歡迎來到二次方程的世界!

哈囉!準備好提升你的代數技巧了嗎?在以往的年級,你已經是解線性方程 (例如 y = mx + c) 的高手了。現在,我們要深入學習更強大的工具:二次方程。你可以把這看作是從一件簡單工具升級為多功能工具呢!

在本章中,我們將會探索這些方程是什麼,它們如何在現實世界中出現 (從計算籃球的拋物線軌跡到設計橋樑),以及最重要的,解它們的不同方法。如果聽起來有點複雜,別擔心;我們會一步步為你拆解。現在就讓我們開始吧!

1. 到底什麼是二次方程?

首先,讓我們把定義弄清楚。一個二次方程(設未知數為 x)是指任何可以寫成以下標準形式的方程:

$$ ax^2 + bx + c = 0 $$以下是各部分的解釋:

  • x 是我們的變數或未知數。
  • a, b,c 是已知的常數,稱為係數。
  • 最重要的一條規則:'a' 不能是零 ($$a \neq 0$$)。為什麼呢?因為如果 'a' 是零,那麼 $$ax^2$$ 項就會消失,我們就只會剩下一個簡單的線性方程 ($$bx + c = 0$$)。正是 $$x^2$$ 項的存在,才使它成為「二次」方程。

二次方程的「解」通常被稱為它的。這些值是使方程成立的 x 值。

2. 解題工具箱:尋找根的 3 大關鍵方法

想像一下,你擁有一個解二次方程的工具箱。裡面有三件主要工具。選擇合適的工具能為你省下大量時間!

工具 #1:因式分解法(快速又簡潔)

這通常是最快的方法,但它只適用於那些可以輕易地進行因式分解的「漂亮」方程。

核心概念:零積性質

這個聽起來很花俏,但其實超級簡單。它只是說,如果你把兩個東西相乘,結果是零,那麼這兩個東西中至少有一個必須是零。

類比:想像你有兩個電燈開關 A 和 B,它們控制著一個燈泡。如果燈泡是熄滅的 (0),這就意味著開關 A 關了,或者開關 B 關了,或者兩個都關了。

用數學術語來說:如果 $$ (x - p)(x - q) = 0 $$,那麼不是 $$ (x - p) = 0 $$ 就是 $$ (x - q) = 0 $$。這就給了我們兩個根:$$ x = p $$ 或者 $$ x = q $$。

分步指南:
  1. 先變成標準形式! 確保你的方程是 $$ax^2 + bx + c = 0$$ 的形式。
  2. 因式分解 左邊的二次表達式。(這時你初中學到的因式分解技巧就派上用場了!)
  3. 應用零積性質。 將每個因數設為零。
  4. 這兩個簡單的線性方程,以找到你的根。
例子:

解 $$x^2 - 5x + 6 = 0$$。

步驟 1: 它已經是標準形式了。太好了!

步驟 2: 我們需要兩個數,它們相乘等於 +6,相加等於 -5。它們就是 -2 和 -3。所以,我們把它因式分解為:

$$ (x - 2)(x - 3) = 0 $$

步驟 3: 現在,我們將每個因數設為零:

$$ x - 2 = 0 \quad \text{or} \quad x - 3 = 0 $$

步驟 4: 在每種情況下解出 x

$$ x = 2 \quad \text{or} \quad x = 3 $$

就這麼簡單!根是 2 和 3。

重點提示

因式分解法是解決簡單方程的最佳幫手。在嘗試其他方法之前,總是先檢查一下能否快速地對方程進行因式分解。

工具 #2:圖解法(視覺化解)

每個二次方程 $$ax^2 + bx + c = 0$$ 都有一個對應的圖像,即 $$y = ax^2 + bx + c$$。二次函數的圖像是一條美麗的 U 形曲線,稱為拋物線

核心概念:根是 x 軸截距

解 $$ax^2 + bx + c = 0$$ 就等同於問:「對於 $$y = ax^2 + bx + c$$ 的圖像,在哪些點上 y 值等於 0?」

圖像上 y = 0 的點就是 x 軸截距——即曲線與 x 軸相交的位置!

因此,方程的根就是圖像 x 軸截距的 x 坐標。

  • 如果圖像與 x 軸相交兩次,則有兩個相異實根。
  • 如果圖像只是在一個點(頂點)接觸 x 軸,則有一個重根(或兩個相等實根)。
  • 如果圖像完全沒有碰到 x 軸,則沒有實根。
如何使用:

如果你獲提供 $$y = ax^2 + bx + c$$ 的圖像,你只需讀取拋物線與 x 軸相交處的數值,就能找到 $$ax^2 + bx + c = 0$$ 的根。

例子:

如果你繪製 $$y = x^2 - 5x + 6$$ 的圖像,你會看到拋物線在 x = 2 和 x = 3 處穿過 x 軸。這些就是我們之前找到的根!

重點提示

圖解法提供了一種視覺化的方式,讓你明白「根」到底是什麼。它們就是拋物線與「地面」(即 x 軸)相遇的點。

工具 #3:二次公式(終極武器)

如果你遇到一個無法因式分解的方程怎麼辦?或者你只是卡住了?別擔心,有一個公式可以解決你遇到的任何二次方程。它是你終極的解題武器!

公式

對於任何形式為 $$ ax^2 + bx + c = 0 $$ 的方程,其解由以下公式給出:

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$它看起來有點嚇人,但它只是一個「食譜」。按照步驟操作,你總能得到答案。$$ \pm $$ 符號表示通常有兩個解:一個是加上平方根,另一個是減去平方根。

分步指南:
  1. 標準形式! 再說一次,確保方程是 $$ax^2 + bx + c = 0$$ 的形式。
  2. 識別 a、b 和 c。 小心正負號!
  3. 代入 a、b 和 c 的數值到公式中。使用括號以避免出錯。
  4. 計算 結果。先計算平方根裡面的部分。
例子:

解 $$2x^2 + 7x - 4 = 0$$。(這個很難快速因式分解!)

步驟 1: 它已是標準形式。

步驟 2: 識別係數:

a = 2

b = 7

c = -4 (別忘了負號!)

步驟 3: 代入公式:

$$ x = \frac{-(7) \pm \sqrt{(7)^2 - 4(2)(-4)}}{2(2)} $$

步驟 4: 小心計算:

$$ x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - (-32)}}{4} $$ $$ x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4} $$ $$ x = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{4} $$ $$ x = \frac{-7 \pm 9}{4} $$

現在,我們找出兩個獨立的根:

$$ x_1 = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 $$ $$ x_2 = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4 $$

所以,根是 0.5-4

重點提示

二次公式是你最可靠的工具。它每次都有效。掌握了它,你就能解決任何二次方程。

3. 判別式:根的算命師

你有沒有注意到二次公式中,平方根號裡面的 $$b^2 - 4ac$$ 部分?這小小的一塊非常重要,它有自己的名字:判別式。它可以「判別」方程所擁有的不同類型根。

把它想成是一個算命師吧。它不用你進行完整的計算,就能告訴你未來(即根)的狀況!

我們用希臘符號 delta ($$\Delta$$) 來表示它:

$$ \Delta = b^2 - 4ac $$只要計算判別式的值,我們就能知道根的性質

它能預言的三種命運:

  1. 如果 $$\Delta > 0$$(正數):
  2. 你將會得到兩個相異實根。(拋物線在兩個不同的地方穿過 x 軸)。
  3. 如果 $$\Delta = 0$$(零):
  4. 你將會得到一個重根(或兩個相等實根)。(拋物線恰好在一個點接觸 x 軸)。
  5. 如果 $$\Delta < 0$$(負數):
  6. 你將會得到沒有實根。(拋物線完全沒有碰到 x 軸)。在這種情況下,根被稱為非實根或複數根,我們稍後會提及!

例子:

方程 $$3x^2 - 5x + 4 = 0$$ 的根的性質是什麼?

我們不需要解它!只需找出判別式。

這裡,a = 3,b = -5,c = 4。

$$ \Delta = b^2 - 4ac $$ $$ \Delta = (-5)^2 - 4(3)(4) $$ $$ \Delta = 25 - 48 $$ $$ \Delta = -23 $$

由於 $$\Delta < 0$$,這個方程沒有實根

重點提示

判別式 $$\Delta = b^2 - 4ac$$ 是一個強大的捷徑。每當問題問及「根的性質」或「有多少個根」時,就使用它吧。

4. 根的和與積:一個聰明技巧

有時,問題可能不要求你找出根本身,而是要求它們的和或積。這有一個巧妙的捷徑,它直接源於二次公式。

對於一個二次方程 $$ax^2 + bx + c = 0$$,如果其根為 αβ

  • 根的和: $$ \alpha + \beta = -\frac{b}{a} $$
  • 根的積: $$ \alpha \beta = \frac{c}{a} $$

我們如何使用這個技巧?

用途 1:從根建立方程

如果你獲給予兩個根,例如 2 和 5,你就可以建立方程。

根的和 = 2 + 5 = 7

根的積 = 2 × 5 = 10

方程總是這種形式:$$x^2 - (\text{根的和})x + (\text{根的積}) = 0$$

所以,方程是:$$x^2 - 7x + 10 = 0$$

(這通常比計算 $$(x-2)(x-5)=0$$ 更快,特別是當根是分數或根式時!)

用途 2:求表達式的值

如果 α 和 β 是 $$2x^2 - 4x - 9 = 0$$ 的根,求 $$\alpha^2 + \beta^2$$ 的值。

首先,求出根的和與積:

和:$$ \alpha + \beta = -\frac{-4}{2} = 2 $$

積:$$ \alpha\beta = \frac{-9}{2} = -4.5 $$

現在來到巧妙的部分。我們需要利用已知的資訊來表達 $$\alpha^2 + \beta^2$$。還記得恆等式 $$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$$ 嗎?

重新排列後得到:$$ \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta $$

現在代入我們找到的數值:

$$ \alpha^2 + \beta^2 = (2)^2 - 2(-4.5) $$ $$ \alpha^2 + \beta^2 = 4 - (-9) $$ $$ \alpha^2 + \beta^2 = 4 + 9 = 13 $$

重點提示

根的和與積公式對於許多文憑試(DSE)題型來說至關重要。它們讓你無需解出根本身,就能找到根之間的關係。

5. 解決現實世界問題

二次方程在許多現實生活中都會出現。關鍵在於將文字問題轉化為數學方程。

一般策略:
  1. 閱讀與理解: 問題要求什麼?
  2. 定義變數:x 為未知量(例如,花園的闊度、某個數字等)。
  3. 建立方程: 利用問題中給予的資訊來寫出一個二次方程。
  4. 解方程: 使用最佳方法(因式分解法、公式法)。
  5. 檢查你的答案: 你的解在問題的語境中合理嗎?例如,長度不可能是負數!如果你得到兩個根,像是 x = 5 和 x = -2 代表長度,你必須捨棄負數的那個。

例子:

一個長方形公園的長度比闊度長 3 米。其面積為 40 平方米。求公園的尺寸。

步驟 1 & 2: 設闊度為 x 米。那麼長度就是 (x + 3) 米。

步驟 3: 面積 = 長度 × 闊度。所以,

$$ 40 = (x+3)x $$ $$ 40 = x^2 + 3x $$ $$ x^2 + 3x - 40 = 0 $$

步驟 4: 解方程。我們嘗試因式分解。我們需要兩個數,它們相乘等於 -40,相加等於 +3。它們就是 +8 和 -5。

$$ (x+8)(x-5) = 0 $$ 所以,$$ x = -8 $$ 或 $$ x = 5 $$。

步驟 5: 檢查。由於 x 代表公園的闊度,它不可能是負數。我們捨棄 x = -8。唯一有效的解是 x = 5

因此,闊度是 5 米,長度是 5 + 3 = 8 米。