找出任何一項： `$$ T(n) = a + (n-1)d $$`
- 找出各項之和： `$$ S_n = rac{n}{2}[2a + (n-1)d] $$`
第二部分：等比數列 (GS)
什麼是等比數列？
一個等比數列 (或稱 GS) 是一串數字，你透過乘以一個常數值來得到下一項。這個值可以令數列很快地增長，或者快速地衰減到接近零。
類比：想像一個特別的彈力球。每次彈起後，它只會達到之前高度的某個百分比 (例如，80%)。這個百分比就是常數乘數！
等比數列的兩個關鍵「主角」是：
- 首項 (a)：與之前一樣，是我們的起始值。
- 公比 (r)：這是一個固定數字，我們每次都乘以它來得到下一項。
要找出公比，只需將任何一項除以其前一項。例如，`第二項 / 第一項`。
例子：
- 數列：3, 6, 12, 24, ...
首項 (a) = 3
公比 (r) = 6 / 3 = 2。我們每次都乘 2。 - 數列：100, 50, 25, 12.5, ...
首項 (a) = 100
公比 (r) = 50 / 100 = 0.5。我們每次都乘 0.5 (或者除以 2)。
通項公式：找出任何一項 (T_n)
與等差數列一樣，我們需要一個公式來找出任何一項 `T(n)` 而毋須寫出它們。讓我們看看規律：
- 第 1 項: `T(1) = a`
- 第 2 項: `T(2) = a imes r = ar^1`
- 第 3 項: `T(3) = a imes r imes r = ar^2`
- 第 4 項: `T(4) = ar^3`
規律就是 `r` 的次方永遠比項數 `n` 少一。如此便得出等比數列的通項公式了：
等比數列通項公式 (GS)
$$ T(n) = ar^{n-1} $$常見錯誤警示！
公式是 `ar^(n-1)`，而不是 `(ar)^(n-1)`。記住你的運算次序法則 (BIDMAS/PEDMAS) - 你必須先計算次方部分 (`r^(n-1)`)，然後再乘以 `a`。
逐步示範：
找出數列 5, 15, 45, ... 的第7項。
- 識別 a 與 r。
首項是 5，所以 `a = 5`。
公比是 15 / 5 = 3，所以 `r = 3`。 - 識別 n。
我們想找出第7項，所以 `n = 7`。 - 代入公式。
`T(7) = a r^(7-1)`
`T(7) = 5 imes 3^6`
`T(7) = 5 imes 729`
`T(7) = 3645`
所以，第7項是 3645。
有限等比數列之和 (S_n)
現在，讓我們將一個等比數列的首 `n` 項加總起來。這對於涉及複利息或者特定時期內投資的問題都非常有用！
等比數列求和公式 (GS)
只有一個主要公式，但我們將用兩種寫法，方便計算（尤其是在避免負數時）。
$$ S_n = rac{a(r^n - 1)}{r - 1} ext{ 或 } S_n = rac{a(1 - r^n)}{1 - r} $$小貼士：當 `|r| > 1` 時用第一個版本，當 `|r| < 1` 時用第二個版本。它們會得出相同的答案！
逐步示範：
找出數列 2, 8, 32, ... 的首8項之和。
- 識別 a、r 與 n。
`a = 2`
`r = 8 / 2 = 4`
`n = 8` - 選擇最佳公式版本。
由於 `r = 4` (大於 1)，我們用第一個版本來確保分母是正數。 - 代入公式。
`S(8) = rac{2(4^8 - 1)}{4 - 1}`
`S(8) = rac{2(65536 - 1)}{3}`
`S(8) = rac{2(65535)}{3}`
`S(8) = rac{131070}{3}`
`S(8) = 43690`
首8項之和是 43690。
無限項之和：加到永遠 (S_∞)
這是一個非常棒的概念！如果你將一個等比數列的項加到... 永遠，會發生什麼事呢？你可能會覺得總和會是無限大。但對於某些數列來說，其總和其實是一個有限的數字！
類比：想像你朝著一堵牆走。首先你走了距離的一半。然後你再走剩下距離的一半。之後再走剩下的一半，如此類推。你將會無限地接近牆壁，但你走過的總距離永遠不會超過你最初與牆壁之間的距離。你的總距離會「收斂」到一個單一的值。
這只會在一個非常重要的條件下才成立：
無限項之和存在的條件是 `$$ -1 < r < 1 $$` (或 `$$|r| < 1$$`)。
如果公比 `r` 介乎於 -1 與 1 之間 (但不包括 0)，每項都會變得越來越小，所以總和就會接近一個固定的極限。
無限項之和公式
當條件符合時，公式出奇地簡單：
$$ S_{ ext{∞}} = rac{a}{1 - r} $$逐步示範：
找出數列 18, 6, 2, ... 的無限項之和。
- 識別 a 與 r。
`a = 18`
`r = 6 / 18 = 1/3` - 檢查條件。
`$$ -1 < r < 1 $$` 是否成立？是的，`$$ -1 < 1/3 < 1 $$`。所以，無限項之和存在。 - 代入公式。
`S_{ ext{∞}} = rac{a}{1 - r}`
`S_{ ext{∞}} = rac{18}{1 - 1/3}`
`S_{ ext{∞}} = rac{18}{2/3}`
`S_{ ext{∞}} = 18 imes rac{3}{2}`
`S_{ ext{∞}} = 27`
如果你將這個數列的所有項加到永遠，總和將會是精確的 27。
重點提示：等比數列
等比數列涉及重複地乘以一個常數值 (`r`)。
- 找出任何一項： `$$ T(n) = ar^{n-1} $$`
- 找出 n 項之和： `$$ S_n = rac{a(r^n - 1)}{r - 1} $$`
- 找出無限項之和 (只適用於 `|r|<1`)： `$$ S_{ ext{∞}} = rac{a}{1 - r} $$`
第三部分：真實應用問題
這就是將所有事物結合起來的地方！關鍵是要仔細閱讀問題，然後判斷該情境是屬於等差數列還是等比數列。
- 是否有一個固定的數額被加或減？ -> 等差數列
- 數值是否以一個固定的百分比或乘數來改變？ -> 等比數列
例子 1：薪金計劃 (等差數列)
Connie 開始一份新工作，年薪是 $300,000。其公司承諾每年固定加薪 $15,000。如果她工作 8 年，她的總收入將會是多少？
思考過程：
- 「固定年薪增長」即是每年都加上同一個數額。這是一個等差數列 (AS)。
- 識別關鍵值：`a = 300000`，`d = 15000`。
- 我們想找出工作 8 年後的「總收入」，所以需要求和 `S_n`，其中 `n = 8`。
- 使用等差數列的求和公式：`S_n = rac{n}{2}[2a + (n-1)d]`
- `S(8) = rac{8}{2}[2(300000) + (8-1)(15000)]`
- `S(8) = 4[600000 + (7)(15000)]`
- `S(8) = 4[600000 + 105000]`
- `S(8) = 4[705000] = 2820000`
答案： Connie 工作 8 年後的總收入將會是 $2,820,000。
例子 2：汽車折舊 (等比數列)
一輛新車價值 $250,000。它每年貶值 20%。5 年後這輛車的價值是多少？
思考過程：
- 「貶值 20%」即是每年價值被一個百分比相乘。這是一個等比數列 (GS)。
- 識別關鍵值：`a = 250000`。
- 請注意 `r`！如果價值損失了 20%，即是它保留了 80% 的價值。所以，`r = 1 - 0.20 = 0.80`。
- 我們想找出「5 年後」的價值。這是一個常見的陷阱。`T(1)` 是初始價值 (0 年後)。`T(2)` 是 1 年後的價值。所以，5 年後的價值是第 6 項，即是 `T(6)`。因此，`n = 6`。
- 使用等比數列的通項公式：`T(n) = ar^(n-1)`
- `T(6) = 250000 imes (0.8)^{6-1}`
- `T(6) = 250000 imes (0.8)^5`
- `T(6) = 250000 imes 0.32768 = 81920`
答案： 5 年後這輛車的價值是 $81,920。
本次講解到此為止！掌握數列的關鍵就是多加練習。仔細閱讀問題，判斷數列類型，找出你的 `a`、`d` 或者 `r`，然後選擇合適的公式。你一定可以的！