不等式和線性規劃：你的終極溫習指南
大家好！歡迎來到不等式和線性規劃的溫習筆記。不要被這個冗長的名稱嚇倒！這一章的重點，是教你如何運用數學來作出明智的決策。我們會從簡單的比較（例如「x 是否大於 5？」）開始，然後學習繪畫區域，最後會學懂如何找出實際問題的最佳解決方案，例如公司如何賺取最大利潤。這絕對是一個非常實用的技能，我們立即開始吧！
第一部分：一元不等式（數線上的運算）
預備知識速測：簡單線性不等式
還記得這些符號嗎？它們是這個課題的核心！
- > : 大於
- < : 小於
- ≥ : 大於或等於
- ≤ : 小於或等於
最重要要記住的規則是不等式黃金法則：
當你用負數乘或除不等式兩邊時，你必須將不等號反轉。
例子：求解 $$-2x > 6$$
要解出 x，我們將兩邊除以 -2。由於我們除以負數，所以必須將不等號反轉！
$$x < -3$$
8.1：複合線性不等式
這就是我們需要同時處理多於一個不等式的情況。主要有兩種：「且」 (AND) 和「或」 (OR)。
「且」類型（交集）
這表示解必須同時滿足所有條件。你可以想像成在數線上尋找重疊部分。
例子：求解 $$x > 3$$ 且 $$x \le 7$$
我們需要找出大於 3 且小於或等於 7 的數字。
在數線上看，重疊部分就在 3 和 7 之間。
解為 $$3 < x \le 7$$。
「或」類型（聯集）
這表示解可以滿足其中一個條件（或兩者都滿足）。你只需要將所有可能的解區域合併起來。
例子：求解 $$x < -1$$ 或 $$x \ge 4$$
我們需要找出小於 -1 或大於或等於 4 的數字。由於沒有重疊部分，我們只需將兩個條件都寫出來作為最終答案。
解為 $$x < -1 \text{ 或 } x \ge 4$$。
一個實際應用：三角形不等式
你知道嗎？對於任何邊長為 a、b、c 的三角形，任意兩邊之和必須大於第三邊。 這為我們提供了三個複合不等式：$$a+b > c$$、$$a+c > b$$ 和 $$b+c > a$$。你可以利用這些不等式來找出缺失邊長的可能範圍！
常犯錯誤提示：不要將「且」和「或」混淆！像「$$x > 5 \text{ 且 } x < 2$$」這樣的解是不可能存在的，因為沒有一個數字可以同時大於 5 又小於 2。重疊部分是空的！
8.2 和 8.3：處理二次不等式
現在，讓我們看看包含 $$x^2$$ 項的不等式，例如 $$x^2 - 5x + 4 > 0$$。不用擔心，這裡有一個清晰的解題步驟。關鍵是首先找出表達式等於零的位置。
快速重溫：二次函數圖像（拋物線）
$$y = ax^2 + bx + c$$ 的圖像是一條拋物線。
- 求解 $$ax^2 + bx + c > 0$$ 等於問：「拋物線在 x 軸上方哪裡？」
- 求解 $$ax^2 + bx + c < 0$$ 等於問：「拋物線在 x 軸下方哪裡？」
方法一：圖像法（學習目標 8.2）
這個方法非常適合視覺型學習者。
例子：求解 $$x^2 - x - 6 > 0$$
-
找出根：首先，解方程 $$x^2 - x - 6 = 0$$。
$$(x-3)(x+2) = 0$$
所以，根是 $$x = 3$$ 和 $$x = -2$$。這些是 x 軸截距。 - 繪畫草圖：由於 $$x^2$$ 的係數是正數（它是 1），所以拋物線向上開口。繪畫一條在 -2 和 3 穿過 x 軸的 U 形曲線。
- 找出解：題目要求 $$x^2 - x - 6 > 0$$，即是「圖像在 x 軸上方哪裡？」。根據你的草圖，當 x 小於 -2 或大於 3 時，圖像位於 x 軸上方。
- 寫出答案：$$x < -2 \text{ 或 } x > 3$$
方法二：代數法（學習目標 8.3）
這個方法利用數線，非常可靠。
例子：再次求解 $$x^2 - x - 6 > 0$$。
- 找出臨界值：這些就是我們之前找到的根。將 $$x^2 - x - 6 = 0$$ 設為零，得到 $$x = 3$$ 和 $$x = -2$$。
- 劃分數線：利用這些臨界值將數線分成三個區域：$$x < -2$$、 $$-2 < x < 3$$ 和 $$x > 3$$。
-
測試每個區域：從每個區域中選取一個簡單的測試數字，並將其代入原不等式（$$x^2 - x - 6 > 0$$），看看它是真還是假。
-
區域一：$$x < -2$$。讓我們測試 $$x=-3$$。
$$(-3)^2 - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6$$。 $$6 > 0$$ 嗎？是（真）。 -
區域二：$$-2 < x < 3$$。讓我們測試 $$x=0$$。
$$(0)^2 - (0) - 6 = -6$$。 $$-6 > 0$$ 嗎？否（假）。 -
區域三：$$x > 3$$。讓我們測試 $$x=4$$。
$$(4)^2 - (4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6$$。 $$6 > 0$$ 嗎？是（真）。
-
區域一：$$x < -2$$。讓我們測試 $$x=-3$$。
- 寫出答案：不等式在第一個和第三個區域中為真。因此解為 $$x < -2 \text{ 或 } x > 3$$。
第一部分重點摘要
- 當用負數乘或除時，永遠要反轉不等號。
- 「且」代表重疊／交集。「或」代表合併／聯集。
- 對於二次不等式，首先找出根。然後可以繪畫草圖，或者在數線上測試區域。
第二部分：進入二維平面與線性規劃
8.4：繪畫二元線性不等式
現在我們在 x-y 坐標平面上操作。像 $$y = 2x + 1$$ 這樣的方程是一條直線。而像 $$y > 2x + 1$$ 這樣的不等式則代表了直線一側的整個區域。
繪畫圖像逐步指南
例子：以圖像方式表示不等式 $$2x + y \le 4$$。
-
繪畫邊界線：首先，將它當作一個方程，繪畫直線 $$2x + y = 4$$。一個好方法是找出截距：
- 當 $$x=0$$ 時，$$y=4$$。點是 (0, 4)。
- 當 $$y=0$$ 時，$$2x=4$$，所以 $$x=2$$。點是 (2, 0)。
-
實線還是虛線？這點很重要！
- 對於 ≤ 和 ≥，使用實線（因為直線本身包含在解中）。
- 對於 < 和 >，使用虛線（因為直線是邊界，但不屬於解的一部分）。
-
繪畫正確的區域：選擇一個不在直線上的簡單測試點。點 (0, 0) 通常是最佳選擇。
將 (0, 0) 代入原不等式：$$2(0) + (0) \le 4$$，得到 $$0 \le 4$$。
這個陳述是真嗎？是的！
記憶小貼士：如果測試點為真，你就要向著該點繪畫陰影。如果為假，你則會繪畫另一側的陰影。
由於 (0, 0) 為真，我們繪畫包含原點的區域。
8.5：線性不等式組
這聽起來很複雜，但它只是指在同一組坐標軸上繪畫多個不等式。解就是所有陰影區域重疊的地方。這個重疊區域有一個特別的名稱：可行域。
例子：找出以下不等式組的可行域：
- $$x \ge 0$$
- $$y \ge 0$$
- $$x + y \le 5$$
你會繪畫所有三個不等式。
- $$x \ge 0$$ 是一條在 y 軸上的實垂直線，向右繪畫陰影。
- $$y \ge 0$$ 是一條在 x 軸上的實水平線，向上繪畫陰影。
- $$x + y \le 5$$ 是一條穿過 (5,0) 和 (0,5) 的實線，向原點繪畫陰影。
可行域就是由點 (0,0)、(5,0) 和 (0,5) 在第一象限所形成的三角形。
注意：課程大綱只要求你用圖像法解這些不等式組。這裡不需要用代數方法㗎！
8.6：解線性規劃問題
這是本章的「終極大佬」，也是所有知識匯合的地方。線性規劃是一種在給定一系列限制或規則下，找出某事物最大值或最小值的方法。
現實生活比喻：麵包師傅
想像你是一個麵包師傅，製作蛋糕 (x) 和曲奇 (y)。
- 約束條件：你的麵粉和糖是有限的。這些就是你的不等式（例如：麵粉 $$2x + 1y \le 10$$ 公斤）。你也不能製作負數的蛋糕，所以 $$x \ge 0, y \ge 0$$。
- 目標函數：你希望利潤最大化。如果每個蛋糕賺 $30 利潤，每塊曲奇賺 $10 利潤，你的目標就是將利潤 $$P = 30x + 10y$$ 最大化。
關鍵秘訣：頂點定理
這是最重要的概念：目標函數的最大值或最小值永遠都會在可行域的其中一個頂點（角點）出現。
求解逐步指南
- 定義變量：清晰說明 x 和 y 代表什麼。（例如：設 x 為蛋糕的數量...）
- 寫出約束條件：將問題的限制條件轉化為線性不等式組。
- 寫出目標函數：寫出你想最大化或最小化量的方程（例如利潤 P 或成本 C）。
- 繪畫圖像並找出可行域：繪畫你的約束條件，並將重疊區域畫上陰影。
- 找出頂點：確定你的可行域所有角點的坐標。你可能需要解聯立方程來找出兩條直線的交點。
- 測試頂點：將每個頂點的坐標代入你的目標函數。
- 得出結論：確定哪個頂點產生最大值或最小值，並用完整句子回答問題。（例如：「當製作 5 個蛋糕和 0 塊曲奇時，最大利潤是 $150。」）
你知不知道？
線性規劃在第二次世界大戰期間被開發出來，用來解決物流問題，例如如何最有效地部署軍隊和物資。今天，它到處都在被使用，從航空公司的班次編排到財務規劃和製造業！
第二部分重點摘要
- 對於二元不等式，繪畫邊界線（實線／虛線），並測試一個點來找出陰影區域。
- 可行域是所有不等式解的重疊部分。
- 在線性規劃中，最佳（最大／最小）解永遠都在可行域的一個頂點。
- 跟著七個步驟來系統性地解決線性規劃問題。
咁就講晒啦！掌握這些概念的最佳方法就是多練習。多做練習，細心畫好你的圖像，好快你就會好似專業人士咁解決這些問題㗎啦。祝你好運！