M2 溫習筆記：第七章 - 微分
大家好！歡迎來到微分的溫習筆記。這是微積分中最有力、最引人入勝的課題之一。把它想像成一個特殊的透鏡，能讓你瞬間看清事物是如何變化的。
為甚麼這很重要？微分能幫助我們找出物體在特定時刻的速度、找出以最高利潤出售產品的最佳定價，甚至模擬疾病的傳播。它的一切都圍繞著理解「變率」。
如果一開始覺得有點難，別擔心！我們會將所有概念拆解成簡單易懂的步驟。我們開始吧！
1. 核心概念：導數
那麼，甚麼是導數？
想像一下你在駕車。你兩小時旅程的平均速率是總距離除以兩小時。但你瞬時速率卻是你在任何給定秒數下，從速度計上看到的數值。
導數就像汽車的速度計。它告訴我們函數在特定點的瞬時變率。
從圖像的角度來看，導數給出了曲線在某一點的切線斜率。記住，切線是一條只「觸碰」曲線上一點而不穿過它的直線。
從基本原理求導數
這是根據導數定義來求導數的基本方法。雖然這是「笨方法」，但對於理解其真正原理至關重要。我們找出曲線兩個非常非常接近的點之間的直線斜率。
這條公式看起來有點嚇人，但其背後概念卻很簡單。
函數 $$f(x)$$ 的導數，記作 $$f'(x)$$，是： $$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$ 逐步分析：
- $$h$$ 代表 x 值中極微小的變化。
- $$f(x+h) - f(x)$$ 代表 y 值中極微小的變化。
- 整個分數其實就是縱移/橫移，即連接這兩個點的直線斜率。
- $$ \lim_{h \to 0} $$ 意思是要讓 x 的變化量（h 的值）變得極其微小，趨近於零，從而找出單一點的斜率。
逐步例子：從基本原理求 $$f(x) = x^2$$ 的導數。
- 寫下公式：
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$ - 將你的函數代入公式：
由於 $$f(x) = x^2$$，所以 $$f(x+h) = (x+h)^2$$。
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} $$ - 展開並簡化分子：
$$ (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 $$
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x^2 + 2xh + h^2) - x^2}{h} $$
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} $$ - 從分子中提取 h 並約簡：
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h(2x + h)}{h} $$
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h) $$ - 現在，讓 h 趨近於 0：
$$ f'(x) = 2x + 0 $$
$$ f'(x) = 2x $$
因此，$$x^2$$ 的導數是 $$2x$$。你可能會被要求為像 $$C$$（一個常數）、$$x^n$$（其中 n 是正整數）、$$\sqrt{x}$$、$$\sin x$$、$$\cos x$$、$$e^x$$ 和 $$\ln x$$ 這樣的函數執行此操作。所有步驟都是一樣的！
導數的各種表示法！
你會看到導數以幾種不同的方式表示。它們都代表同一個意思！如果 $$y = f(x)$$：
- 拉格朗日記法： $$f'(x)$$ 或 $$y'$$ （讀作「f prime of x」或「y prime」）。這種方式簡潔易明。
- 萊布尼茲記法： $$\frac{dy}{dx}$$ （讀作「dee y by dee x」）。這種方式描述性非常強。它字面上就像「y 的變化量除以 x 的變化量」。其中的 $$\frac{d}{dx}$$ 部分表示「對…關於 x 微分」。
第一部分重點：
導數是函數的瞬時變率，或者說是其切線的斜率。我們可以利用基本原理，從根源（定義）開始求出它。
2. 微分工具箱：基本規則
每次都使用基本原理會非常耗時。幸運的是，我們有一套規則可以充當捷徑。讓我們來建立自己的工具箱吧！
基本法則
這些都是你必需掌握的基礎知識。你會一直使用它們。
- 常數法則：任何常數的導數都是零。
$$ \frac{d}{dx}(C) = 0 $$ 類比：如果一輛車停泊不動（位置恆定），那麼它的速度（變率）就是 0。 - 冪法則：這是一個超級重要的法則！對於任何實數 n：
$$ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} $$ 記憶小貼士：「把指數放下來，然後指數減一。」
例子：$$\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^{5-1} = 5x^4$$
例子：$$\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$ - 常數倍數法則：函數前的常數會保留不變。
$$ \frac{d}{dx}(c \cdot f(x)) = c \cdot f'(x) $$ 例子：$$\frac{d}{dx}(7x^3) = 7 \cdot \frac{d}{dx}(x^3) = 7 \cdot (3x^2) = 21x^2$$ - 和／差法則：你可以逐項對函數進行微分。
$$ \frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) $$ 例子：$$\frac{d}{dx}(x^2 + 5x - 3) = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(5x) - \frac{d}{dx}(3) = 2x + 5 - 0 = 2x+5$$
積法則
當你需要對兩個相乘的函數進行微分時，就使用這個法則。設這兩個函數為 $$u$$ 和 $$v$$。
$$ \frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} \quad \text{or} \quad (uv)' = u'v + uv' $$
記憶小貼士：「第一個乘以第二個的導數，加上第二個乘以第一個的導數。」
常見錯誤：你不能直接將導數相乘。$$(uv)' \neq u'v'$$. 這是一個非常常見的錯誤，所以要小心！
例子：求 $$y = x^2 \sin x$$ 的導數。
設 $$u = x^2$$ 和 $$v = \sin x$$。
那麼 $$u' = 2x$$ 和 $$v' = \cos x$$。
使用法則：$$\frac{dy}{dx} = (x^2)(\cos x) + (\sin x)(2x) = x^2\cos x + 2x\sin x$$
商法則
當你需要對一個函數除以另一個函數的形式進行微分時，就使用這個法則。設分子函數為 $$u$$，分母函數為 $$v$$。
$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} \quad \text{or} \quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$
助記技巧：這是個救命絕招！記住這個口訣：
「下微上，減上微下，下底平方，就搞掂！」
（這裡，「下」是 $$v$$，「上」是 $$u$$，「微」代表「對…求導數」）。
常見錯誤：分子中的順序很重要，因為有個負號！必須是 $$v u'$$ 在前面。
例子：求 $$y = \frac{e^x}{x^3}$$ 的導數。
設 $$u = e^x$$（分子）和 $$v = x^3$$（分母）。
那麼 $$u' = e^x$$ 和 $$v' = 3x^2$$。
使用法則：$$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^3)(e^x) - (e^x)(3x^2)}{(x^3)^2} = \frac{x^3e^x - 3x^2e^x}{x^6} = \frac{x^2e^x(x-3)}{x^6} = \frac{e^x(x-3)}{x^4}$$
鏈鎖法則（最重要的法則！）
當函數是複合函數（即「函數包住函數」）時，請使用此法則。
類比：想像一下俄羅斯套娃。要拿到最裡面的娃娃，你必須先打開外面的。鏈鎖法則也是如此運作。
法則如下：
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $$
簡單來說，步驟如下：
- 辨識「外函數」和「內函數」（即 $$u$$）。
- 對外函數進行微分，同時保持內函數不變。
- 將你的結果乘以內函數的導數。
例子 1：求 $$y = (x^2 + 5)^4$$ 的導數。
外函數：$$u^4$$。內函數：$$u = x^2 + 5$$。
1. 微分外函數：$$4( \quad )^3$$ 變成 $$4(x^2+5)^3$$
2. 內函數 ($$x^2+5$$) 的導數是 $$2x$$。
3. 將它們相乘：$$\frac{dy}{dx} = 4(x^2+5)^3 \cdot (2x) = 8x(x^2+5)^3$$
例子 2：求 $$y = \cos(3x+1)$$ 的導數。
外函數：$$\cos(u)$$。內函數：$$u = 3x+1$$。
1. 微分外函數：$$-\sin(u)$$ 變成 $$-\sin(3x+1)$$
2. 內函數 ($$3x+1$$) 的導數是 $$3$$。
3. 將它們相乘：$$\frac{dy}{dx} = -\sin(3x+1) \cdot (3) = -3\sin(3x+1)$$
第二部分重點：
記住這些法則！用於 $$x^n$$ 的冪法則、用於 $$u \cdot v$$ 的積法則、用於 $$u/v$$ 的商法則，以及用於「函數包住函數」情況的鏈鎖法則。多加練習，這些法則就會變得駕輕就熟。
3. 標準函數的導數
這裡有一個你需要知道的標準函數導數速查表。結合第二部分的法則，你幾乎可以對任何東西進行微分！
三角函數
- $$ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x $$
- $$ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x $$ (記憶小貼士：「餘」開頭的函數（例如餘弦、餘切、餘割）的導數通常帶有負號)。
- $$ \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x $$
指數函數和對數函數
- $$ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x $$ (你知道嗎？函數 $$e^x$$ 的導數就是它本身！這就是數字 $$e \approx 2.718$$ 在微積分中如此特別的原因。)
- $$ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} $$
快速回顧框
函數 ($$f(x)$$) 導數 ($$f'(x)$$)
--------------------------------------------------
$$C$$ (常數) $$0$$
$$x^n$$ $$nx^{n-1}$$
$$\sin x$$ $$\cos x$$
$$\cos x$$ $$-\sin x$$
$$\tan x$$ $$\sec^2 x$$
$$e^x$$ $$e^x$$
$$\ln x$$ $$\frac{1}{x}$$
4. 進階技巧
隱函數微分法
有時，方程不會以 $$y = ...$$ 這種簡潔形式給出。例如，圓的方程：$$x^2 + y^2 = 25$$。這很難甚至不可能解出 y。這就是隱函數微分法派上用場的時候了。
核心思想：我們對方程兩邊同時關於 $$x$$ 進行微分。當我們需要對包含 $$y$$ 的項進行微分時，我們就使用鏈鎖法則，並乘以 $$\frac{dy}{dx}$$。
逐步例子：求 $$x^2 + y^2 = 25$$ 的 $$\frac{dy}{dx}$$。
- 1. 對兩邊關於 x 微分：
$$ \frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(25) $$ - 2. 逐項微分。記住 $$y^2$$ 的鏈鎖法則！
$$ \frac{d}{dx}(x^2) \rightarrow 2x $$
$$ \frac{d}{dx}(y^2) \rightarrow 2y \cdot \frac{dy}{dx} \quad \text{(外函數：} u^2 \rightarrow 2u, \text{ 內函數：} y \rightarrow \frac{dy}{dx}\text{)} $$
$$ \frac{d}{dx}(25) \rightarrow 0 $$
所以，我們的方程變成：$$ 2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 $$ - 3. 現在，解出 $$\frac{dy}{dx}$$：
$$ 2y\frac{dy}{dx} = -2x $$
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{2y} = -\frac{x}{y} $$
對數微分法
這是一個巧妙的技巧，用於微分非常複雜的函數，特別是那些包含大量乘法、除法和冪的組合函數。
逐步例子：求 $$y = \frac{(x+1)^3 \sqrt{x}}{ (2x-1)^5 }$$ 的 $$\frac{dy}{dx}$$。
- 1. 對兩邊取自然對數（ln）：
$$ \ln(y) = \ln\left( \frac{(x+1)^3 \sqrt{x}}{ (2x-1)^5 } \right) $$ - 2. 利用對數法則展開並簡化右邊。
記住：$$\ln(ab) = \ln a + \ln b$$、$$\ln(a/b) = \ln a - \ln b$$，以及 $$\ln(a^n) = n \ln a$$。
$$ \ln(y) = \ln((x+1)^3) + \ln(\sqrt{x}) - \ln((2x-1)^5) $$
$$ \ln(y) = 3\ln(x+1) + \frac{1}{2}\ln(x) - 5\ln(2x-1) $$ 看看這簡化了多少！ - 3. 現在，對兩邊關於 x 進行隱函數微分：
$$ \frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{d}{dx}\left(3\ln(x+1) + \frac{1}{2}\ln(x) - 5\ln(2x-1)\right) $$
左邊變成 $$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}$$。逐項微分右邊。
$$ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 3\left(\frac{1}{x+1}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}\right) - 5\left(\frac{1}{2x-1} \cdot 2\right) \quad \text{(別忘了對最後一項使用鏈鎖法則！)} $$
$$ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{3}{x+1} + \frac{1}{2x} - \frac{10}{2x-1} $$ - 4. 將兩邊乘以 $$y$$，解出 $$\frac{dy}{dx}$$：
$$ \frac{dy}{dx} = y \left( \frac{3}{x+1} + \frac{1}{2x} - \frac{10}{2x-1} \right) $$
最後，將 y 的原始表達式代回。
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^3 \sqrt{x}}{ (2x-1)^5 } \left( \frac{3}{x+1} + \frac{1}{2x} - \frac{10}{2x-1} \right) $$
是的，最終答案看起來很龐大，但得出它的過程比重複使用積法則和商法則要容易得多！
5. 二階導數
甚麼是二階導數？
二階導數簡而言之就是一階導數的導數。你只需微分兩次！
類比：如果原始函數代表你的位置，那麼一階導數 ($$f'(x)$$) 就是你的速度，而二階導數 ($$f''(x)$$) 則是你的加速度（速度的變率）。
符號表達：
- $$f''(x)$$ （讀作「f double prime of x」）
- $$y''$$ （讀作「y double prime」）
- $$\frac{d^2y}{dx^2}$$ （讀作「d squared y by d x squared」。它表示 $$\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)$$）。
如何求得它
這是一個兩步驟的過程。先求出第一階導數，然後再次對結果進行微分。
例子：求 $$f(x) = x^4 - 5x^2 + 8$$ 的二階導數。
第一步：求一階導數。
$$ f'(x) = 4x^3 - 10x $$
第二步：對一階導數進行微分。
$$ f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 10x) = 12x^2 - 10 $$
就是這麼簡單！
有何作用？（應用搶先看）
二階導數為我們提供了關於圖像形狀的重要資訊。
- 凹凸性：它告訴我們圖像是否向上或向下彎曲。
- 如果 $$f''(x) > 0$$，圖像呈上凹（像一張笑臉）。
- 如果 $$f''(x) < 0$$，圖像呈下凹（像一張愁眉苦臉的臉）。
- 二階導數判別法：這是一種判斷斜率為零 ($$f'(x)=0$$) 的點是局部極大值還是局部極小值的方法。
- 如果 $$f'(c)=0$$ 且 $$f''(c) < 0$$（下凹），那麼在 $$x=c$$ 處有局部極大值。
- 如果 $$f'(c)=0$$ 且 $$f''(c) > 0$$（上凹），那麼在 $$x=c$$ 處有局部極小值。
第五部分重點：
二階導數是一階導數的導數 ($$f''(x)$$)。它衡量的是斜率的變率。我們用它來判斷圖像的凹凸性，並測試局部極大值和極小值。
能學完這些，你真是太棒了！微分是一個龐大的課題，但它建立在幾個關鍵概念和法則之上。你練習得越多，就會變得越容易。繼續保持佳績！