歡迎來到圓形的世界！
各位同學好！準備好深入探索幾何學中最重要的圖形之一——圓形了嗎？圓形真是無處不在，從巴士的車輪到我們最喜歡吃的薄餅都是圓形！在這個章節，我們會一起探索圓形的基本定律和性質，了解為何圓形如此特別又如此有規律。掌握這些基本知識會給你一個強大的工具，去解決各種幾何問題。就算一開始覺得內容很多都不用擔心，我們會一步一步拆解！我們開始吧！
第一部分：圓形的結構 (快速溫習)
在我們跳入圓形的精彩性質之前，不如先溫習一下圓形的基本構造，確保大家使用同一套術語！以下是任何圓形的基本組成部分：
- 圓心 (Centre)： 位於圓形正中央的點。
- 半徑 (Radius, r)： 由圓心到圓周上任何一點的距離。
- 直徑 (Diameter, d)： 一條穿過圓心，連接圓周上兩點的直線。它永遠都是半徑的兩倍 ($$d = 2r$$)。
- 圓周 (Circumference)： 圓形外圍的總長度。
- 弦 (Chord)： 一條連接圓周上任何兩點的直線。直徑就是最長的弦！
- 弧 (Arc)： 圓周的一部分。
- 弓形 (Segment)： 由一條弦和一段弧所圍成的區域。
第二部分：弦與弧的性質
弦與弧之間有著非常密切的關係。你可以想像它們是好朋友——其中一方有什麼變化，另一方通常都會有規律地受到影響。以下是它們的主要性質。
1. 「相等」關係
這個關係很直接：如果你有兩條等長的弦，它們「截取」出來的弧都一定會等長。反過來說也是對的！
- 如果弦 AB = 弦 CD，那麼弧 AB = 弧 CD。(原因：等弦，等弧)
- 如果弧 AB = 弧 CD，那麼弦 AB = 弦 CD。(原因：等弧，等弦)
2. 垂直定律 (非常重要！)
這些性質都圍繞著一條由圓心畫出，並垂直 ($$90^ circ$$) 於弦的直線。
- 圓心至弦的垂直線平分弦： 如果一條由圓心發出的直線以直角（$$90^
circ$$）碰到一條弦，它會將弦一分為二。
想像一下，就好似圓心使出「空手道劈斬」，將弦完美劈開兩半。
(原因：圓心至弦的垂直線平分弦)
- 圓心至弦中點的線垂直弦： 如果一條直線由圓心畫到一條弦的正中間，那麼這條線就一定會垂直 ($$90^
circ$$) 於弦。
這個就是第一個定律的逆向說法！
(原因：圓心至弦中點的線垂直弦)
- 弦的垂直平分線過圓心： 如果你畫一條線，它以完美的 $$90^
circ$$ 角將一條弦平分（即是垂直平分線），那麼這條線就保證一定會穿過圓心。
這個對於只有一條弦去尋找圓心的題目來說，是超級有用！
(原因：弦的垂直平分線過圓心)
3. 「與圓心的距離」定律
這個性質將弦的長度與它和圓心的距離聯繫在一起。
- 等弦，等距圓心： 等長的弦會與圓心有相同的距離。
(原因：等弦，等距圓心)
- 等距圓心的弦相等： 與圓心有相同距離的弦，它們的長度會相等。
(原因：等距圓心的弦相等)
類比時間！
想像一下圓心是一個營火。長一些的弦（大一些的木頭）可以靠近營火一些，而短一些的弦（小一些的樹枝）就必須離遠一些。如果兩塊木頭一樣大小，它們就會與營火有相同的距離。
弦與弧的重點歸納
總括來說，都是關係為主：等弦 ⇔ 等弧、圓心的垂直線 ⇔ 平分弦，以及等弦 ⇔ 等距圓心。
第三部分：圓形的角性質
這裡就是圓形最有趣的地方！在圓形裡面形成的角，都會跟隨一些非常嚴謹而有用的規則。
1. 圓心角兩倍於圓周角
這是角度的核心定律。如果一個弧在圓心對向（或「張出」）一個角，又在圓周上其餘任何一點對向另一個角，那麼圓心的角永遠都會是圓周角的兩倍。
(原因：圓心角兩倍於圓周角)
小貼士： 記住要檢查清楚，兩個角是不是由圓周上相同的兩點開始和結束！
2. 同弓形內的圓周角相等
如果一條弦形成一個弓形，那麼在這個弓形裡面，任何由弦的端點開始和結束的角都會是一樣的。
(原因：同弓形內的圓周角)
類比時間！
你可以將它想像成「弓箭定律」。弦就是弓弦。無論你怎麼拉弓（即是弧），弓與弦之間的夾角在任何一點都是一樣的。
3. 弧長與圓周角成比例
這個性質也蠻直觀。弧越大，它在圓周上形成的角就越大。如果一個弧的長度是另一個弧的兩倍，那麼它對向的角也會是兩倍大。
如果弧 AB = 2 × 弧 CD，那麼 ∠AEB = 2 × ∠CFD。
(原因：弧長與圓周角成比例)
4. 半圓上的圓周角是直角 ($$90^ circ$$)
這是「圓心角兩倍於圓周角」定律的一個特殊情況。直徑是一條穿過圓心的弦。它在圓心形成的角是一條直線，即是 $$180^ circ$$。因此，它在圓周上對向的任何角都必須是它的一半：$$180^ circ div 2 = 90^ circ$$。
任何以直徑為底邊所形成的角，都必定是直角。
(原因：半圓上的圓周角)
反過來說也是對的：如果圓周上的一個角是 $$90^ circ$$，那麼形成這個角的弦就一定是直徑。
(原因：半圓上的圓周角逆定理)
角度的重點歸納
記住三大定律：圓心角 = 2 × 圓周角、同弓形內的圓周角相等，以及特殊情況：半圓上的圓周角 = 90°。
第四部分：圓內接四邊形
什麼是圓內接四邊形？它只不過是一個四邊形，而它的四個頂點都在圓周上。
1. 對角互補
在任何圓內接四邊形裡面，互相對面的角加起來永遠都會是 $$180^ circ$$。
$$ angle A + angle C = 180^ circ $$
$$ angle B + angle D = 180^ circ $$
(原因：圓內接四邊形對角)
常見錯誤： 不要與平行四邊形搞混，平行四邊形是對角相等！圓內接四邊形是加起來等於 180°！
2. 外角等於內對角
如果你將圓內接四邊形其中一條邊延長，那麼你所形成的「外角」就會等於對面內角的大小。
(原因：圓內接四邊形外角)
圓內接四邊形的重點歸納
只需要記住兩個主要定律：對角加起來等於 180°，以及外角等於內對角。
第五部分：進階性質 (非基礎課題)
注意！ 以下的課題屬於非基礎課程的一部分。它們是解決更複雜問題的強大工具。
1. 如何證明多點共圓
有時，題目會要求你證明四點共圓（即是它們位於同一個圓上）。要做到這點，你就要用到我們剛才學過的性質的逆定理。
- 同弓形內圓周角逆定理： 如果連接兩點的線段，在線的同側對另外兩點產生相等的角，那麼這四點就是共圓的。
(原因：同弓形內圓周角逆定理)
- 對角互補： 如果一個四邊形的對角加起來是 $$180^
circ$$，那麼它就是一個圓內接四邊形。
(原因：對角互補)
- 外角等於內對角： 如果一個四邊形的外角等於它的內對角，那麼它就是一個圓內接四邊形。
(原因：外角等於內對角)
2. 切線的性質
切線是一條只在圓形上一點（「切點」）接觸圓形的直線。
- 切線垂直半徑： 切線在切點永遠都垂直 ($$90^
circ$$) 於半徑。
(原因：切線垂直半徑)
- 由外點引出的切線 (雪糕筒定律)： 如果你從同一個圓外點畫兩條切線到圓形：
1. 兩條切線段的長度相等 (PA = PB)。
2. 兩條切線在圓心對向相等的角 (∠POA = ∠POB)。
3. 連接該點與圓心的線會平分兩條切線之間的角 (∠APO = ∠BPO)。
(原因：切線性質) 或 (由外點引出的切線)
- 弦切角： 這是一個有些難，但是很強大的性質！切線與在切點經過的弦之間的夾角，會等於對面弓形裡面的圓周角。
(原因：弦切角)
3. 簡單幾何證明
這裡就是你要成為數學偵探的時候了！證明就是要用你學過的性質，一步一步邏輯推導來證明某些事物是真確的。關鍵是每一步都要寫清楚你的原因。
證明例子：
問題：圖中，O 為圓心。AB 為弦，直線 PC 為圓於 C 的切線。如果 ∠ABC = 30°，證明 AC 垂直於 BC。
步驟 1： 找出 ∠AOC。
∠AOC = 2 × ∠ABC (原因：圓心角兩倍於圓周角)
∠AOC = 2 × 30° = 60°
步驟 2： OA = OC (原因：半徑)
所以，△AOC 是等腰三角形。
步驟 3： ∠OAC = ∠OCA (原因：等腰三角形底角)
∠OAC = (180° - 60°) / 2 = 60°
所以，△AOC 是等邊三角形。AC = OA = OC。
步驟 4： 由於 OA 是半徑，而 AC = OA，所以 AC 也一定是半徑。AB 是一條穿過圓心的弦，所以它是直徑。
步驟 5： ∠ACB = 90° (原因：半圓上的圓周角)
因此，AC 垂直於 BC。證畢。 (意思是「所欲證明」)
你知道嗎？
在數學上，「圓周角」的標準簡寫是 ∠ at ⨀ce，其中 ⨀ 就是圓形的符號。在考試用這些簡寫可以省下很多時間！
恭喜你，你已經學完圓形的核心性質了！練習是關鍵，所以記得嘗試將這些定律應用在不同的題目中。時間久了，你就會自動看到這些規律了。祝你好運！