M2 章節:線性方程組 — 你的學習攻略!
各位同學好!歡迎來到M2其中一個最實用的課題——線性方程組的學習筆記。別讓這名字嚇倒你。歸根結底,本章的重點是找出直線或平面的相交點。這就像偵探一樣,要找出一個同時滿足所有線索(方程)的地點!
為什麼這很重要?這不僅是抽象數學。它是從全球定位系統(GPS)定位你的手機,到經濟學家建立市場模型,再到工程師設計複雜結構等所有領域的基礎。學完本指南,你將會掌握三種強大的方法來求解這些方程組:逆矩陣法、克萊默法則,以及超級多功能高斯消去法。
是時候深入探討並解開謎團了!
第一部分:基礎知識 — 我們在解甚麼?
什麼是線性方程組?
線性方程是一個簡單的方程,其中變數的指數為一,例如 $$2x + 3y = 7$$。一個線性方程組只是一組包含兩個或更多線性方程的集合,我們希望同時求解它們。我們的目標是找到變數(例如x、y和z)的值,使系統中所有方程都成立。
類比時間!想像你有兩個朋友給你方向。
- 朋友甲說:「我站在『大街』上。」(這就像一個方程:y = '大街')
- 朋友乙說:「我站在『公園大道』上。」(這是第二個方程:x = '公園大道')
這個方程組的解就是同時滿足這兩個線索的唯一地點:大街和公園大道的交界處。這就是唯一解!
三種可能性
當你求解一個線性方程組時,只有三種可能的結果。將它們想像成相交的直線(對於2個變數)或平面(對於3個變數會很有幫助)。
- 唯一解:直線或平面在單一點相交。這是你最常見到的情況。
- 無窮多解:直線實際上是同一條直線,或者平面沿著共同的直線相交。該直線上的任何一點都是解!
- 無解:直線平行且永不相交,或者平面平行(或以某種方式排列,使其永不共享一個共同點)。
將方程組寫成矩陣形式:AX = B
為了使用我們M2的酷炫方法,我們首先需要將方程轉換為矩陣語言。我們將方程組寫成 $$AX = B$$ 的形式。
例子:考慮以下方程組:
$$ \begin{cases} 2x + 4y = 10 \\ 3x - y = 5 \end{cases} $$我們可以將它寫成:
$$ \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix} $$其中:
- A 是係數矩陣(變數前面的數字)。
- X 是變數矩陣。
- B 是常數矩陣(等號另一邊的數字)。
重點摘要
線性方程組是一組我們同時求解的方程。解可以是唯一的、無限的,或不存在的。我們可以將任何方程組簡潔地表示為矩陣形式 $$AX=B$$,這是我們接下來兩種方法的起點。
第二部分:方法一 — 逆矩陣法
這種方法優雅而強大,但它附帶一個條件:它只適用於具有唯一解的方程組。我們如何知道一個方程組是否有唯一解?透過檢查係數矩陣A的行列式!
快速回顧:行列式
請記住,一個方塊矩陣有一個特殊值,稱為它的行列式,寫作 $$|A|$$ 或 $$det(A)$$。一個矩陣只有在它的行列式不為零($$|A| \neq 0$$)時才存在逆矩陣。這樣的矩陣稱為非奇異矩陣。
運算邏輯
如果我們有 $$AX = B$$,我們可以透過將方程兩邊同時乘以A的逆矩陣 $$A^{-1}$$ 來求解X。
$$ A^{-1}(AX) = A^{-1}B $$ $$ (A^{-1}A)X = A^{-1}B $$ $$ IX = A^{-1}B \quad \text{(因為 } A^{-1}A = I \text{,即單位矩陣)} $$ $$ X = A^{-1}B $$所以,解只是係數矩陣的逆矩陣與常數矩陣相乘的結果!
分步指南
- 將方程組寫成矩陣形式 $$AX=B$$。
- 計算A的行列式,$$|A|$$。
- 如果 $$|A|=0$$,停止。此方法不能使用。該方程組不具有唯一解。
- 如果 $$|A| \neq 0$$,求逆矩陣,$$A^{-1}$$。
- 透過相乘來計算解:$$X = A^{-1}B$$。
- 從所得的X矩陣中讀取x、y和z的值。
例子 (3x3 方程組)
求解:
$$ \begin{cases} x + y = 3 \\ -x + z = 1 \\ 2y + z = 0 \end{cases} $$步驟1:寫成 $$AX=B$$ 形式。
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$步驟2:計算A的行列式。
$$ |A| = 1(0-2) - 1(-1-0) + 0 = -2 + 1 = -1 $$步驟3:由於 $$|A| = -1 \neq 0$$,存在唯一解,我們可以繼續。
步驟4:求逆矩陣 $$A^{-1}$$。(這涉及到尋找餘因子矩陣,將其轉置以得到伴隨矩陣,然後除以行列式)。計算後,我們得到:
$$ A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -2 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix} $$步驟5:計算 $$X = A^{-1}B$$。
$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2)(3)+(1)(1)+(-1)(0) \\ (-1)(3)+(-1)(1)+(1)(0) \\ (2)(3)+(2)(1)+(-1)(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix} $$步驟6:解為 $$x=7, y=-4, z=8$$。
重點摘要
逆矩陣法是一種系統化的方法,能同時求解所有變數。其主要限制是它只適用於係數矩陣的行列式非零的情況(即具有唯一解的方程組)。
第三部分:方法二 — 克萊默法則
克萊默法則是一個絕妙的「捷徑」,它利用行列式單獨求解每個變數。如果試卷只要求你找出其中一個變數的值,例如「y」,而無需找出「x」和「z」,則此方法特別有用。與逆矩陣法一樣,這也只適用於具有唯一解的方程組($$|A| \neq 0$$)。
公式
對於一個3x3的方程組,解由以下公式給出:
$$ x = \frac{|A_x|}{|A|}, \quad y = \frac{|A_y|}{|A|}, \quad z = \frac{|A_z|}{|A|} $$那麼 $$A_x$$、$$A_y$$ 和 $$A_z$$ 是什麼?
- $$A_x$$ 是矩陣A,但其第一列(x的係數)被常數矩陣B取代。
- $$A_y$$ 是矩陣A,但其第二列(y的係數)被常數矩陣B取代。
- $$A_z$$ 是矩陣A,但其第三列(z的係數)被常數矩陣B取代。
記憶小竅門
要找出「x」,替換「x」所在的那一列。要找出「y」,替換「y」所在的那一列。就這麼簡單!
分步指南
- 將方程組寫成 $$AX=B$$ 形式。
- 計算主行列式 $$|A|$$。如果 $$|A|=0$$,停止。克萊默法則不能使用。
- 透過將相應的列替換為矩陣B來創建新矩陣 $$A_x, A_y, A_z$$。
- 計算它們的行列式:$$|A_x|, |A_y|, |A_z|$$。
- 應用公式找出x、y和z的值。
例子(使用之前的方程組作為例子)
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$
步驟1和2:我們已經知道 $$|A| = -1$$。
步驟3和4:計算其他行列式。
對於x:用B替換A的第一列。
$$ A_x = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \implies |A_x| = 3(0-2) - 1(1-0) + 0 = -6 - 1 = -7 $$對於y:用B替換A的第二列。
$$ A_y = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \implies |A_y| = 1(1-0) - 3(-1-0) + 0 = 1 + 3 = 4 $$對於z:用B替換A的第三列。
$$ A_z = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} \implies |A_z| = 1(0-2) - 1(0-0) + 3(-2-0) = -2 - 6 = -8 $$步驟5:應用公式。
$$ x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{-7}{-1} = 7 $$ $$ y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{4}{-1} = -4 $$ $$ z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{-8}{-1} = 8 $$我們得到相同的結果:$$x=7, y=-4, z=8$$。明白了嗎?
重點摘要
克萊默法則是一種快速、基於公式的方法,適用於具有唯一解的方程組。當你只需要找出一個變數的值時,它是你的最佳拍檔。
第四部分:方法三 — 高斯消去法
這是萬能鑰匙,所有方法中最強大的!為什麼呢?因為高斯消去法適用於所有方程組,無論它們是唯一解、無解還是無窮多解。它會清楚地告訴你正在處理的是哪種類型的方程組。
類比:把這個方法想像成整理你的方程。你並沒有改變核心資訊,只是以一種非常整齊的方式重新排列,讓答案變得顯而易見。
目標和工具
我們的目標是將一個增廣矩陣 $$[A|B]$$ 使用基本行運算將其轉化為行階梯形(看起來像左下角的一個零三角形)。
增廣矩陣只是係數矩陣A與常數矩陣B貼在右邊的組合。對於我們正在使用的例子:
$$ [A|B] = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right) $$我們的工具是三種基本行運算(EROs):
- 交換任意兩行($$R_i \leftrightarrow R_j$$)。
- 將一行乘以一個非零數($$kR_i \to R_i$$)。
- 將一行的一個倍數加到另一行($$R_i + kR_j \to R_i$$)。
分步指南(使用我們的例子)
我們的目標是在標有*的位置創建零: $$ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & \cdot & \cdot & \cdot \\ * & \cdot & \cdot & \cdot \\ * & * & \cdot & \cdot \end{array} \right) $$
開始: $$ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right) $$
目標一:將左上角「1」下方的數變成零。我們可以透過將第1行加到第2行來實現。
$$ R_2 + R_1 \to R_2 $$ $$ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right) $$目標二:將第3行的「2」變成零。我們可以使用第2行來實現。將第2行乘以-2,然後加到第3行。
$$ R_3 - 2R_2 \to R_3 $$ $$ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & -8 \end{array} \right) $$這就是行階梯形!現在我們將它從底部開始轉回方程。
- 第3行:$$0x + 0y - 1z = -8 \implies -z = -8 \implies \mathbf{z=8}$$
- 第2行:$$0x + 1y + 1z = 4 \implies y + z = 4 \implies y + 8 = 4 \implies \mathbf{y=-4}$$
- 第1行:$$1x + 1y + 0z = 3 \implies x + y = 3 \implies x - 4 = 3 \implies \mathbf{x=7}$$
這種從底部往上求解的過程稱為回代。
解釋最終矩陣
這是高斯消去法最重要的部分!
- 唯一解:你會得到一個像上面那樣漂亮的「樓梯形」,沒有矛盾。
- 無解:你會得到一行矛盾的結果,例如 $$[0 \ 0 \ 0 \ | \ 5]$$。這轉化為不可能的方程 $$0x + 0y + 0z = 5$$,或者說 $$0 = 5$$。如果你看到這種情況,方程組是無解的。
- 無窮多解:你會得到一行全為零的結果,例如 $$[0 \ 0 \ 0 \ | \ 0]$$。這轉化為 $$0=0$$,這是正確的但沒有用。這表示你的其中一個原始方程是多餘的。為了表達解,我們引入一個參數。
例子:如果你的最終方程是 $$x-y=2$$ 和 $$z=3$$,你會讓 $$y=t$$,其中t是任意實數。那麼 $$x = 2+t$$。解的形式會是 $$(2+t, t, 3)$$。
重點摘要
高斯消去法是你的萬用解法。它總能成功,並清楚顯示方程組是唯一解、無窮多解還是無解。掌握行運算並學習如何解釋最終形式。
第五部分:一個特殊情況 — 齊次線性方程組
這是課程大綱重點提及的一種特殊方程組。它比聽起來更簡單!
什麼是齊次線性方程組?
這是一個方程組,其中右邊的所有常數都是零。形式為 $$AX = 0$$。
例子:
$$ \begin{cases} x + 2y - z = 0 \\ 3x - y + z = 0 \\ 2x + y = 0 \end{cases} $$零解與非零解
想想看:如果你設 $$x=0, y=0, z=0$$,上面的方程會成立嗎?會! $$0=0$$。這個解 $$(0,0,0)$$ 被稱為零解(或平凡解),它永遠是任何齊次線性方程組的一個解。
有趣的問題是:還有沒有其他的解?這些解稱為非零解(或非平凡解)。
關鍵定理
這是你需要知道的關鍵規則:
一個齊次線性方程組具有非零解(非平凡解)當且僅當係數矩陣A是奇異矩陣(即當 $$|A|=0$$ 時)。
分解說明:
- 給你一個齊次線性方程組。
- 你計算係數矩陣的行列式,$$|A|$$。
- 如果 $$|A| \neq 0$$,唯一的解就是零解:$$(0,0,0)$$。
- 如果 $$|A| = 0$$,則存在無窮多個非零解(除了零解之外)。你可以使用高斯消去法和參數『t』來找出這些解的普遍形式。
快速回顧表
條件 | 非齊次線性方程組 ($$AX=B$$) | 齊次線性方程組 ($$AX=0$$) |
$$|A| \neq 0$$ | 唯一解 | 只有零解 (這是唯一的) |
$$|A| = 0$$ | 無解 或 無窮多解 | 無窮多非零解 |
最後重點摘要
對於齊次線性方程組($$AX=0$$),行列式告訴你一切。如果 $$|A| \neq 0$$,唯一的答案就是 (0,0,0)。如果 $$|A|=0$$,則存在一整系列的解,你可以找出它們。
總結:我應該使用哪種方法?
- 方程組是齊次的嗎($$AX=0$$)?首先檢查 $$|A|$$。這可能就是你所需要做的一切了!
- 題目只要求你找出其中一個變數的值嗎?使用克萊默法則。這是最快的。
- 你是否擅長尋找逆矩陣?逆矩陣法是一個清晰的過程,前提是 $$|A| \neq 0$$。
- 你不確定,或者你發現 $$|A|=0$$?你的首選萬用工具是高斯消去法。它總能給你關於解的性質的清晰答案。
練習所有這三種方法,這樣你就能為任何問題選擇最有效率的方法。你行的!