三角函數進階:你的M2學習指南

大家好!歡迎來到進階三角函數這個奇妙的世界。你可能曾以為三角函數只與三角形有關,但它遠不止於此!它是波浪、循環和振動的語言,從音樂工程到橋樑建造,再到電玩遊戲開發,無處不在。

在本章中,我們將提升我們的技巧。我們會學習一種新的角度量度方式,認識三個新的三角函數,並掌握一套對微積分至關重要的新公式。即使一開始看起來內容很多,也請不用擔心——我們會將所有內容拆解成簡單易懂、循序漸進的步驟。現在就讓我們開始吧!




1. 角度的新量度方式:弧度

你習慣了用來量度角度,其中一個圓周是360°。現在,讓我們認識弧度,這是數學家和科學家(特別是在微積分中)喜愛的角度量度方式。

到底什麼是弧度?

想像一個半徑為 r 的圓。一個弧度是指,當你將半徑的長度沿著圓的邊緣(弧)鋪開時所形成的角。

類比:想像一下薄餅(Pizza)。如果你的薄餅片上,餅皮的長度與從尖端到餅皮的長度(半徑)完全相同,那麼你這片薄餅的角度就是1弧度!

正式定義為: $$ \theta (\text{以弧度表示}) = \frac{\text{弧長}(s)}{\text{半徑}(r)} $$

由於整個圓的圓周長是 $$2\pi r$$,所以整個圓的弧度角是 $$ \frac{2\pi r}{r} = 2\pi $$。這給了我們轉換的黃金法則:

關鍵換算: $$ \pi \text{ 弧度} = 180^\circ $$

度與弧度之間的轉換

這是你必須掌握的技巧。只需記住關鍵的換算公式!

將度轉換為弧度:將角度乘以 $$ \frac{\pi}{180^\circ} $$

例子:將60°轉換為弧度。

$$ 60^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \text{ 弧度} $$

將弧度轉換為度:將角度乘以 $$ \frac{180^\circ}{\pi} $$

例子:將 $$ \frac{3\pi}{4} $$ 弧度轉換為度。

$$ \frac{3\pi}{4} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{3 \times 180^\circ}{4} = 3 \times 45^\circ = 135^\circ $$

快速溫習:常用角
  • $$ 30^\circ = \frac{\pi}{6} $$
  • $$ 45^\circ = \frac{\pi}{4} $$
  • $$ 60^\circ = \frac{\pi}{3} $$
  • $$ 90^\circ = \frac{\pi}{2} $$
  • $$ 180^\circ = \pi $$
  • $$ 360^\circ = 2\pi $$
你知道嗎?

在微積分中,所有三角函數的微分和積分公式(例如 $$(\sin x)' = \cos x$$)只有當角度x以弧度表示時才成立!這就是為什麼弧度在高等數學中如此重要。

弧度的重點總結

弧度是另一種量度角度的方式,基於圓的半徑。最重要的是要記住換算因子:$$ \pi \text{ 弧度} = 180^\circ $$。熟練掌握這兩種單位之間的轉換!




2. 倒數函數:餘割、正割和餘切

你已經認識「三大」基本三角函數:正弦、餘弦和正切。現在,讓我們認識它們的倒數函數。它們聽起來可能很花俏,但只是你已知函數的「1除以」版本。

定義

餘割 (csc):正弦的倒數。 $$ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $$

正割 (sec):餘弦的倒數。 $$ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $$

餘切 (cot):正切的倒數。 $$ \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $$

記憶小貼士!

哪個函數與哪個配對,很容易混淆。這裡有個小技巧:
看看新函數名稱的第三個字母

  • cosecant ($$\csc$$) 與 sine ($$\sin$$) 配對。
  • secant ($$\sec$$) 與 cosine ($$\cos$$) 配對。
  • cotangent ($$\cot$$) 與 tangent ($$\tan$$) 配對。

新的畢氏恆等式

你應該會記得基本恆等式:$$ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $$。我們可以用它來推導兩個課程大綱要求你掌握的新恆等式。

1. 推導正割-正切恆等式:
從 $$ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $$ 開始。現在,將每一項除以 $$ \cos^2\theta $$。 $$ \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} $$ 這簡化為: $$ \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta $$

2. 推導餘割-餘切恆等式:
從 $$ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $$ 開始。這次,將每一項除以 $$ \sin^2\theta $$。 $$ \frac{\sin^2\theta}{\sin^2\theta} + \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \frac{1}{\sin^2\theta} $$ 這簡化為: $$ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $$

快速溫習:三個畢氏恆等式
  • $$ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $$
  • $$ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $$
  • $$ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $$

這些對於簡化複雜的三角函數算式非常有用!

倒數函數的重點總結

餘割正割餘切分別是正弦、餘弦和正切的倒數。記住它們的定義和兩個新的畢氏恆等式。它們是簡化算式的重要工具。




3. 角度相加和相減:複角公式

$$ \sin(A+B) $$ 的值是多少?一個常見的錯誤是認為它只是 $$ \sin A + \sin B $$。讓我們證明這是錯的:

設 A=30° 和 B=60°。
$$ \sin(30^\circ+60^\circ) = \sin(90^\circ) = 1 $$。
但 $$ \sin(30^\circ) + \sin(60^\circ) = 0.5 + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 1.366 $$。
它們不相等!

要找到正確答案,我們需要複角公式。這些是你的考試必考公式。

公式列表:複角公式
  • $$ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $$ (中間的符號保持不變。)

  • $$ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $$ (中間的符號是相反的!)

  • $$ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $$ (上面的符號相同,下面的符號相反。)

如何使用它們:逐步教學

例子:不用計算器求 $$ \sin(75^\circ) $$ 的精確值。

步驟1:將角分解為兩個你知道三角函數值的「特殊角」(例如30°、45°、60°)。

我們可以寫 $$ 75^\circ = 45^\circ + 30^\circ $$。

步驟2:選擇正確的複角公式。

我們需要 $$ \sin(A+B) $$,所以我們使用 $$ \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $$。

步驟3:代入你的角度和它們的已知值。

$$ \sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) $$ $$ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) $$

步驟4:簡化算式。

$$ = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} $$

複角公式的重點總結

這些公式讓你能夠求出和角或差角的三角函數值。記住這三個主要公式,並密切注意符號($$\pm$$ 和 $$\mp$$)。




4. 倍增技巧:倍角公式

倍角公式只是複角公式的一個特殊情況,即A = B。它們非常實用,因此有了自己的專屬名稱!

公式推導

讓我們求 $$ \sin(2A) $$。我們使用 $$ \sin(A+B) $$ 並設定 B = A。

$$ \sin(2A) = \sin(A+A) = \sin A \cos A + \cos A \sin A = 2\sin A \cos A $$

很簡單,對吧?讓我們對餘弦和正切也這樣做。

公式列表:倍角公式
  • $$ \sin(2A) = 2\sin A \cos A $$

  • $$ \cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A $$ 這個還有兩個非常有用的形式!通過代入 $$ \cos^2 A = 1 - \sin^2 A $$ 或 $$ \sin^2 A = 1 - \cos^2 A $$,我們得到:
    • $$ \cos(2A) = 1 - 2\sin^2 A $$
    • $$ \cos(2A) = 2\cos^2 A - 1 $$
    (小提示:選擇最能幫助你簡化問題的版本!)

  • $$ \tan(2A) = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A} $$

從倍角公式到降冪公式

通過重新整理 $$ \cos(2A) $$ 的公式,我們可以得到 $$ \sin^2 A $$ 和 $$ \cos^2 A $$ 的算式。這些對於微積分(特別是積分!)非常重要。課程大綱要求你掌握它們。

公式列表:降冪公式
  • 從 $$ \cos(2A) = 1 - 2\sin^2 A \implies \sin^2 A = \frac{1}{2}(1 - \cos(2A)) $$

  • 從 $$ \cos(2A) = 2\cos^2 A - 1 \implies \cos^2 A = \frac{1}{2}(1 + \cos(2A)) $$
倍角公式的重點總結

這些是求倍增角度(例如 $$ \theta \to 2\theta $$)三角函數值的捷徑。掌握 $$ \cos(2A) $$ 的三種形式以及推導出的降冪公式,因為它們是重要的解題工具。




5. 算式變換:積化和差與和差化積

最後這兩組公式可能看起來有些望而生畏,但它們只是用於改變三角函數算式「形式」的工具。有時候用和(或差)來處理比較容易,有時候用積來處理則更佳。這些公式讓你在兩者之間進行切換。

積化和差公式

使用這些公式將正弦/餘弦函數的轉換為和或差

  • $$ 2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B) $$
  • $$ 2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B) $$
  • $$ 2\sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B) $$ (小心這一個!順序是A-B,然後是A+B)。

例子:將 $$ 2\sin(4x)\cos(2x) $$ 表達為和的形式。

使用第一個公式,其中A=4x和B=2x:

$$ 2\sin(4x)\cos(2x) = \sin(4x+2x) + \sin(4x-2x) = \sin(6x) + \sin(2x) $$

和差化積公式

使用這些公式將和或差轉換為的形式。

  • $$ \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $$

  • $$ \sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $$

  • $$ \cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $$

  • $$ \cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $$ (注意最後一個公式的負號!)

例子:將 $$ \cos(7\theta) + \cos(\theta) $$ 表達為積的形式。

使用第三個公式,其中A=7θ和B=θ:

$$ \cos(7\theta) + \cos(\theta) = 2\cos\left(\frac{7\theta+\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{7\theta-\theta}{2}\right) = 2\cos(4\theta)\cos(3\theta) $$

變換公式的重點總結

這些公式都是關於改變算式的形式。你不需要在考試中推導它們,但你需要認清何時使用以及如何正確應用它們。練習時請把這個列表放在手邊!