M2 章節：行列式 - 您的終極溫習指南！
大家好！歡迎來到行列式的溫習筆記。您可能好奇：「究竟什麼是行列式呢？」不用擔心，它並沒有聽起來那麼恐怖！
您可以將行列式想像成一個特別的神秘數字，我們可以從任何方陣（例如 2x2 或 3x3 的數字方格）計算出來。這個單一的數字非常強大。它可以告訴我們一個線性方程組是否有唯一解、幫助我們找到三角形的面積，以及更多用途。在這一章，我們將會解開如何找到這個數字以及運用它的力量的秘密！
什麼是行列式？基本概念
行列式是一個純量值（只是一個單一數字），由方陣的元素計算出來。
重點：
- 行列式只適用於方陣（例如 2x2、3x3 等）。您不能找到一個非方陣（例如 2x3）的行列式。
- 矩陣 A 的行列式記法有兩種：det(A) 或 |A|。
常見錯誤提示！
當您見到 |A| 的時候，它的意思是「矩陣 A 的行列式」。它不是指矩陣的絕對值。這是一個很常見的混淆點，所以要小心！
二階行列式 (2x2 矩陣)
這是所有其他內容的基礎，所以一定要搞清楚！它超級簡單。
對於一般的 2x2 矩陣 A：
$$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$行列式的計算方法是：將主對角線（左上到右下）的元素相乘，然後減去副對角線（右上到左下）元素的乘積。
公式：
$$ \text{det}(A) = |A| = ad - bc $$記憶法：「落山 - 上山」法則
想像您在矩陣上面滑雪。
- 將「落山」斜線（↘）上的數字相乘：$$ a \times d $$
- 將「上山」斜線（↗）上的數字相乘：$$ b \times c $$
- 計算：落山減上山
逐步示範：
找出矩陣 B 的行列式：
$$ B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} $$- 識別 a, b, c, d：在這裡，a=4, b=2, c=1, d=3。
- 「落山」乘積 (ad)： $$ 4 \times 3 = 12 $$
- 「上山」乘積 (bc)： $$ 2 \times 1 = 2 $$
- 相減： $$ \text{det}(B) = 12 - 2 = 10 $$
所以，行列式是 10。看？這也不是那麼難吧！
重點提示
對於 2x2 矩陣 $$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$，行列式永遠都是 ad - bc。
三階行列式 (3x3 矩陣)
現在我們要提升到 3x3 矩陣了。這個過程會長一些，但只是多幾步而已。就算一開始覺得有些難也不用擔心；我們會將它分解成一個清晰、可重複的步驟。有兩種常用方法。
方法一：餘子式展開法（嚴謹方法）
這個方法適用於任何大小的方陣，也是最可靠的學習方法。它的理念是將 3x3 的問題分解成較小的 2x2 問題。
符號棋盤
首先，您需要知道 3x3 矩陣的「符號棋盤」。它總是在左上角以「+」號開始。
$$ \begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix} $$我們會在計算中用到這些符號。為了簡單起見，我們總是沿第一行展開。所以，我們會用到的符號是：+、-、+。
逐步計算過程：
我們來找出矩陣 C 的行列式：
$$ C = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & 7 \\ 4 & 6 & 2 \end{pmatrix} $$我們將沿第一行（元素 1、5、3）展開。
- 第一個元素 (1)：
- 來自符號棋盤的符號是 +。
- 遮住包含 1 的行和列。 $$ \begin{pmatrix} \Box & \Box & \Box \\ \Box & 4 & 7 \\ \Box & 6 & 2 \end{pmatrix} $$
- 找出剩下 2x2 矩陣的行列式（這個叫做「餘子式」）： $$ | \begin{smallmatrix} 4 & 7 \\ 6 & 2 \end{smallmatrix} | = (4)(2) - (7)(6) = 8 - 42 = -34 $$
- 我們答案的第一部分是： $$ \mathbf{(+1)} \times (-34) = -34 $$
- 第二個元素 (5)：
- 來自符號棋盤的符號是 -。
- 遮住包含 5 的行和列。 $$ \begin{pmatrix} \Box & \Box & \Box \\ 2 & \Box & 7 \\ 4 & \Box & 2 \end{pmatrix} $$
- 找出餘子式的行列式： $$ | \begin{smallmatrix} 2 & 7 \\ 4 & 2 \end{smallmatrix} | = (2)(2) - (7)(4) = 4 - 28 = -24 $$
- 我們答案的第二部分是： $$ \mathbf{(-5)} \times (-24) = 120 $$
- 第三個元素 (3)：
- 來自符號棋盤的符號是 +。
- 遮住包含 3 的行和列。 $$ \begin{pmatrix} \Box & \Box & \Box \\ 2 & 4 & \Box \\ 4 & 6 & \Box \end{pmatrix} $$
- 找出餘子式的行列式： $$ | \begin{smallmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 6 \end{smallmatrix} | = (2)(6) - (4)(4) = 12 - 16 = -4 $$
- 我們答案的第三部分是： $$ \mathbf{(+3)} \times (-4) = -12 $$
- 匯總結果：
現在，只需將這三部分加在一起。
$$ \text{det}(C) = -34 + 120 - 12 = 74 $$
行列式是 74。關鍵是要慢慢計算，小心算術！
方法二：薩魯斯法則 (3x3 捷徑)
這是一個視覺化的捷徑，但只適用於 3x3 矩陣。許多同學都覺得它更加簡單和快速。
逐步計算過程：
我們用回同一個矩陣 C：
$$ C = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & 7 \\ 4 & 6 & 2 \end{pmatrix} $$- 複製前兩列並將它們寫在矩陣的右邊。 $$ \begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & 7 \\ 4 & 6 & 2 \end{pmatrix} \begin{matrix} 1 & 5 \\ 2 & 4 \\ 4 & 6 \end{matrix} $$
- 將三條「落山」對角線（↘）上的數字相乘並加在一起。
- 綠色： $$ (1 \times 4 \times 2) = 8 $$
- 藍色： $$ (5 \times 7 \times 4) = 140 $$
- 紅色： $$ (3 \times 2 \times 6) = 36 $$
- 「落山」乘積之和： $$ 8 + 140 + 36 = 184 $$
- 將三條「上山」對角線（↗）上的數字相乘並加在一起。
- 綠色： $$ (4 \times 4 \times 3) = 48 $$
- 藍色： $$ (6 \times 7 \times 1) = 42 $$
- 紅色： $$ (2 \times 2 \times 5) = 20 $$
- 「上山」乘積之和： $$ 48 + 42 + 20 = 110 $$
- 相減兩個總和： （「落山」乘積之和） - （「上山」乘積之和） $$ \text{det}(C) = 184 - 110 = 74 $$
我們得到相同的答案，都是 74！
重點提示
對於 3x3 矩陣，您有兩個選擇：
- 餘子式展開法：嚴謹的方法。它有系統性而且總是有效。
- 薩魯斯法則：一個快速的視覺捷徑，但要記住它只適用於 3x3 矩陣。
兩種方法都練習一下，看看您喜歡用哪種！
行列式的性質與應用
好了，我們懂得計算這個數字了。但是它到底有什麼用呢？行列式有一些非常重要的性質與用途，尤其是用來解方程組。
主要性質
- 乘積的行列式：
兩個矩陣乘積的行列式，等於它們各自行列式的乘積。這是一個超級有用的性質！
$$ \mathbf{|AB| = |A||B|} $$ - 奇異矩陣與非奇異矩陣：
這是本章最重要的概念。
- 如果 det(A) = 0，矩陣 A 叫做奇異矩陣。這代表由矩陣所表示的方程組並沒有唯一解。
- 如果 det(A) ≠ 0，矩陣 A 叫做非奇異矩陣。這代表存在唯一解。
您知道嗎？
從幾何學上來說，2x2 矩陣行列式的絕對值代表由它的列向量組成的平行四邊形面積。對於 3x3 矩陣，它代表平行六面體的體積！它告訴您一個變換（或轉換）會怎樣改變面積或體積。
應用：克萊默法則
克萊默法則是一個直接利用行列式來解線性方程組的公式。它看起來好像很複雜，但其實只是一個照著做的步驟而已。它只適用於方程組有唯一解的情況，也就是說係數矩陣的行列式必須不是零！
2x2 系統的克萊默法則
考慮以下方程組：
$$ a_1x + b_1y = c_1 $$$$ a_2x + b_2y = c_2 $$- 找出 D，即係數矩陣的行列式。 $$ D = \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right| $$
- 找出 Dx。將 x 列（即「a」那些）替換為常數（即「c」那些）。 $$ D_x = \left| \begin{matrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{matrix} \right| $$
- 找出 Dy。將 y 列（即「b」那些）替換為常數。 $$ D_y = \left| \begin{matrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{matrix} \right| $$
- 解 x 與 y。 $$ \mathbf{x = \frac{D_x}{D}} \quad \text{and} \quad \mathbf{y = \frac{D_y}{D}} \quad (\text{條件是 } D \neq 0) $$
3x3 系統的克萊默法則
它也是完全一樣的概念，只是計算多一些而已。對於一個有變數 x、y 與 z 的系統：
- D 是 3x3 係數矩陣的行列式。
- Dx 是將 x 列替換為常數的矩陣行列式。
- Dy 是將 y 列替換為常數的矩陣行列式。
- Dz 是將 z 列替換為常數的矩陣行列式。
- 解為： $$ \mathbf{x = \frac{D_x}{D}}, \quad \mathbf{y = \frac{D_y}{D}}, \quad \mathbf{z = \frac{D_z}{D}} \quad (\text{條件是 } D \neq 0) $$
逐步示範 (2x2)：
用克萊默法則解以下方程組：
$$ 2x + 3y = 7 $$$$ x - 4y = -2 $$- 找出 D： $$ D = \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & -4 \end{matrix} \right| = (2)(-4) - (3)(1) = -8 - 3 = -11 $$ 由於 D ≠ 0，所以存在唯一解！
- 找出 Dx： $$ D_x = \left| \begin{matrix} 7 & 3 \\ -2 & -4 \end{matrix} \right| = (7)(-4) - (3)(-2) = -28 - (-6) = -22 $$
- 找出 Dy： $$ D_y = \left| \begin{matrix} 2 & 7 \\ 1 & -2 \end{matrix} \right| = (2)(-2) - (7)(1) = -4 - 7 = -11 $$
- 解： $$ x = \frac{D_x}{D} = \frac{-22}{-11} = 2 $$ $$ y = \frac{D_y}{D} = \frac{-11}{-11} = 1 $$
解是 x=2, y=1。您可以將這些值代回原始方程來驗證！
章節總結
您完成了！讓我們快速重溫一下。
- 行列式是一個從方陣計算出來的特別數字，記作 det(A) 或 |A|。
- 對於 2x2 矩陣，行列式是 ad - bc。
- 對於 3x3 矩陣，您可以用餘子式展開法或薩魯斯法則的捷徑。
- 如果 det(A) = 0，該矩陣是奇異的，而相關的方程組沒有唯一解。
- 克萊默法則利用行列式提供了一個直接公式來解線性方程組。
行列式是代數裡面一個基本的工具。現在掌握好計算，會讓之後的課題容易許多。繼續練習，很快您就會變成高手了！加油！