歡迎來到排列與組合！
同學你好！準備好一齊深入探索數學其中一個最有趣嘅課題未呢？呢個章節嘅核心就係關於數算。唔係單純咁數 1、2、3... 咁簡單，而係數算一件事情可以有幾多種發生嘅方法。例如，你有幾多種方法可以排列你鍾意嘅書？一個專案可以組成幾多隊唔同嘅隊伍？你可以創建幾多個可能嘅密碼？
呢個聽落好似好複雜，但其實就好似學習一個新遊戲嘅規則咁。一旦你掌握到竅門，你就會發現呢個概念無處不在！我哋會一步一步咁用簡單嘅例子嚟拆解佢。你一定做得到！
基礎元素：數算法則
喺我哋深入研究複雜內容之前，我哋需要掌握兩條基本法則。呢啲係本章所有其他內容嘅基礎。
1. 加法法則（「或者」法則）
當你必須從唔同嘅組別中作出一個選擇時，就要諗起加法法則。如果任務甲有 'm' 種方法可以完成，或者任務乙有 'n' 種方法可以完成，而且你唔可以同時進行兩個任務，咁完成其中一個任務嘅總方法數量就係 $$m + n$$。
小貼士：如果你見到「或者」呢個詞，或者需要喺互斥嘅選項中做選擇，你可能就應該相加。
例子：一間餐廳為主菜提供 5 款唔同嘅意粉，同 4 款唔同嘅薄餅。你只可以選擇一款主菜。你總共有幾多個選擇？
你可以選擇一款意粉或者一款薄餅。
選擇數量 = (選擇意粉嘅方法) + (選擇薄餅嘅方法) = 5 + 4 = 9 個選擇。
重點歸納
加法法則適用於從一組獨立、互不重疊嘅選項中選擇一個項目。佢係一個「二選一」嘅情況。
2. 乘法法則（「並且」法則）
乘法法則適用於分階段或按順序進行嘅任務。如果你必須先完成任務甲，並且然後再完成任務乙，你就要將方法嘅數量相乘。如果任務甲有 'm' 種方法可以完成，而任務乙有 'n' 種方法可以完成，咁完成兩個任務嘅總方法數量就係 $$m \times n$$。
小貼士：如果你見到「並且」呢個詞，或者有涉及多個步驟嘅過程，你可能就應該相乘。
例子：你正在搭配一套服裝。你有 3 件恤衫同 4 條褲。你可以搭配出幾多套唔同嘅服裝？
你需要選擇一件恤衫並且選擇一條褲。
服裝數量 = (選擇恤衫嘅方法) x (選擇褲嘅方法) = 3 x 4 = 12 套服裝。
重點歸納
乘法法則適用於涉及多個接續步驟嘅過程。佢係一個「然後」嘅情況。
常犯錯誤
最常犯嘅錯誤就係混淆呢兩條法則！永遠都要問自己：「我係咪從唔同嘅類別中選擇一個選項（或者）？定係我需要按順序做出多個選擇，每個類別中揀一個（並且）？」
快速補給：階乘 (!)
喺我哋繼續之前，等我哋學習一個超級有用嘅數學符號，叫做階乘。佢只係一種簡寫特定乘法嘅方式。
非負整數 'n' 嘅階乘，寫成 n!，係所有小於或等於 n 嘅正整數嘅乘積。
$$ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 3 \times 2 \times 1 $$
例子：
$$ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 $$
$$ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 $$
$$ 1! = 1 $$
極重要嘅特殊情況：根據定義，$$0! = 1$$。呢個可能聽落有啲奇怪，但對於我哋嘅公式正常運作嚟講至關重要。記住佢就得啦！
排列：當順序至關重要！
好啦，而家講我哋兩個重要概念中嘅第一個。一開始可能覺得有啲複雜都唔使擔心，最緊要係睇例子。
咩係排列？
排列係指以特定、明確順序排列物件。關鍵詞係「順序」。如果順序改變，就係一個唔同嘅排列。
現實生活比喻：一場比賽
想像一場有三位跑手嘅比賽：小麗、小明同小芬。完成次序係有分別嘅！
- 小麗第一、小明第二、小芬第三係一個結果。
- 小明第一、小麗第二、小芬第三係一個完全唔同嘅結果。
排列公式
我哋想搵從 'n' 個相異物件中選擇 'r' 個物件並進行排列嘅方法數量。我哋可以寫成 $$P(n, r)$$ (或者有時係 $$^nP_r$$ 或 $$_nP_r$$)。
公式係：$$ P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} $$
- n 係你可以選擇嘅物件總數。
- r 係你正在排列嘅物件數量。
逐步例子：
問題：一個學會有 8 個學生。有幾多種方法可以選出一位會長、一位副會長同埋一位司庫？
步驟 1：順序重要嗎？
係！被選為會長同被選為副會長係唔同嘅。所以，呢個係一個排列問題。
步驟 2：確定 'n' 同 'r'。
我哋從總共 8 個學生中選擇，所以 $$n=8$$。
我哋需要填補 3 個特定職位，所以 $$r=3$$。
步驟 3：應用公式。
$$ P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} $$
$$ = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} $$
留意上面同下面嘅 5! 互相抵消咗！
$$ = 8 \times 7 \times 6 = 336 $$
所以，總共有 336 種唔同嘅方法嚟選擇幹事。
問題類型：物件保持相鄰
常見嘅考試題目涉及排列物件，而其中一啲物件必須保持相鄰。
例子：4 個男生同 3 個女生排成一列，如果所有 3 個女生必須坐埋一齊，有幾多種排列方法？
「捆綁」法：
步驟 1：將必須坐埋一齊嘅嗰組視為一個單一物件。將 3 個女生「捆綁」埋一齊。而家，唔係 7 個人，而係 4 個男生 + (1 組女生) = 5 個物件嚟排列。
步驟 2：排列呢啲「捆綁」好嘅物件。排列呢 5 個物件嘅方法數量係 $$5! = 120$$。
步驟 3：而家，考慮下嗰組「捆綁」好嘅女生。3 個女生喺佢哋嘅組入面，亦都可以互相排列！排列呢 3 個女生嘅方法數量係 $$3! = 6$$。
步驟 4：應用乘法法則。對於主組嘅每個 120 種排列，女生組內部都有 6 種排列。 總排列數 = (排列 5 個物件嘅方法數量) x (女生喺組內排列嘅方法數量) = $$5! \times 3! = 120 \times 6 = 720$$ 種方法。
快速溫習：排列
關鍵詞：排列、順序、排名、位置、排隊
核心概念：順序很重要！
公式： $$ P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} $$
組合：只關乎選擇嘅群組！
而家講我哋第二個重要概念。當選擇嘅順序無關緊要嘅時候，你就會用到佢。
咩係組合？
組合係指選擇物件，而選擇嘅順序並唔重要。佢只關乎選擇咗邊啲物件，而唔係佢哋被選取嘅順序。
現實生活比喻：薄餅配料
你正從餐牌中點一個有三種配料嘅薄餅。你講「辣肉腸、蘑菇同橄欖」同「橄欖、辣肉腸同蘑菇」有分別嗎？無！你都會得到同一個薄餅。最重要嘅係最終嗰組配料。呢個就係組合。
組合公式
我哋想搵從 'n' 個相異物件中選擇 'r' 個物件嘅方法數量。我哋可以寫成 $$C(n, r)$$ (或者 $$^nC_r$$、$$_nC_r$$ 或 $$\binom{n}{r}$$)。
公式係：$$ C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} $$
- n 係你可以選擇嘅物件總數。
- r 係你正在選擇嘅物件數量。
排列同組合之間嘅關係
仔細睇下條公式！佢只不過係排列公式除以 $$r!$$。
$$ C(n, r) = \frac{P(n, r)}{r!} $$
點解呢？排列會計算每個唔同嘅排列方式。為咗得到組合，我哋將所有排列 ($$P(n,r)$$) 除以每個小組內部可以排列嘅方法數量 ($$r!$$)，目的係消除因為順序而產生嘅重複情況。呢個係一個非常重要嘅概念！
逐步例子：
問題：有 10 個學生。有幾多種方法可以選出一個由 4 個學生組成嘅委員會？
步驟 1：順序重要嗎？
唔重要！一個由小麗、小明、小芬同小強組成嘅委員會，同一個由小強、小芬、小明同小麗組成嘅委員會係完全相同嘅。選擇嘅順序並唔會產生一個新嘅委員會。所以，呢個係一個組合問題。
步驟 2：確定 'n' 同 'r'。
我哋從總共 10 個學生中選擇，所以 $$n=10$$。
我哋選擇一個由 4 人組成嘅委員會，所以 $$r=4$$。
步驟 3：應用公式。
$$ C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} $$
$$ = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{ (4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 6!} $$
將上面同下面嘅 6! 抵消。
$$ = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210 $$
所以，總共有 210 個唔同嘅委員會可以組成。
快速溫習：組合
關鍵詞：選擇、揀選、挑選、群組、委員會
核心概念：順序並唔重要！
公式： $$ C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} $$
排列對決組合：終極比併
呢個係最後一道難關：知道幾時用邊一個。永遠問自己一個簡單嘅問題：
「改變我選擇嘅順序，會唔會產生一個全新、唔同嘅結果？」
- 如果會，就係「排列」。(例如：手機密碼)
- 如果唔會，就係「組合」。(例如：六合彩彩票)
實用溫習提示
喺以下情況使用「排列」：
- 將人排成一列
- 頒發冠、亞、季軍獎項
- 分派特定職位（會長、副會長）
- 創建密碼或編碼
喺以下情況使用「組合」：
- 選擇項目團隊或委員會
- 揀選書本閱讀
- 選擇六合彩號碼
- 派發撲克牌
你知唔知？
「密碼鎖」(combination lock) 其實個名改錯咗！因為你輸入數字嘅順序非常重要，所以佢實際上應該叫做「排列鎖」(permutation lock) 先啱！而家你識嘅嘢多過啲改鎖名嘅人啦！
就係咁多啦！你而家已經掌握咗好似專業人士一樣數算可能性嘅基本工具。關鍵係要多加練習，仔細閱讀題目，並時刻問自己嗰條最重要嘅問題：順序係咪重要。祝你學習順利！