指數函數與對數函數:終極溫習指南!
哈囉各位同學!歡迎來到指數函數同對數函數嘅奇妙世界。聽落個名好似有啲嚇人?唔使驚!學完呢份指南,你就會發現佢哋其實係一體兩面,而且喺理解地震震級、儲蓄戶口存款增長等方面都超有用㗎!
喺呢一章,我哋會幫你將對冪(指數)嘅理解提升到更高層次,然後就會認識佢哋嘅「逆函數」——對數。快啲開始啦!
第一部分:指數函數 —— 冪的威力
你之前都見過冪啦,好似 $$3^2 = 9$$。指數函數就係將變數放喺冪嘅位置,例如 $$y = 2^x$$。就係因為咁,啲嘢先會增長(或衰減)得超快㗎!
快速重溫:你已知的概念
記得初中學過呢啲關鍵法則嗎?佢哋係之後所有內容嘅基礎嚟㗎!
- 正指數: $$a^n = a \times a \times ... \times a$$ (n個 'a' 相乘)
- 零指數: $$a^0 = 1$$ (任何非零 'a' 嘅情況下)
- 負指數: $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$ (即係「將佢倒轉」!)
新技能解鎖:有理指數(分數冪!)
如果個冪係分數咁點算?睇落可能好怪,但其實比你想像中簡單。呢個全部都關乎開方㗎!
1. 「開方」冪:$$a^{\frac{1}{n}}$$
一個 $$ \frac{1}{n} $$ 嘅冪,意思就係n次方根。
你可以咁諗:將一個數開平方根,同將佢平方係相反嘅運算。所以,一個2嘅冪,可以用1/2嘅冪嚟抵消!
公式: $$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$$
例子:
- $$9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$$
- $$8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$$
2. 「冪與開方」組合:$$a^{\frac{m}{n}}$$
呢個只係兩種概念嘅結合。底部嘅數字(n)係開方數,而頂部嘅數字(m)就係冪。你可以按任何次序嚟運算!
公式: $$a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{(a^m)}$$
例子:讓我哋計算 $$27^{\frac{2}{3}}$$
- 方法一(先開方,後取冪): $$ (\sqrt[3]{27})^2 = (3)^2 = 9 $$
- 方法二(先取冪,後開方): $$ \sqrt[3]{(27^2)} = \sqrt[3]{729} = 9 $$
小貼士:通常都係先開方會比較容易,咁樣可以令數字保持細啲。
重要規則提提你!
喺你DSE課程中嘅有理指數,底數 'a' 必須係正實數 ($$a > 0$$)。呢啲定律對於負數底數唔係咁可靠,所以我哋會避免使用佢哋。
指數定律(佢哋依然適用!)
好消息係,你之前學過嘅所有指數定律,對於分數冪都完全適用。以下係一個快速重溫:
快速重溫:有理指數定律
設 p 同 q 為有理數,a 同 b 為正實數。
- 乘法定律: $$a^p \times a^q = a^{p+q}$$
例子: $$x^2 \times x^{\frac{1}{2}} = x^{2+\frac{1}{2}} = x^{\frac{5}{2}}$$ - 除法定律: $$\frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$$
例子: $$\frac{5^3}{5^{3.5}} = 5^{3-3.5} = 5^{-0.5} = \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$$ - 冪的冪定律: $$(a^p)^q = a^{pq}$$
例子: $$(x^{\frac{1}{3}})^6 = x^{\frac{1}{3} \times 6} = x^2$$ - 積的冪定律: $$(ab)^p = a^p b^p$$
例子: $$(4x)^2 = 4^2 x^2 = 16x^2$$ - 商的冪定律: $$(\frac{a}{b})^p = \frac{a^p}{b^p}$$
例子: $$(\frac{8}{27})^{\frac{1}{3}} = \frac{8^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}} = \frac{2}{3}$$
指數函數嘅圖像 ($$y=a^x$$)
指數函數嘅圖像訴說住一個關於快速變化嘅故事。佢主要有兩種情況。
情況一:增長 ($$a > 1$$)
例子:$$y=2^x$$
當 'x' 增加時,'y' 會增長得愈來愈快。呢個就叫做指數增長。試諗下細菌每小時數目翻倍嘅情況。
- 佢一定會經過點 (0, 1),因為 $$a^0=1$$。
- 佢一定喺 x軸上方(y值恆為正數)。
- 佢喺右邊會變得非常陡峭,而喺左邊則會變得非常平坦(接近零)。
情況二:衰減 ($$0 < a < 1$$)
例子:$$y=(\frac{1}{2})^x$$
當 'x' 增加時,'y' 會愈來愈細,並趨近零。呢個就係指數衰減。試諗下放射性物質隨時間衰減放射性嘅情況。
- 佢亦都一定會經過點 (0, 1)。
- 佢亦都一定喺 x軸上方。
- 佢係增長圖像沿住 y軸嘅鏡像。
重點回顧:指數函數
- 分數冪代表開方:$$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$$。
- 所有舊嘅指數定律仍然適用。
- 底數 'a' 必須係正數 ($$a>0$$)。
- $$y=a^x$$ 嘅圖像一定經過 (0, 1) 並且永遠喺正數範圍。
第二部分:對數函數 —— 「係咩冪次?」嘅問題
好啦,轉個彎,講下另一個概念。如果我話你知 $$2^x = 8$$,你可以好輕易咁計到 $$x=3$$。對數(或者簡稱「log」)就係我哋用嚟正式問呢個問題嘅工具。
問題:「我要將底數提升到咩冪次,先會得到呢個數?」
答案:就係對數!
對數嘅定義
呢個係本章最重要嘅概念。佢係指數同對數之間嘅聯繫。
如果 $$y = a^x$$,咁我哋就可以寫成 $$x = \log_a y$$。
讓我哋逐一解釋:
- a 係底數。
- y 係我哋要取對數嘅數字(叫做真數)。
- x 就係答案,亦即係我哋一直喺度搵緊嘅冪次。
記憶小貼士:對數循環!
要將 $$ \log_a y = x $$ 轉換成指數形式,由底數 'a' 開始,繞圈到 'x',然後以 'y' 結束。呢個就顯示出 $$ a^x = y $$。
例子:將 $$ \log_2 8 = 3 $$ 轉換成指數形式。
由底數 2 開始,繞到 3,再到 8。所以,$$2^3 = 8$$。啱晒!
重要條件提提你!
就好似指數咁,對數都有佢嘅數字限制規則:
- 底數 a 必須係正數同唔等於 1 ($$a > 0$$ 同 $$a \neq 1$$)。
- 真數 y 必須係正數 ($$y > 0$$)。你唔可以對零或者負數取對數!
對數定律
對數都有佢嘅定律,就好似指數定律嘅「鏡像」一樣。佢哋可以幫助我哋簡化表達式同解方程。
快速重溫:對數定律
對於 M, N > 0,a > 0 同 a ≠ 1:
- 積的對數定律: $$ \log_a (MN) = \log_a M + \log_a N $$
(積嘅對數等於各個數嘅對數之和) - 商的對數定律: $$ \log_a (\frac{M}{N}) = \log_a M - \log_a N $$
(商嘅對數等於被除數嘅對數減去除數嘅對數) - 冪的對數定律: $$ \log_a (M^k) = k \log_a M $$
(對數入面嘅冪可以提出嚟作為乘數。呢條超有用㗎!)
同埋兩個嚟自定義嘅特殊結果:
- $$ \log_a 1 = 0 $$ (因為 $$ a^0 = 1 $$)
- $$ \log_a a = 1 $$ (因為 $$ a^1 = a $$)
切記避免嘅常見錯誤!
請,請你哋一定要記住:
$$ \log_a (M+N) $$ 並唔係 $$ \log_a M + \log_a N $$
$$ \log_a (M-N) $$ 並唔係 $$ \log_a M - \log_a N $$
呢啲定律只適用於對數入面嘅乘法同除法!
終極工具:換底公式
你嘅計數機有個「log」掣,但嗰個係底數 10 嘅對數 ($$\log_{10}$$)。如果需要搵 $$\log_2 7$$ 咁點算?你就要用換底公式啦!
公式: $$ \log_b N = \frac{\log_a N}{\log_a b} $$
簡單嚟講,想搵一個「奇怪」底數(例如底數 'b')嘅對數,你可以用任何你鍾意嘅「常用」底數 'a'(例如你計數機上嘅底數 10!)嚟,將數字嘅對數除以底數嘅對數。
例子:用計數機搵 $$\log_2 7$$。
我哋想搵底數 2 嘅對數,但係我哋嘅計數機只得底數 10。所以我哋就要換底:
$$ \log_2 7 = \frac{\log_{10} 7}{\log_{10} 2} = \frac{\log 7}{\log 2} $$
而家,喺你計數機上輸入:`log(7) ÷ log(2) =` 你就會得到大約 2.81。
對數函數嘅圖像 ($$y=\log_a x$$)
對數函數嘅圖像係指數函數圖像沿住直線 $$y=x$$ 嘅反射。
情況一:$$a > 1$$ (例如:$$y=\log_2 x$$)
- 佢一定會經過點 (1, 0)。
- 佢只會喺 'x' 係正數時存在(佢永遠唔會接觸或穿過 y軸)。
- 佢會增長,但比指數函數慢好多。
情況二:$$0 < a < 1$$ (例如:$$y=\log_{\frac{1}{2}} x$$)
- 佢亦都經過 (1, 0) 並且只會喺 $$x>0$$ 時存在。
- 佢係一個遞減函數。
重點回顧:對數函數
- 對數解答「係咩冪次?」嘅問題。
- 關鍵關係:$$ y=a^x \iff x=\log_a y $$。
- 記住三大定律:積的對數定律、商的對數定律同冪的對數定律。
- 使用換底公式嚟配合你嘅計數機運算。
- $$y=\log_a x$$ 嘅圖像一定經過 (1, 0) 並且只會喺 $$x>0$$ 時存在。
第三部分:融會貫通 —— 解方程
而家我哋會運用晒所有呢啲新技能嚟解方程。策略就係利用我哋學過嘅法則去孤立變數 'x'。
解指數方程
我哋而家有一個強大嘅新方法,就係利用對數。
例子:解 $$2^x = 5$$
'x' 困喺冪嘅位置。我哋要將佢「拉」落嚟!對數嘅冪的對數定律就最啱用啦。
- 兩邊取對數。最好用你計數機上嘅底數 10 對數('log')。
$$ \log(2^x) = \log(5) $$ - 使用冪的對數定律將 'x' 提出嚟。
$$ x \log(2) = \log(5) $$ - 解出 x。記住,$$\log(2)$$ 同 $$\log(5)$$ 都只係數字。
$$ x = \frac{\log 5}{\log 2} $$ - 用你嘅計數機計出最終答案。
$$ x \approx 1.63 $$
解對數方程
主要目標係要「清走」啲對數。有幾種方法可以做到呢樣嘢。
例子一:單一對數等於一個數
解 $$ \log_3(x+4) = 2 $$
- 用「對數循環」轉換成指數形式。
$$ x+4 = 3^2 $$ - 解方程。
$$ x+4 = 9 $$
$$ x = 5 $$ - 檢查你嘅答案!呢個超重要㗎。對數嘅真數必須係正數。
檢查:喺原方程中,真數係 (x+4)。如果 x=5,咁 5+4=9,係正數。所以答案有效!
例子二:先合併對數
解 $$ \log(x+1) + \log(x-1) = \log 3 $$ (注意:無寫底數嘅 'log' 代表底數為 10)
- 使用對數定律將左邊合併成一個單一對數。「+」表示我哋使用積的對數定律。
$$ \log((x+1)(x-1)) = \log 3 $$ - 使真數相等。如果 $$\log A = \log B$$,咁 A 必定等於 B。
$$ (x+1)(x-1) = 3 $$ - 解結果方程。呢個會變成一個二次方程!
$$ x^2 - 1 = 3 $$
$$ x^2 = 4 $$
$$ x = 2 $$ 或 $$ x = -2 $$ - 檢查兩個答案!
- 檢查 x=2: 喺原方程中,我哋有 $$\log(2+1)=\log(3)$$ 同 $$\log(2-1)=\log(1)$$。兩個真數 (3 同 1) 都係正數。所以,$$x=2$$ 係一個有效解。
- 檢查 x=-2: 喺原方程中,我哋會得到 $$\log(-2+1)=\log(-1)$$。我哋唔可以對負數取對數!所以,我哋必須捨去 $$x=-2$$。
唯一嘅解係 $$x=2$$。睇下檢查有幾重要呢?
重點回顧:解方程
- 要解 $$a^x=b$$,就對兩邊取對數並使用冪的對數定律。
- 要解對數方程,嘗試令兩邊都只得單一對數,或者轉換成指數形式。
- 永遠,永遠,永遠都要檢查你對對數方程嘅答案,確保你唔係對負數或零取對數。
第四部分:現實世界嘅應用與宏觀視角
你可能好奇:「我幾時會用到呢啲嘢?」答案係:大把機會用到!呢啲概念描述咗世界點樣運作。
點解我哋要關注?現實生活應用
- 黎克特制(地震):呢個係一個對數標度。6級地震嘅威力比5級地震大10倍,比4級地震大100倍。對數可以幫助我哋以簡單嘅方式處理呢啲巨大嘅差異。
- 分貝(聲音):聲音強度都係用對數標度嚟量度。70分貝嘅聲音(吸塵機)能量比60分貝嘅聲音(對話)大10倍。
- 金融(複利息):你銀行戶口嘅存款,就係多得複利息而以指數方式增長㗎。
你唔需要背熟呢啲公式,但能夠欣賞對數點樣令大數字變得易於處理,已經好好。
你知唔知?小歷史教室
喺計數機發明之前,科學家點樣乘數值巨大嘅數字,好似 5,182.7 × 9,456.3 咁呢?嗰時又慢又難㗎!
喺17世紀,一位數學家約翰·納皮爾(John Napier)發明咗對數。利用定律 $$ \log(MN) = \log M + \log N $$,佢意識到可以將任何困難嘅乘法問題變成簡單嘅加法問題!人們會喺一本厚厚嘅對數表中查找兩個數字嘅對數,將佢哋相加,然後再搵返對應嗰個和嘅數字。呢個發明徹底改變咗科學同工程界300年,直到計數機嘅出現先至取代佢。
章節總結:你搞得掂㗎!
搞掂!睇落可能好多嘢,但其實都歸結於幾個核心概念。
- 指數函數 ($$y=a^x$$) 關乎快速增長或衰減。佢哋嘅關鍵係指數定律。
- 對數函數 ($$y=\log_a x$$) 係佢哋嘅「逆函數」,提出「係咩冪次?」嘅問題。佢哋嘅關鍵係對數定律。
- 兩者之間嘅連結係 $$y=a^x \iff x=\log_a y$$。務必掌握呢種轉換。
- 解方程時,使用定律去孤立 'x',同埋永遠檢查你嘅對數解!
多加練習呢啲概念,你好快就會成為高手。祝你好運!