M2 章節:行列式 - 你嘅終極溫習指南!

大家好!歡迎嚟到行列式嘅溫習筆記。你可能好奇:「到底咩係行列式呢?」唔使擔心,佢並冇聽落咁恐怖!

你可以將行列式想像成一個特別嘅神秘數字,我哋可以從任何方陣(例如 2x2 或 3x3 嘅數字方格)計算出嚟。呢個單一嘅數字非常強大。佢可以話畀我哋知一個線性方程組係咪有唯一解、幫我哋搵到三角形嘅面積,以及更多用途。喺呢一章,我哋將會解開點樣搵到呢個數字同埋運用佢嘅力量嘅秘密!


咩係行列式?基本概念

行列式係一個純量值(只係一個單一數字),由方陣嘅元素計算出嚟。

重點:

  • 行列式只適用於方陣(例如 2x2、3x3 等)。你唔可以搵一個非方陣(例如 2x3)嘅行列式。
  • 矩陣 A 嘅行列式記法有兩種:det(A)|A|
常見錯誤提示!

當你見到 |A| 嘅時候,佢嘅意思係「矩陣 A 嘅行列式」。佢唔係指矩陣嘅絕對值。呢個係一個好常見嘅混淆點,所以要小心!


二階行列式 (2x2 矩陣)

呢個係所有其他內容嘅基礎,所以一定要搞清楚!佢超簡單㗎。

對於一般嘅 2x2 矩陣 A:

$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$

行列式嘅計算方法係:將主對角線(左上到右下)嘅元素相乘,然後減去副對角線(右上到左下)元素嘅乘積。

公式:

$$ \text{det}(A) = |A| = ad - bc $$
記憶法:「落山 - 上山」法則

想像你喺個矩陣上面滑雪。

  1. 將「落山」斜線(↘)上嘅數字相乘:$$ a \times d $$
  2. 將「上山」斜線(↗)上嘅數字相乘:$$ b \times c $$
  3. 計算:落山減上山

逐步示範:

搵矩陣 B 嘅行列式:

$$ B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} $$
  1. 識別 a, b, c, d:喺呢度,a=4, b=2, c=1, d=3。
  2. 「落山」乘積 (ad): $$ 4 \times 3 = 12 $$
  3. 「上山」乘積 (bc): $$ 2 \times 1 = 2 $$
  4. 相減: $$ \text{det}(B) = 12 - 2 = 10 $$

所以,行列式係 10。睇吓?都唔係咁難吖!

重點提示

對於 2x2 矩陣 $$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$,行列式永遠都係 ad - bc


三階行列式 (3x3 矩陣)

而家我哋要提升到 3x3 矩陣啦。個過程會長少少,但只係多幾步啫。就算一開始覺得有啲難都唔使擔心;我哋會將佢分解成一個清晰、可重複嘅步驟。有兩種常用方法。

方法一:餘子式展開法(嚴謹方法)

呢個方法適用於任何大小嘅方陣,亦係最可靠嘅學習方法。佢嘅理念係將 3x3 嘅問題分解成較小嘅 2x2 問題。

符號棋盤

首先,你需要知道 3x3 矩陣嘅「符號棋盤」。佢總係喺左上角以「+」號開始。

$$ \begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix} $$

我哋會喺計算中用到呢啲符號。為咗簡單起見,我哋總係沿第一行展開。所以,我哋會用到嘅符號係:+-+

逐步計算過程:

我哋嚟搵下矩陣 C 嘅行列式:

$$ C = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & 7 \\ 4 & 6 & 2 \end{pmatrix} $$

我哋將沿第一行(元素 1、5、3)展開。

  1. 第一個元素 (1):
    • 嚟自符號棋盤嘅符號係 +
    • 遮住包含 1 嘅行同列。
    • $$ \begin{pmatrix} \Box & \Box & \Box \\ \Box & 4 & 7 \\ \Box & 6 & 2 \end{pmatrix} $$
    • 搵剩低 2x2 矩陣嘅行列式(呢個叫做「餘子式」): $$ | \begin{smallmatrix} 4 & 7 \\ 6 & 2 \end{smallmatrix} | = (4)(2) - (7)(6) = 8 - 42 = -34 $$
    • 我哋答案嘅第一部分係: $$ \mathbf{(+1)} \times (-34) = -34 $$

  2. 第二個元素 (5):
    • 嚟自符號棋盤嘅符號係 -
    • 遮住包含 5 嘅行同列。
    • $$ \begin{pmatrix} \Box & \Box & \Box \\ 2 & \Box & 7 \\ 4 & \Box & 2 \end{pmatrix} $$
    • 搵餘子式嘅行列式: $$ | \begin{smallmatrix} 2 & 7 \\ 4 & 2 \end{smallmatrix} | = (2)(2) - (7)(4) = 4 - 28 = -24 $$
    • 我哋答案嘅第二部分係: $$ \mathbf{(-5)} \times (-24) = 120 $$

  3. 第三個元素 (3):
    • 嚟自符號棋盤嘅符號係 +
    • 遮住包含 3 嘅行同列。
    • $$ \begin{pmatrix} \Box & \Box & \Box \\ 2 & 4 & \Box \\ 4 & 6 & \Box \end{pmatrix} $$
    • 搵餘子式嘅行列式: $$ | \begin{smallmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 6 \end{smallmatrix} | = (2)(6) - (4)(4) = 12 - 16 = -4 $$
    • 我哋答案嘅第三部分係: $$ \mathbf{(+3)} \times (-4) = -12 $$

  4. 匯總結果:

    而家,只需將呢三部分加埋一齊。

    $$ \text{det}(C) = -34 + 120 - 12 = 74 $$

行列式係 74。關鍵係要慢慢計,小心算術!

方法二:薩魯斯法則 (3x3 捷徑)

呢個係一個視覺化嘅捷徑,但只適用於 3x3 矩陣。好多同學都覺得佢更加簡單同快速。

逐步計算過程:

我哋用返同一個矩陣 C:

$$ C = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & 7 \\ 4 & 6 & 2 \end{pmatrix} $$
  1. 複製前兩列並將佢哋寫喺矩陣嘅右邊。 $$ \begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & 7 \\ 4 & 6 & 2 \end{pmatrix} \begin{matrix} 1 & 5 \\ 2 & 4 \\ 4 & 6 \end{matrix} $$
  2. 將三條「落山」對角線(↘)上嘅數字相乘並加埋一齊。
    • 綠色: $$ (1 \times 4 \times 2) = 8 $$
    • 藍色: $$ (5 \times 7 \times 4) = 140 $$
    • 紅色: $$ (3 \times 2 \times 6) = 36 $$
    • 「落山」乘積之和: $$ 8 + 140 + 36 = 184 $$
  3. 將三條「上山」對角線(↗)上嘅數字相乘並加埋一齊。
    • 綠色: $$ (4 \times 4 \times 3) = 48 $$
    • 藍色: $$ (6 \times 7 \times 1) = 42 $$
    • 紅色: $$ (2 \times 2 \times 5) = 20 $$
    • 「上山」乘積之和: $$ 48 + 42 + 20 = 110 $$
  4. 相減兩個總和: (「落山」乘積之和) - (「上山」乘積之和) $$ \text{det}(C) = 184 - 110 = 74 $$

我哋得到相同嘅答案,都係 74

重點提示

對於 3x3 矩陣,你有兩個選擇:

  • 餘子式展開法:嚴謹嘅方法。佢有系統性而且總係有效。
  • 薩魯斯法則:一個快速嘅視覺捷徑,但要記住佢只適用於 3x3 矩陣

兩種方法都練習下,睇吓你鍾意用邊種!


行列式嘅性質同應用

好啦,我哋識得計算呢個數字啦。但係佢到底有咩呢?行列式有啲非常重要嘅性質同用途,尤其係用嚟解方程組。

主要性質

  1. 乘積嘅行列式:

    兩個矩陣乘積嘅行列式,等於佢哋各自行列式嘅乘積。呢個係一個超級有用嘅性質!

    $$ \mathbf{|AB| = |A||B|} $$
  2. 奇異矩陣同非奇異矩陣:

    呢個係本章最重要嘅概念。

    • 如果 det(A) = 0,矩陣 A 叫做奇異矩陣。呢個代表由矩陣所表示嘅方程組並唯一解。
    • 如果 det(A) ≠ 0,矩陣 A 叫做非奇異矩陣。呢個代表存在唯一解。
你知道嗎?

從幾何學上嚟講,2x2 矩陣行列式嘅絕對值代表由佢嘅列向量組成嘅平行四邊形面積。對於 3x3 矩陣,佢代表平行六面體嘅體積!佢話你知一個變換(或轉換)會點樣改變面積或體積。

應用:克萊默法則

克萊默法則係一個直接利用行列式嚟解線性方程組嘅公式。佢睇落好似好複雜,但其實只係一個照住做嘅步驟嚟㗎。佢只適用於方程組有唯一解嘅情況,即係話係數矩陣嘅行列式必須唔係零!

2x2 系統嘅克萊默法則

考慮以下方程組:

$$ a_1x + b_1y = c_1 $$ $$ a_2x + b_2y = c_2 $$
  1. 搵 D,即係係數矩陣嘅行列式。 $$ D = \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right| $$
  2. 搵 Dx將 x 列(即係「a」嗰啲)替換為常數(即係「c」嗰啲)。 $$ D_x = \left| \begin{matrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{matrix} \right| $$
  3. 搵 Dy將 y 列(即係「b」嗰啲)替換為常數。 $$ D_y = \left| \begin{matrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{matrix} \right| $$
  4. 解 x 同 y。 $$ \mathbf{x = \frac{D_x}{D}} \quad \text{and} \quad \mathbf{y = \frac{D_y}{D}} \quad (\text{條件係 } D \neq 0) $$
3x3 系統嘅克萊默法則

佢都係完全一樣嘅概念,只係計算多啲啫。對於一個有變數 x、y 同 z 嘅系統:

  1. D 係 3x3 係數矩陣嘅行列式。
  2. Dx 係將 x 列替換為常數嘅矩陣行列式。
  3. Dy 係將 y 列替換為常數嘅矩陣行列式。
  4. Dz 係將 z 列替換為常數嘅矩陣行列式。
  5. 解為: $$ \mathbf{x = \frac{D_x}{D}}, \quad \mathbf{y = \frac{D_y}{D}}, \quad \mathbf{z = \frac{D_z}{D}} \quad (\text{條件係 } D \neq 0) $$

逐步示範 (2x2):

用克萊默法則解以下方程組:

$$ 2x + 3y = 7 $$ $$ x - 4y = -2 $$
  1. 搵 D: $$ D = \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & -4 \end{matrix} \right| = (2)(-4) - (3)(1) = -8 - 3 = -11 $$ 由於 D ≠ 0,所以存在唯一解!
  2. 搵 Dx $$ D_x = \left| \begin{matrix} 7 & 3 \\ -2 & -4 \end{matrix} \right| = (7)(-4) - (3)(-2) = -28 - (-6) = -22 $$
  3. 搵 Dy $$ D_y = \left| \begin{matrix} 2 & 7 \\ 1 & -2 \end{matrix} \right| = (2)(-2) - (7)(1) = -4 - 7 = -11 $$
  4. 解: $$ x = \frac{D_x}{D} = \frac{-22}{-11} = 2 $$ $$ y = \frac{D_y}{D} = \frac{-11}{-11} = 1 $$

解係 x=2, y=1。你可以將呢啲值代返入原始方程嚟驗證㗎!


章節總結

你搞掂啦!等我哋快速重溫一下。

  • 行列式係一個從方陣計算出嚟嘅特別數字,記作 det(A)|A|
  • 對於 2x2 矩陣,行列式係 ad - bc
  • 對於 3x3 矩陣,你可以用餘子式展開法薩魯斯法則嘅捷徑。
  • 如果 det(A) = 0,該矩陣係奇異嘅,而相關嘅方程組冇唯一解。
  • 克萊默法則利用行列式提供咗一個直接公式嚟解線性方程組。

行列式係代數入面一個基本嘅工具。而家掌握好計算,會令到之後嘅課題容易好多。繼續練習,好快你就會變成高手㗎啦!加油!