矩陣：數字的整齊排列指南

各位同學好！歡迎來到矩陣的世界。別被這看似複雜的名字嚇倒。矩陣其實就是一個把數字整齊排列成格狀的簡單方法。想像一下你的班級時間表、電子遊戲的得分榜，甚至是試算表——它們都運用了相同的概念！在這一章，我們會學習如何操作這些格狀排列的數字：包括加、減、乘，甚至是「除」。矩陣是一種強大的工具，應用範圍從電腦繪圖到解決複雜方程無所不包，所以我們現在就開始吧！

1. 什麼是矩陣？基本概念

矩陣 簡單來說就是一個長方形的數字網格，這些數字稱為元素，它們按行（橫向）和列（縱向）排列。

矩陣的「大小」或維數（亦稱階）由「（行數）x（列數）」表示。

例子： 這是一個有2行3列的矩陣A。它的維數是2x3。

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 3 \\ 4 & 0 & 7 \end{pmatrix} $$

要說明某個特定元素，我們使用符號aij，其中i是行數，而j是列數。對於上面的矩陣A：

  • 第1行第2列的元素是a12 = -5。
  • 第2行第3列的元素是a23 = 7。
特殊矩陣類型
  • 方陣：行數和列數相同（例如2x2，3x3）。
  • 零矩陣 (O)：所有元素都是0的矩陣。它是矩陣世界的「零」。
  • 單位矩陣 (I)：它是矩陣世界的「一」！這是一個方陣，其主對角線（左上到右下）上的元素全是1，其他地方的元素全是0。
$$ I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{and} \quad I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
重點提示

矩陣是一個數字網格。它的大小稱為維數（行 x 列）。單位矩陣I和零矩陣O是在矩陣代數中非常重要的特殊矩陣。

2. 矩陣運算：基本規則

矩陣加法與減法

這部分很簡單！你只能對維數完全相同的矩陣進行加法或減法運算。

操作方法： 只需將對應位置的元素相加或相減。

類比： 想像你有兩張不同星期的購物清單，它們的格式相同。要找出你購買的總物品數量，你只需把相同位置的數字相加。

例子： 我們來加兩個2x2矩陣。

$$ A = \begin{pmatrix} 4 & 8 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} $$ $$ A + B = \begin{pmatrix} 4+1 & 8+0 \\ 3+5 & 7+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ 8 & 9 \end{pmatrix} $$

常見錯誤： 切勿嘗試對不同維數的矩陣進行加法或減法運算！這是不可行的。

例子： 你不能將一個2x3矩陣和一個2x2矩陣相加。

純量乘法

純量 只是對普通數字（非矩陣）的一個花俏稱呼。純量乘法是指將一個矩陣乘以一個數字。

操作方法： 將矩陣內每一個元素都乘以該純量。

類比： 如果你想把食譜的份量加倍，你會將所有材料的份量都乘以2。

例子： 對以下矩陣A求3A。

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & 9 \end{pmatrix} $$ $$ 3A = 3 \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \times 2 & 3 \times (-1) \\ 3 \times 5 & 3 \times 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 15 & 27 \end{pmatrix} $$
快速複習：基本性質

對於大小相同的矩陣A、B、C以及純量λ、μ：

  • 加法交換律： $$ A + B = B + A $$ （加法次序不影響結果）。
  • 加法結合律： $$ (A + B) + C = A + (B + C) $$ （加法分組方式不影響結果）。
  • 分配律：
    $$ \lambda(A + B) = \lambda A + \lambda B $$ $$ (\lambda + \mu)A = \lambda A + \mu A $$
重點提示

矩陣的加法和減法很簡單：只需處理對應的元素，但請確保維數匹配。對於純量乘法，則將每個元素乘以該純量。

3. 矩陣乘法：難點來了！

剛開始覺得混亂也別擔心！矩陣乘法是最複雜的運算，但它遵循一個非常特定的模式。一旦你掌握了竅門，它就只是一個重複的過程。

乘法的黃金法則

你只能對兩個矩陣進行乘法運算（例如A x B），如果矩陣A的列數等於矩陣B的行數。

記憶法： 檢查「內維數」。如果矩陣A是m x n，矩陣B是n x p，你可以對它們相乘，因為「內維數」的 'n' 相匹配。結果矩陣將具有「外維數」：m x p。

$$ (m \times \mathbf{n}) \cdot (\mathbf{n} \times p) \longrightarrow (m \times p) $$

如何相乘：逐步指南

規則是「行乘列」。要得到新矩陣中第i行第j列的元素，你需要將第一個矩陣的第i行元素與第二個矩陣的第j列對應元素相乘，然後將它們全部相加。

例子： 我們來計算AB。

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} $$

結果AB會是一個2x2矩陣，我們稱它為C。

$$ C = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix} $$
  • 要找出c11（第1行，第1列）：使用A的第1行和B的第1列。 $$ c_{11} = (1 \times 5) + (2 \times 7) = 5 + 14 = 19 $$
  • 要找出c12（第1行，第2列）：使用A的第1行和B的第2列。 $$ c_{12} = (1 \times 6) + (2 \times 8) = 6 + 16 = 22 $$
  • 要找出c21（第2行，第1列）：使用A的第2行和B的第1列。 $$ c_{21} = (3 \times 5) + (4 \times 7) = 15 + 28 = 43 $$
  • 要找出c22（第2行，第2列）：使用A的第2行和B的第2列。 $$ c_{22} = (3 \times 6) + (4 \times 8) = 18 + 32 = 50 $$

所以，最終結果是：

$$ AB = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix} $$

大驚喜：AB 不一定等於 BA！

這與普通數字運算有著巨大的不同。矩陣乘法不具交換性。你的乘法次序很重要！

使用上面的矩陣，如果你嘗試計算BA，你會得到一個不同的答案。這是需要記住的一個非常重要的性質。

矩陣乘法的性質

儘管它不具交換性，但它確實有一些有用的性質：

  • 結合律： $$ A(BC) = (AB)C $$ （分組方式不影響結果）。
  • 分配律： $$ A(B+C) = AB + AC $$ 以及 $$ (A+B)C = AC + BC $$
  • 純量性質： $$ (\lambda A)(\mu B) = (\lambda \mu)AB $$
  • 行列式性質：： $$ |AB| = |A||B| $$ （乘積的行列式等於它們行列式的乘積。超級有用！）
重點提示

矩陣乘法要求內維數匹配。請記住「行乘列」的規則。最重要的是，乘法的次序很重要：一般而言，AB ≠ BA。

4. 矩陣的逆：撤銷按鈕

什麼是逆？

在普通的代數中，5的逆是1/5，因為5 x (1/5) = 1。在矩陣世界中，矩陣A的逆是另一個矩陣，寫作A-1，它能「撤銷」A。

當你將一個矩陣乘以它的逆時，你會得到單位矩陣I。

$$ AA^{-1} = A^{-1}A = I $$

重要點：

  • 只有方陣才能有逆矩陣。
  • 一個有逆矩陣的矩陣稱為可逆矩陣或非奇異矩陣。
  • 一個沒有逆矩陣的矩陣稱為不可逆矩陣或奇異矩陣。
  • 一個矩陣有逆矩陣當且僅當其行列式不為零。如果 det(A) = 0，則沒有逆矩陣！

找出2x2矩陣的逆

找出2x2矩陣的逆有一個簡單的公式。你應該記住它！

如果 $$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$，那麼它的逆是：

$$ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $$

項ad-bc是該矩陣的行列式。

逐步指南 (2x2)：
  1. 計算行列式： det(A) = ad - bc。
  2. 檢查是否為零。如果 det(A) = 0，停止。逆矩陣不存在。
  3. 創建一個新矩陣：
    • 交換主對角線上的元素（a和d）。
    • 改變另外兩個元素（b和c）的符號。
  4. 將新矩陣乘以 1/det(A)。

例子： 求矩陣 $$ M = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} $$ 的逆。

  1. det(M) = (4)(6) - (7)(2) = 24 - 14 = 10。（不為零，所以我們可以繼續！）
  2. 交換4和6，改變7和2的符號： $$ \begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} $$
  3. 乘以1/10： $$ M^{-1} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{pmatrix} $$

找出3x3矩陣的逆

這是一個較長的過程，但它非常有系統。我們使用一種涉及行列式和「伴隨矩陣」的方法。

快速概念：矩陣轉置

矩陣的轉置（寫作AT）是將矩陣沿著其主對角線翻轉而得。行會變成列，列會變成行。

例子： 如果 $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} $$，那麼 $$ A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} $$

逐步指南 (3x3)：
  1. 計算3x3矩陣的行列式。如果為零，停止。逆矩陣不存在。
  2. 找出子式矩陣。對於每個元素，遮蓋其行和列，然後計算剩下2x2矩陣的行列式。
  3. 創建餘因子矩陣。對子式矩陣應用「棋盤式」的正負號模式（+、-、+、-等）。 $$ \begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix} $$
  4. 找出伴隨矩陣 (adj(A))。這是餘因子矩陣的轉置 (adj(A) = CT)。
  5. 使用公式計算逆： $$ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) $$

這個過程最好通過練習來學習。每一步都請慢慢來！

逆矩陣的性質

令A和B為可逆矩陣，λ為非零純量。

  • 唯一性：一個矩陣的逆矩陣是唯一的。
  • 雙重逆： $$ (A^{-1})^{-1} = A $$ （撤銷一次撤銷會讓你回到起點）。
  • 純量逆：： $$ (\lambda A)^{-1} = \frac{1}{\lambda} A^{-1} $$
  • 轉置逆： $$ (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T $$
  • 逆矩陣的行列式： $$ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} $$
  • 乘積逆（襪子與鞋子法則）： $$ (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} $$ 類比：要撤銷先穿襪子再穿鞋的動作，你必須先脫鞋，然後才脫襪子。次序顛倒了！
重點提示

逆矩陣 A-1 「撤銷」矩陣 A，得到單位矩陣 I。一個矩陣只有在其行列式不為零時才存在逆矩陣。請記住2x2逆矩陣的公式，以及乘積的逆矩陣的「襪子與鞋子」法則。