歡迎來到排列與組合！
同學你好！準備好一同深入探索數學其中一個最有趣的課題了嗎？這個章節的核心就是關於數算。不是單純地數 1、2、3... 那麼簡單，而是數算一件事情可以有多少種發生的方法。例如，你有多少種方法可以排列你喜歡的書？一個專案可以組成多少隊不同的隊伍？你可以創建多少個可能的密碼？
這聽起來好像很複雜，但其實就好像學習一個新遊戲的規則一樣。一旦你掌握到竅門，你就會發現這個概念無處不在！我們會一步一步地用簡單的例子來拆解它。你一定做得到！
基礎元素：數算法則
在我們深入研究複雜內容之前，我們需要掌握兩條基本法則。這些是本章所有其他內容的基礎。
1. 加法法則（「或者」法則）
當你必須從不同的組別中作出一個選擇時，就要想起加法法則。如果任務甲有 'm' 種方法可以完成，或者任務乙有 'n' 種方法可以完成，而且你不能同時進行兩個任務，那麼完成其中一個任務的總方法數量就是 $$m + n$$。
小提示：如果你見到「或者」這個詞，或者需要在互斥的選項中做選擇，你可能就應該相加。
例子：一間餐廳為主菜提供 5 款不同的義大利麵，和 4 款不同的披薩。你只可以選擇一款主菜。你總共有多少個選擇？
你可以選擇一款義大利麵或者一款披薩。
選擇數量 = (選擇義大利麵的方法) + (選擇披薩的方法) = 5 + 4 = 9 個選擇。
重點歸納
加法法則適用於從一組獨立、互不重疊的選項中選擇一個項目。它是一個「二選一」的情況。
2. 乘法法則（「並且」法則）
乘法法則適用於分階段或按順序進行的任務。如果你必須先完成任務甲，並且然後再完成任務乙，你就要將方法的數量相乘。如果任務甲有 'm' 種方法可以完成，而任務乙有 'n' 種方法可以完成，那麼完成兩個任務的總方法數量就是 $$m imes n$$。
小提示：如果你見到「並且」這個詞，或者有涉及多個步驟的過程，你可能就應該相乘。
例子：你正在搭配一套服裝。你有 3 件襯衫和 4 條褲子。你可以搭配出多少套不同的服裝？
你需要選擇一件襯衫並且選擇一條褲子。
服裝數量 = (選擇襯衫的方法) x (選擇褲子的方法) = 3 x 4 = 12 套服裝。
重點歸納
乘法法則適用於涉及多個接續步驟的過程。它是一個「然後」的情況。
常犯錯誤
最常犯的錯誤就是混淆這兩條法則！永遠都要問自己：「我是不是從不同的類別中選擇一個選項（或者）？還是我需要按順序做出多個選擇，每個類別中選一個（並且）？」
快速補給：階乘 (!)
在我們繼續之前，讓我們學習一個超級有用的數學符號，叫做階乘。它只是一種簡寫特定乘法的方式。
非負整數 'n' 的階乘，寫成 n!，是所有小於或等於 n 的正整數的乘積。
$$ n! = n imes (n-1) imes (n-2) imes ... imes 3 imes 2 imes 1 $$
例子：
$$ 5! = 5 imes 4 imes 3 imes 2 imes 1 = 120 $$
$$ 3! = 3 imes 2 imes 1 = 6 $$
$$ 1! = 1 $$
極重要的特殊情況：根據定義，$$0! = 1$$。這可能聽起來有些奇怪，但對於我們的公式正常運作來說至關重要。記住它就可以了！
排列：當順序至關重要！
好了，現在講我們兩個重要概念中的第一個。一開始可能覺得有些複雜都不用擔心，最重要的是看例子。
什麼是排列？
排列是指以特定、明確順序排列物件。關鍵詞是「順序」。如果順序改變，就是一個不同的排列。
現實生活比喻：一場比賽
想像一場有三位跑手的比賽：小麗、小明和小芬。完成次序是有分別的！
- 小麗第一、小明第二、小芬第三是一個結果。
- 小明第一、小麗第二、小芬第三是一個完全不同的結果。
排列公式
我們想找出從 'n' 個相異物件中選擇 'r' 個物件並進行排列的方法數量。我們可以寫成 $$P(n, r)$$ (或者有時是 $$^nP_r$$ 或 $$_nP_r$$)。
公式是：$$ P(n, r) = rac{n!}{(n-r)!} $$
- n 是你可以選擇的物件總數。
- r 是你正在排列的物件數量。
逐步例子：
問題：一個學會有 8 個學生。有多少種方法可以選出一位會長、一位副會長以及一位司庫？
步驟 1：順序重要嗎？
是！被選為會長和被選為副會長是不同的。所以，這是一個排列問題。
步驟 2：確定 'n' 和 'r'。
我們從總共 8 個學生中選擇，所以 $$n=8$$。
我們需要填補 3 個特定職位，所以 $$r=3$$。
步驟 3：應用公式。
$$ P(8, 3) = rac{8!}{(8-3)!} = rac{8!}{5!} $$
$$ = rac{8 imes 7 imes 6 imes 5 imes 4 imes 3 imes 2 imes 1}{5 imes 4 imes 3 imes 2 imes 1} $$
留意上面和下面的 5! 互相抵消了！
$$ = 8 imes 7 imes 6 = 336 $$
所以，總共有 336 種不同的方法來選擇幹事。
問題類型：物件保持相鄰
常見的考試題目涉及排列物件，而其中一些物件必須保持相鄰。
例子：4 個男生和 3 個女生排成一列，如果所有 3 個女生必須坐在一起，有多少種排列方法？
「捆綁」法：
步驟 1：將必須坐在一起的那組視為一個單一物件。將 3 個女生「捆綁」在一起。現在，不是 7 個人，而是 4 個男生 + (1 組女生) = 5 個物件來排列。
步驟 2：排列這些「捆綁」好的物件。排列這 5 個物件的方法數量是 $$5! = 120$$。
步驟 3：現在，考慮一下那組「捆綁」好的女生。3 個女生在她們的組裡面，亦都可以互相排列！排列這 3 個女生的方法數量是 $$3! = 6$$。
步驟 4：應用乘法法則。對於主組的每個 120 種排列，女生組內部都有 6 種排列。總排列數 = (排列 5 個物件的方法數量) x (女生在組內排列的方法數量) = $$5! imes 3! = 120 imes 6 = 720$$ 種方法。
快速溫習：排列
關鍵詞：排列、順序、排名、位置、排隊
核心概念：順序很重要！
公式： $$ P(n, r) = rac{n!}{(n-r)!} $$
組合：只關乎選擇的群組！
現在講我們第二個重要概念。當選擇的順序無關緊要的時候，你就會用到它。
什麼是組合？
組合是指選擇物件，而選擇的順序並不重要。它只關乎選擇了哪些物件，而不是它們被選取的順序。
現實生活比喻：披薩配料
你正從菜單中點一個有三種配料的披薩。你說「辣肉腸、蘑菇和橄欖」和「橄欖、辣肉腸和蘑菇」有分別嗎？沒有！你都會得到同一個披薩。最重要的是最終那組配料。這就是組合。
組合公式
我們想找出從 'n' 個相異物件中選擇 'r' 個物件的方法數量。我們可以寫成 $$C(n, r)$$ (或者 $$^nC_r$$、$$_nC_r$$ 或 $$inom{n}{r}$$)。
公式是：$$ C(n, r) = rac{n!}{r!(n-r)!} $$
- n 是你可以選擇的物件總數。
- r 是你正在選擇的物件數量。
排列和組合之間的關係
仔細看一下這條公式！它只不過是排列公式除以 $$r!$$。
$$ C(n, r) = rac{P(n, r)}{r!} $$
為什麼呢？排列會計算每個不同的排列方式。為了得到組合，我們將所有排列 ($$P(n,r)$$) 除以每個小組內部可以排列的方法數量 ($$r!$$)，目的是消除因為順序而產生的重複情況。這是一個非常重要的概念！
逐步例子：
問題：有 10 個學生。有多少種方法可以選出一個由 4 個學生組成的委員會？
步驟 1：順序重要嗎？
不重要！一個由小麗、小明、小芬和小強組成的委員會，和一個由小強、小芬、小明和小麗組成的委員會是完全相同的。選擇的順序並不會產生一個新的委員會。所以，這是一個組合問題。
步驟 2：確定 'n' 和 'r'。
我們從總共 10 個學生中選擇，所以 $$n=10$$。
我們選擇一個由 4 人組成的委員會，所以 $$r=4$$。
步驟 3：應用公式。
$$ C(10, 4) = rac{10!}{4!(10-4)!} = rac{10!}{4!6!} $$
$$ = rac{10 imes 9 imes 8 imes 7 imes 6!}{ (4 imes 3 imes 2 imes 1) imes 6!} $$
將上面和下面的 6! 抵消。
$$ = rac{10 imes 9 imes 8 imes 7}{4 imes 3 imes 2 imes 1} = rac{5040}{24} = 210 $$
所以，總共有 210 個不同的委員會可以組成。
快速溫習：組合
關鍵詞：選擇、揀選、挑選、群組、委員會
核心概念：順序並不重要！
公式： $$ C(n, r) = rac{n!}{r!(n-r)!} $$
排列對決組合：終極比併
這是最後一道難關：知道何時用哪一個。永遠問自己一個簡單的問題：
「改變我選擇的順序，會不會產生一個全新、不同的結果？」
- 如果會，就是「排列」。(例如：手機密碼)
- 如果不會，就是「組合」。(例如：六合彩彩票)
實用溫習提示
在以下情況使用「排列」：
- 將人排成一列
- 頒發冠、亞、季軍獎項
- 分派特定職位（會長、副會長）
- 創建密碼或編碼
在以下情況使用「組合」：
- 選擇項目團隊或委員會
- 揀選書本閱讀
- 選擇六合彩號碼
- 派發撲克牌
你知道嗎？
「密碼鎖」(combination lock) 其實名字改錯了！因為你輸入數字的順序非常重要，所以它實際上應該叫做「排列鎖」(permutation lock) 才對！現在你懂得的比那些改鎖名的人還要多！
就是這麼多了！你現在已經掌握了像專業人士一樣數算可能性的基本工具。關鍵是要多加練習，仔細閱讀題目，並時刻問自己那條最重要的問題：順序是不是重要。祝你學習順利！