M2 課題:微分法的應用

各位同學好!歡迎來到 M2 微積分中最有用、最實用的課題之一:微分法的應用。你可能在想:「我們花那麼多時間學習如何求導數,到底有甚麼用呢?」答案就在這裡!

你可以把微分想像成一種超能力:能夠看清任何事物「變率」的能力。在這個課題中,我們將運用這種能力來:

  • 找出曲線在任何一點的準確斜率,從而確定其切線的方程。
  • 找出圖形的最高點和最低點,這有助我們解決例如最大化利潤或最小化成本的問題。這些點稱為極大值和極小值
  • 精通繪畫複雜曲線,揭示它們的隱藏形狀和行為。
  • 解決涉及事物隨時間變化的實際問題,這稱為變率

如果聽起來很多,別擔心。我們會一步一步地拆解。我們開始吧!


1. 找出切線的方程

從你以往的學習中記得,導數 $$ \frac{dy}{dx} $$ 或 $$ f'(x) $$ 提供了曲線在任何一點 x 的切線的梯度 (斜率)

切線就是一條在單一點上「輕觸」曲線的直線。而要找出任何直線的方程,你需要甚麼呢?

  1. 線上的一點,$$ (x_1, y_1) $$
  2. 直線的梯度,$$ m $$
找出切線方程的逐步指南:

讓我們找出曲線 $$ y = f(x) $$ 在 $$ x = a $$ 處的切線。

步驟 1:找出點 $$ (x_1, y_1) $$
我們知道 $$ x_1 = a $$。要找出 $$ y_1 $$,只需將 $$ a $$ 代入原函數:$$ y_1 = f(a) $$。所以我們的點是 $$ (a, f(a)) $$。

步驟 2:找出梯度函數 $$ f'(x) $$
微分函數 $$ f(x) $$ 以得到 $$ f'(x) $$。

步驟 3:找出該點的特定梯度 $$ m $$
將 $$ x = a $$ 代入導數:$$ m = f'(a) $$。

步驟 4:使用點斜式
將你的點和梯度代入直線的方程: $$ y - y_1 = m(x - x_1) $$

例題演練

找出曲線 $$ y = x^3 - 2x + 5 $$ 在 $$ x = 2 $$ 處的切線方程。

步驟 1:找出點。
當 $$ x = 2 $$ 時,$$ y = (2)^3 - 2(2) + 5 = 8 - 4 + 5 = 9 $$。 所以,我們的點 $$ (x_1, y_1) $$ 是 $$ (2, 9) $$。

步驟 2:找出導數。
$$ y = x^3 - 2x + 5 $$ $$ \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2 $$

步驟 3:找出該點的梯度。
在 $$ x = 2 $$ 處,梯度 $$ m = 3(2)^2 - 2 = 3(4) - 2 = 10 $$。

步驟 4:使用點斜式。
$$ y - y_1 = m(x - x_1) $$ $$ y - 9 = 10(x - 2) $$ $$ y - 9 = 10x - 20 $$ $$ y = 10x - 11 $$ 這就是我們的切線方程了!

要點回顧

要找出切線的方程,你需要一個(來自原函數)和梯度(來自該點 x 值的導數)。


2. 極大值和極小值 (極值)

想像一下過山車。山頂是「局部極大值」,山谷底部是「局部極小值」。在山頂的最高點或山谷的最低點,軌道瞬間完全平坦。這表示它的梯度為零!

駐點:候選點

曲線上一點的導數為零($$ f'(x) = 0 $$)時,該點稱為駐點。這些是我們成為極大值或極小值的候選點。

駐點有三種類型:

  • 局部極大值:曲線從遞增(正斜率)轉為遞減(負斜率)。它是一個山峰。
  • 局部極小值:曲線從遞減(負斜率)轉為遞增(正斜率)。它是一個山谷。
  • 駐點拐點:曲線變平坦,但隨後沿著同一方向繼續。斜率為零,但符號不變。
如何檢測駐點:二階導數判別法

一旦你找到使 $$ f'(x) = 0 $$ 的 x 值,你如何知道它是極大值、極小值還是其他呢?最簡單的方法是二階導數判別法

記憶法:想想一個表情符號!

  • 如果 $$ f''(x) > 0 $$(正數),曲線是「向上凹」,就像一個笑臉 ☺。這表示你找到了一個局部極小值
  • 如果 $$ f''(x) < 0 $$(負數),曲線是「向下凹」,就像一個哭臉 ☹。這表示你找到了一個局部極大值
  • 如果 $$ f''(x) = 0 $$,判別法就失效了!你必須使用一階導數判別法(檢查該點前後 $$ f'(x) $$ 的符號)來分類它。
例題演練

找出並分類 $$ f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1 $$ 的駐點。

步驟 1:找出第一階導數並設為零。
$$ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 $$ 設 $$ f'(x) = 0 $$: $$ 6x^2 - 6x - 12 = 0 $$ $$ x^2 - x - 2 = 0 $$ $$ (x - 2)(x + 1) = 0 $$ 所以,駐點發生在 $$ x = 2 $$ 和 $$ x = -1 $$。

步驟 2:找出第二階導數。
$$ f''(x) = 12x - 6 $$

步驟 3:使用第二階導數檢測每個點。
對於 $$ x = 2 $$: $$ f''(2) = 12(2) - 6 = 18 $$。這是正數 (> 0),所以它是一個笑臉 ☺。 因此,在 $$ x = 2 $$ 處我們有一個局部極小值。該點是 ($$ 2, f(2) $$) = ($$ 2, -19 $$)。

對於 $$ x = -1 $$: $$ f''(-1) = 12(-1) - 6 = -18 $$。這是負數 (< 0),所以它是一個哭臉 ☹。 因此,在 $$ x = -1 $$ 處我們有一個局部極大值。該點是 ($$ -1, f(-1) $$) = ($$ -1, 8 $$)。

整體極值與局部極值

一個局部極大值/極小值是其鄰近範圍內的最高/最低點。一個整體(或絕對)極大值/極小值是特定區間內的絕對最高/最低點。

要在閉區間 [a, b] 上找出整體極值:

  1. 找出區間內所有的駐點。
  2. 計算這些駐點的 y 值。
  3. 計算端點的 y 值,即找出 $$ f(a) $$ 和 $$ f(b) $$。
  4. 比較所有你找到的 y 值。最大的就是整體極大值,最小的就是整體極小值。

常見錯誤:忘記檢查端點!有時最高點或最低點根本不是駐點,而是區間的其中一個端點。

要點回顧

設 $$ f'(x)=0 $$ 以找出潛在的極大值/極小值點。使用 $$ f''(x) $$ 的符號(「表情符號測試」)來分類它們。對於整體極值,永遠記得檢查區間的端點!


3. 曲線描繪

在這裡,我們將變成偵探,將所有線索組合起來,以準確地描繪多項式函數或有理函數的草圖。遵循這個清單,你就不會出錯!

終極七步繪圖清單

對於函數 $$ y = f(x) $$:

1. 定義域:是否有任何不允許的 x 值?
對於多項式函數,定義域是所有實數。對於有理函數 $$ \frac{P(x)}{Q(x)} $$,定義域是除了 $$ Q(x)=0 $$ 的情況外,所有實數。

2. 截距:
y 軸截距:設 $$ x=0 $$,找出 y。
x 軸截距:設 $$ y=0 $$,求解 x。

3. 對稱: (快速檢查)
偶函數?如果 $$ f(-x) = f(x) $$,它關於 y 軸對稱(例如 $$ y=x^2 $$)。
奇函數?如果 $$ f(-x) = -f(x) $$,它關於原點作旋轉對稱(例如 $$ y=x^3 $$)。

4. 漸近線(有理函數的「隱形圍欄」):
漸近線是一條曲線越來越接近但永不觸及的直線。

  • 垂直漸近線:當分母為零時出現。找出使函數未定義的 x 值。
  • 水平漸近線:當 $$ x \to \infty $$ 和 $$ x \to -\infty $$ 時會發生甚麼?對於有理函數,比較分子 (N) 和分母 (D) 的次數(最高冪):
    • deg(N) < deg(D):水平漸近線為 $$ y = 0 $$。
    • deg(N) = deg(D):水平漸近線為 $$ y = \frac{\text{分子首項係數}}{\text{分母首項係數}} $$。
    • deg(N) > deg(D):沒有水平漸近線。檢查是否存在斜漸近線。
  • 斜漸近線:只有當 deg(N) 剛好比 deg(D) 多一時才存在。要找出它,請執行多項式長除法。漸近線的方程是商的部分(忽略餘數)。

5. 駐點:
找出使 $$ f'(x)=0 $$ 的點。找出這些點的完整坐標($$ x, y $$),並使用二階導數判別法($$ f''(x) $$)將它們分類為局部極大值或極小值。

6. 拐點:
拐點是凹向改變的地方(從笑臉到哭臉,反之亦然)。
通過求解 $$ f''(x)=0 $$ 找出潛在點。然後,檢查該點周圍 $$ f''(x) $$ 的符號是否確實改變。

7. 繪圖!
繪製坐標軸。將漸近線繪製為虛線。標示截距和駐點。然後,連接各點,確保你的曲線遵循「隱形圍欄」,並在每個區域具有正確形狀(向上凹/向下凹)。

快速範例:描繪 $$ y = \frac{x^2}{x-2} $$
  1. 定義域: $$ x \neq 2 $$。
  2. 截距: y 軸截距為 (0,0)。x 軸截距為 (0,0)。
  3. 對稱: 無。
  4. 漸近線:
    • 垂直:分母在 $$ x=2 $$ 處為零。所以,垂直漸近線為 $$ x=2 $$。
    • 水平:deg(N)=2,deg(D)=1。由於 deg(N) > deg(D),沒有水平漸近線。
    • 斜:由於 deg(N) 比 deg(D) 剛好多一,有!$$ x^2 $$ 除以 $$ (x-2) $$ 的長除法得到商為 $$ x+2 $$。所以,斜漸近線為 $$ y=x+2 $$。
  5. 駐點: 使用商法則找出 $$ f'(x) = \frac{x(x-4)}{(x-2)^2} $$。設為 0 得到 $$ x=0 $$ 和 $$ x=4 $$。這是一個在 (0,0) 的局部極大值和一個在 (4,8) 的局部極小值。
  6. 繪圖: 繪製漸近線 $$ x=2 $$ 和 $$ y=x+2 $$。標示點 (0,0) 和 (4,8)。繪製曲線的兩個分支,使其趨近漸近線。
要點回顧

曲線描繪是一個過程。每次都要遵循清單。漸近線是你的導軌,駐點是你的關鍵地標。


4. 實際應用(最佳化問題和變率問題)

在這裡,我們將運用所有學到的技能來解決實際問題。

最佳化問題(最大/最小)

目標是找出最佳可能值,例如盒子的最大體積或建造圍欄的最小成本。

解題策略:
  1. 理解並繪製圖表:仔細閱讀問題。畫一張圖!標註變數。確定你要最大化或最小化的量(例如,面積 A,體積 V)。
  2. 建立方程:為你要最佳化的量寫出一個方程。它必須是單一變數的函數。你可能需要第二個「約束」方程來代入並消除其他變數。
  3. 微分:找出你方程的導數(例如,$$ \frac{dA}{dx} $$)。
  4. 找出駐點:將導數設為零並求解。
  5. 檢測並證明:使用二階導數判別法來證明它是最大值還是最小值。
  6. 回答問題:重新閱讀問題。問題是要求維度(例如 x)還是實際的最大/最小值(例如 A)?別忘了單位!
範例:

你有 40 米的圍欄來建造一個矩形花園。這個花園的最大可能面積是多少?

1. 圖表:一個長度 L 和闊度 W 的矩形。
要最大化的量:面積,$$ A = LW $$。
約束:周界,$$ 2L + 2W = 40 $$,簡化為 $$ L+W=20 $$ 或 $$ L = 20 - W $$。

2. 單一變數的方程:將 L 代入面積公式:
$$ A = (20 - W)W = 20W - W^2 $$。

3. 微分: $$ \frac{dA}{dW} = 20 - 2W $$。

4. 設為零: $$ 20 - 2W = 0 \implies W = 10 $$米。

5. 檢測:二階導數是 $$ \frac{d^2A}{dW^2} = -2 $$。由於這是負數,它確認了這是一個最大值

6. 答案:闊度是 10 米。長度是 $$ L = 20 - 10 = 10 $$米。最大面積是 $$ A = 10 \times 10 = 100 \text{ m}^2 $$。

變率問題

導數 $$ \frac{dy}{dt} $$ 表示「y 關於時間 t 的變率」。

通常,我們使用鏈式法則來連結不同的變率。例如,如果我們想找出圓的面積 (A) 隨時間的變化($$ \frac{dA}{dt} $$),我們可以使用它的半徑 (r):

$$ \frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} \times \frac{dr}{dt} $$

這個公式將面積的變率與半徑的變率聯繫起來。

要點回顧

對於最佳化問題,將文字題轉化為單一變數的函數,然後找出其最大值或最小值。對於變率問題,識別已知變率和所需變率,並使用鏈式法則將它們聯繫起來。


你知道嗎?尋找極大值和極小值的方法最初是由皮埃爾·德·費馬(一位律師兼業餘數學家)提出的,甚至在牛頓和萊布尼茨將微積分正規化之前。他用它來找出光線所走的徑路,這條徑路總是耗時最少的路徑!