M2 章節：線性方程組 — 你的學習攻略！

各位同學好！歡迎來到M2其中一個最實用的課題——線性方程組的學習筆記。別讓這名字嚇倒你。歸根結底，本章的重點是找出直線或平面的相交點。這就像偵探一樣，要找出一個同時滿足所有線索（方程）的地點！

為什麼這很重要？這不僅是抽象數學。它是從全球定位系統（GPS）定位你的手機，到經濟學家建立市場模型，再到工程師設計複雜結構等所有領域的基礎。學完本指南，你將會掌握三種強大的方法來求解這些方程組：逆矩陣法、克萊默法則，以及極其多功能高斯消去法。

是時候深入探討並解開謎團了！


第一部分：基礎知識 — 我們在解甚麼？

什麼是線性方程組？

線性方程是一個簡單的方程，其中變數的指數為一，例如 $$2x + 3y = 7$$。一個線性方程組只是一組包含兩個或更多線性方程的集合，我們希望同時求解它們。我們的目標是找到變數（例如x、y和z）的值，使系統中所有方程都成立。

類比時間！想像你有兩個朋友給你方向。

  • 朋友甲說：「我站在『大街』上。」（這就像一個方程：y = '大街'）
  • 朋友乙說：「我站在『公園大道』上。」（這是第二個方程：x = '公園大道'）

這個方程組的解就是同時滿足這兩個線索的唯一地點：大街和公園大道的交界處。這就是唯一解！

三種可能性

當你求解一個線性方程組時，只有三種可能的結果。將它們想像成相交的直線（對於2個變數）或平面（對於3個變數會很有幫助）。

  1. 唯一解：直線或平面在單一點相交。這是你最常見到的情況。
  2. 無窮多解：直線實際上是同一條直線，或者平面沿著共同的直線相交。該直線上的任何一點都是解！
  3. 無解：直線平行且永不相交，或者平面平行（或以某種方式排列，使其永不共享一個共同點）。

將方程組寫成矩陣形式：AX = B

為了使用我們M2的實用方法，我們首先需要將方程轉換為矩陣語言。我們將方程組寫成 $$AX = B$$ 的形式。

例子：考慮以下方程組：

$$ egin{cases} 2x + 4y = 10 \ 3x - y = 5