等差及等比數列:你的終極溫習指南!

各位同學大家好!歡迎來到代數中最有趣嘅課題之一:數列同級數嘅溫習筆記!唔使擔心,呢個課題聽落可能好複雜,但其實都係關於點樣去辨識同埋運用數字裡面嘅規律。你睇吓,無論係花瓣嘅排列定係你嘅儲蓄戶口結餘,規律都無處不在㗎!

呢一章,我哋會探討兩種主要嘅數列:

  • 等差數列 (Arithmetic Sequences):每次都係加同一個數值。(諗吓:穩定、持續嘅變化)。
  • 等比數列 (Geometric Sequences):每次都係乘同一個數值。(諗吓:迅速增長或衰減)。

明白咗呢啲概念,可以幫你預測未來數值、計算累積總數,仲可以應付好多現實生活中嘅問題添!事不宜遲,我哋開始啦!


第一部分:等差數列 (AS)

咩係等差數列?

一個等差數列 (或稱 AS) 係一串數字,其中任何兩個連續項之間嘅差都係常數。就係咁簡單!我哋只係不斷咁加減同一個數字。

類比:想像你行緊一條樓梯,每級樓梯都係完全一樣嘅高度。每級嘅高度就係你嘅公差!


任何等差數列都有兩個重要嘅「主角」:

  • 首項 (a):呢個係數列嘅起點,即係我哋開始嘅數字。
  • 公差 (d):呢個係一個固定數字,我哋每次都加佢嚟得到下一項。公差可以係正數、負數,甚至係分數都得㗎!

要搵公差,只係需要將任何一項減去佢前一個項。例如,`第二項 - 第一項`。

例子:

  • 數列:3, 7, 11, 15, ...
    首項 (a) = 3
    公差 (d) = 7 - 3 = 4。我哋每次都加 4。
  • 數列:20, 18, 16, 14, ...
    首項 (a) = 20
    公差 (d) = 18 - 20 = -2。我哋每次都加 -2 (或者減 2)。

通項公式:搵出任何一項 (T_n)

如果你要搵第50項點算?你唔會想寫晒50個數字出嚟㗎嘛!所以,我哋有個公式可以搵出通項,通常叫做 `T_n` 或者 `T(n)`,佢代表咗第 n 個位置嘅項。

等我哋用邏輯推理吓:

  • 第 1 項: `T(1) = a`
  • 第 2 項: `T(2) = a + d`
  • 第 3 項: `T(3) = a + d + d = a + 2d`
  • 第 4 項: `T(4) = a + 3d`

睇到個規律未?對於第 n 項,我哋會加公差 `(n-1)` 次。咁就得出等差數列最重要嘅公式啦:

等差數列通項公式 (AS)
$$ T(n) = a + (n-1)d $$
逐步示範:

搵出數列 5, 8, 11, ... 嘅第30項。

  1. 識別 a 同 d。
    首項係 5,所以 `a = 5`。
    公差係 8 - 5 = 3,所以 `d = 3`。
  2. 識別 n。
    我哋想搵第30項,所以 `n = 30`。
  3. 代入公式。
    `T(30) = a + (30-1)d`
    `T(30) = 5 + (29)(3)`
    `T(30) = 5 + 87`
    `T(30) = 92`

所以,第30項係 92。好易㗎嘛,係咪?

等差數列之和:搵出總和 (S_n)

有時我哋需要將一個數列裡面嘅項加埋一齊。呢個就叫做求和或者級數。首 `n` 項之和叫做 `S_n` 或者 `S(n)`。

你知唔知?

一位著名嘅數學家卡爾·弗里德里希·高斯,據講佢細個嗰陣,幾秒鐘之內就計出咗由 1 加到 100 嘅總和!佢將第一個數同最後一個數配對 (1+100=101),第二個數同倒數第二個數配對 (2+99=101),佢發現總共有 50 對咁嘅組合。50 × 101 = 5050。呢個就係我哋第一個求和公式背後嘅邏輯!

我哋有兩個好方便嘅公式。用邊個就睇你手頭上有咩資料。

等差數列求和公式 (AS)

1. 如果你知首項同末項:

$$ S_n = \frac{n}{2}(a + l) $$

其中 `l` 係末項,即係 `T(n)`。


2. 如果你知首項同公差 (最常用):

$$ S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] $$
逐步示範:

搵出數列 2, 6, 10, 14, ... 嘅首20項之和。

  1. 識別 a、d 同 n。
    `a = 2`
    `d = 6 - 2 = 4`
    `n = 20`
  2. 選擇啱嘅公式。
    我哋有 `a`、`d` 同 `n`,所以第二個公式最適合。
  3. 代入公式。
    `S(20) = \frac{20}{2}[2(2) + (20-1)(4)]`
    `S(20) = 10[4 + (19)(4)]`
    `S(20) = 10[4 + 76]`
    `S(20) = 10[80]`
    `S(20) = 800`

首20項之和係 800

重點提示:等差數列

等差數列涉及重複地加上一個常數值 (`d`)。

  • 搵任何一項: `$$ T(n) = a + (n-1)d $$`
  • 搵各項之和: `$$ S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] $$`



第二部分:等比數列 (GS)

咩係等比數列?

一個等比數列 (或稱 GS) 係一串數字,你透過乘以一個常數值嚟得到下一項。呢個值可以令數列好快咁增長,或者快速咁衰減到接近零。

類比:想像一個特別嘅彈力球。每次彈起後,佢只會達到之前高度嘅某個百分比 (例如,80%)。呢個百分比就係常數乘數!


等比數列嘅兩個關鍵「主角」係:

  • 首項 (a):同之前一樣,係我哋嘅起始值。
  • 公比 (r):呢個係一個固定數字,我哋每次都乘佢嚟得到下一項。

要搵公比,只係需要將任何一項除以佢前一個項。例如,`第二項 / 第一項`。

例子:

  • 數列:3, 6, 12, 24, ...
    首項 (a) = 3
    公比 (r) = 6 / 3 = 2。我哋每次都乘 2。
  • 數列:100, 50, 25, 12.5, ...
    首項 (a) = 100
    公比 (r) = 50 / 100 = 0.5。我哋每次都乘 0.5 (或者除以 2)。

通項公式:搵出任何一項 (T_n)

同等差數列一樣,我哋需要一個公式嚟搵出任何一項 `T(n)` 而唔使寫晒佢哋出嚟。等我哋睇吓個規律:

  • 第 1 項: `T(1) = a`
  • 第 2 項: `T(2) = a \times r = ar^1`
  • 第 3 項: `T(3) = a \times r \times r = ar^2`
  • 第 4 項: `T(4) = ar^3`

個規律就係 `r` 嘅次方永遠比項數 `n` 少一。咁就得出等比數列嘅通項公式啦:

等比數列通項公式 (GS)
$$ T(n) = ar^{n-1} $$
常見錯誤警示!

公式係 `ar^(n-1)`,而唔係 `(ar)^(n-1)`。記住你嘅運算次序法則 (BIDMAS/PEDMAS) - 你必須先計算次方部分 (`r^(n-1)`),然後再乘以 `a`。

逐步示範:

搵出數列 5, 15, 45, ... 嘅第7項。

  1. 識別 a 同 r。
    首項係 5,所以 `a = 5`。
    公比係 15 / 5 = 3,所以 `r = 3`。
  2. 識別 n。
    我哋想搵第7項,所以 `n = 7`。
  3. 代入公式。
    `T(7) = a r^(7-1)`
    `T(7) = 5 \times 3^6`
    `T(7) = 5 \times 729`
    `T(7) = 3645`

所以,第7項係 3645

有限等比數列之和 (S_n)

而家,等我哋將一個等比數列嘅首 `n` 項加埋一齊。呢個對於涉及複利息或者特定時期內投資嘅問題都非常有用㗎!

等比數列求和公式 (GS)

只有一個主要公式,但我哋會用兩種寫法,方便計算 (尤其係避免負數)。

$$ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} \quad \text{或} \quad S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} $$

小貼士:當 `|r| > 1` 時用第一個版本,當 `|r| < 1` 時用第二個版本。佢哋會得出相同嘅答案㗎!

逐步示範:

搵出數列 2, 8, 32, ... 嘅首8項之和。

  1. 識別 a、r 同 n。
    `a = 2`
    `r = 8 / 2 = 4`
    `n = 8`
  2. 選擇最佳公式版本。
    由於 `r = 4` (大於 1),我哋用第一個版本嚟確保分母係正數。
  3. 代入公式。
    `S(8) = \frac{2(4^8 - 1)}{4 - 1}`
    `S(8) = \frac{2(65536 - 1)}{3}`
    `S(8) = \frac{2(65535)}{3}`
    `S(8) = \frac{131070}{3}`
    `S(8) = 43690`

首8項之和係 43690

無限項之和:加到永遠 (S_∞)

呢個係一個好正嘅概念嚟!如果你將一個等比數列嘅項加到... 永遠,會發生咩事呢?你可能會覺得總和會係無限大。但對於某啲數列嚟講,個總和其實係一個有限嘅數字㗎!

類比:想像你向住一幅牆行。首先你行咗一半距離。然後你再行淨低距離嘅一半。之後再行剩低嘅一半,如此類推。你將會無限咁接近幅牆,但你行過嘅總距離永遠唔會超過你最初同幅牆之間嘅距離。你嘅總距離會「收斂」到一個單一嘅值。

呢個只會喺一個非常重要嘅條件下先成立:

無限項之和存在嘅條件係 `$$ -1 < r < 1 $$` (或 `$$|r| < 1$$`)。

如果公比 `r` 介乎於 -1 同 1 之間 (但不包括 0),每項都會變得愈嚟愈細,所以個總和就會接近一個固定嘅極限。

無限項之和公式

當條件符合時,個公式出奇地簡單:

$$ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} $$
逐步示範:

搵出數列 18, 6, 2, ... 嘅無限項之和。

  1. 識別 a 同 r。
    `a = 18`
    `r = 6 / 18 = 1/3`
  2. 檢查條件。
    `$$ -1 < r < 1 $$` 係咪成立?係,`$$ -1 < 1/3 < 1 $$`。所以,無限項之和存在。
  3. 代入公式。
    `S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}`
    `S_{\infty} = \frac{18}{1 - 1/3}`
    `S_{\infty} = \frac{18}{2/3}`
    `S_{\infty} = 18 \times \frac{3}{2}`
    `S_{\infty} = 27`

如果你將呢個數列嘅所有項加到永遠,總和將會係精確嘅 27

重點提示:等比數列

等比數列涉及重複地乘以一個常數值 (`r`)。

  • 搵任何一項: `$$ T(n) = ar^{n-1} $$`
  • 搵 n 項之和: `$$ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} $$`
  • 搵無限項之和 (只適用於 `|r|<1`): `$$ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} $$`



第三部分:真實應用問題

呢個就係將所有嘢結合起嚟嘅地方啦!關鍵係要仔細閱讀問題,然後判斷個情境係屬於等差數列定係等比數列。

  • 係咪有一個固定嘅數額被加或者減? -> 等差數列
  • 數值係咪以一個固定嘅百分比或者乘數嚟改變? -> 等比數列

例子 1:薪金計劃 (等差數列)

Connie 開始一份新工作,年薪係 $300,000。佢公司承諾每年固定加薪 $15,000。如果佢工作 8 年,佢嘅總收入將會係幾多?

思考過程:

  1. 「固定年薪增長」即係每年都同一個數額。呢個係一個等差數列 (AS)
  2. 識別關鍵值:`a = 300000`,`d = 15000`。
  3. 我哋想搵工作 8 年後嘅「總收入」,所以需要求和 `S_n`,其中 `n = 8`。
  4. 使用等差數列嘅求和公式:`S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]`
  5. `S(8) = \frac{8}{2}[2(300000) + (8-1)(15000)]`
  6. `S(8) = 4[600000 + (7)(15000)]`
  7. `S(8) = 4[600000 + 105000]`
  8. `S(8) = 4[705000] = 2820000`

答案: Connie 工作 8 年後嘅總收入將會係 $2,820,000。

例子 2:汽車折舊 (等比數列)

一架新車價值 $250,000。佢每年貶值 20%。5 年後呢架車嘅價值係幾多?

思考過程:

  1. 「貶值 20%」即係每年價值被一個百分比相乘。呢個係一個等比數列 (GS)
  2. 識別關鍵值:`a = 250000`。
  3. 小心 `r`!如果價值損失咗 20%,即係佢保留咗 80% 嘅價值。所以,`r = 1 - 0.20 = 0.80`。
  4. 我哋想搵「5 年後」嘅價值。呢個係一個常見嘅陷阱。`T(1)` 係初始價值 (0 年後)。`T(2)` 係 1 年後嘅價值。所以,5 年後嘅價值係第 6 項,即係 `T(6)`。因此,`n = 6`。
  5. 使用等比數列嘅通項公式:`T(n) = ar^(n-1)`
  6. `T(6) = 250000 \times (0.8)^{6-1}`
  7. `T(6) = 250000 \times (0.8)^5`
  8. `T(6) = 250000 \times 0.32768 = 81920`

答案: 5 年後呢架車嘅價值係 $81,920。


今次就講到呢度啦!掌握數列嘅關鍵就係多練習。仔細閱讀問題,判斷數列類型,搵出你嘅 `a`、`d` 或者 `r`,然後選擇啱嘅公式。你一定得㗎!