M2 章節：極限 – 你的溫習秘笈
大家好！歡迎來到微積分嘅基礎課題：極限。唔使擔心呢個詞聽落有啲抽象。呢份筆記嘅目標就係要令極限呢個概念變得超級清晰同易明。極限就好似微積分其他所有嘢嘅第一塊、亦都係最重要嘅基石，包括導數同積分。咁就事不宜遲，等我哋一齊打好個底啦！
1. 極限究竟係啲乜嘢？(直觀概念)
想像你正向一堵牆走去。你每步都只走剩餘距離嘅一半。你走咗一半... 然後剩餘路程嘅一半... 再係*嗰*剩餘路程嘅一半... 如此類推。你變得超級、超級咁接近嗰堵牆，但實際上永遠都唔會觸摸到佢。
喺數學入面，極限就係一個函數嘅值，當輸入（通常係 x）越嚟越接近某個數值時，「趨近」嘅那個數值。
關鍵概念就係，我哋唔關心函數喺嗰個數值*確切地*係乜嘢。我哋只係關心佢從左右兩邊趨向嘅數值。
符號表示
我哋會咁樣寫一個函數嘅極限：
$$ \lim_{x \to a} f(x) = L $$等我哋拆解下：
- lim 係「limit」（極限）嘅縮寫。
- x → a 嘅意思係「當 x 趨近 a 值」。
- f(x) 係我哋嘅函數。
- L 係函數趨近嘅值。
所以，成個表達式讀作：「當 x 趨近 a 時，函數 f(x) 嘅極限係 L。」
一個關鍵點：極限與實際值
有時，函數喺某點 `a` 嘅極限會同 `f(a)` 一樣。但係唔係次次都係咁㗎！呢個係一個超重要嘅概念。
例子：考慮函數 $$ f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} $$。
當 `x = 2` 時會點？如果你代入去，你會得到 $$ \frac{4-4}{2-2} = \frac{0}{0} $$，呢個係未定義嘅！喺 `x = 2` 嘅圖形上面有一個「窿」。
但係當 `x` 變得非常接近 2 時，函數會*趨近*邊個值呢？
等我哋試下接近 2 嘅值：
f(1.9) = 3.9
f(1.99) = 3.99
f(2.01) = 4.01
f(2.1) = 4.1
睇到未？`x` 越接近 2，`f(x)` 就越接近 4。所以，我哋會話：
$$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4 $$即使 `f(2)` 係未定義嘅，但當 `x` 趨近 2 時嘅極限係存在而且等於 4。
重點總結：第一部分
極限就係當函數嘅輸入值趨近某個特定數字時，函數所趨向嘅目標值。函數實際上會唔會達到嗰個值並唔重要。
2. 點樣求極限：你嘅工具箱
好啦，我哋唔可以每次都只係代入接近 `a` 嘅數字。我哋需要更快嘅方法！以下係你將會用到嘅主要技巧。
方法 1：直接代入法 (最簡單嘅方法)
對於大多數「正常」嘅函數（例如多項式函數同埋好多有理函數），你應該首先嘗試嘅，就係直接將 `a` 值代入函數入面。
例子 1：求 $$ \lim_{x \to 3} (2x^2 - 5x + 1) $$
呢個係一個多項式，所以佢係「乖巧」嘅。只需代入 `x = 3`：
$$ 2(3)^2 - 5(3) + 1 = 2(9) - 15 + 1 = 18 - 15 + 1 = 4 $$所以，$$ \lim_{x \to 3} (2x^2 - 5x + 1) = 4 $$。好簡單！
方法 2：當直接代入法失效時 (0/0 問題)
如果直接代入法俾你一個不定形，例如 $$ \frac{0}{0} $$，佢唔代表極限唔存在！佢只係代表你需要做多啲嘢。呢個係一個信號，話俾你知需要用代數方法簡化個函數。
技巧 A：因式分解及約簡法
呢個就係我哋可以用喺第一個例子嘅方法！
例子：求 $$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} $$
- 嘗試直接代入：我哋會得到 $$ \frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0} $$。係時候用代數啦！
- 因式分解：分子係平方差。 $$ x^2 - 4 = (x-2)(x+2) $$。
- 重寫及約簡： $$ \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} $$ 因為 `x` 只係*趨近* 2（所以 `x ≠ 2`），`x-2` 項唔會係零，我哋可以安全地約簡佢。 $$ \lim_{x \to 2} (x+2) $$
- 而家再用直接代入法： $$ 2 + 2 = 4 $$。極限係 4。
技巧 B：有理化（利用共軛式）
當你見到有平方根並且得到 $$ \frac{0}{0} $$ 形式時，就用呢個技巧。
例子：求 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} $$
- 嘗試直接代入： $$ \frac{\sqrt{0+1} - 1}{0} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0} $$。代數時間！
- 乘以共軛式： $$ \sqrt{x+1} - 1 $$ 嘅共軛式係 $$ \sqrt{x+1} + 1 $$。將分子和分母都乘以呢個式子。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} \times \frac{\sqrt{x+1} + 1}{\sqrt{x+1} + 1} $$
- 簡化：記住 $$ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $$。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+1})^2 - 1^2}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{(x+1) - 1}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} $$
- 約簡：將分子和分母嘅 `x` 約簡。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} $$
- 而家再用直接代入法： $$ \frac{1}{\sqrt{0+1} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} $$。極限係 1/2。
快速溫習框
你目前嘅求極限策略：
- 永遠首先嘗試直接代入法。
- 如果你得到 $$ \frac{0}{0} $$，呢個係一個信號，話你知要做多啲嘢。
- 尋找代數簡化嘅方法：
- 你可以因式分解分子或分母嗎？
- 有冇平方根？試下乘以共軛式。
- 簡化之後，再試一次直接代入法！
3. 極限定理 (遊戲規則)
好似代數咁，我哋有啲規則可以將複雜嘅極限分解成簡單嘅。課程大綱要求你認識呢啲定理，但值得慶幸嘅係，你唔需要證明佢哋！佢哋非常直觀。
假設 $$ \lim_{x \to a} f(x) = L $$ 和 $$ \lim_{x \to a} g(x) = M $$。
- 加減法法則：和嘅極限等於極限嘅和。
$$ \lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = L \pm M $$ - 純量乘法法則：你可以將常數提出嚟。
$$ \lim_{x \to a} [k \cdot f(x)] = k \cdot L $$ (其中 k 係常數) - 乘法法則：積嘅極限等於極限嘅積。
$$ \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M $$ - 除法法則：商嘅極限等於極限嘅商（只要分母嘅極限唔係零！）。
$$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} $$ (條件係 M ≠ 0) - 冪次法則：你可以將極限「帶入」冪次或根式入面。
$$ \lim_{x \to a} [f(x)]^n = L^n $$
當你對多項式用直接代入法時，你其實一直都喺度用緊呢啲規則，只不過冇為意咋！
4. 無窮遠處嘅極限 (一場漫長嘅旅程)
當 `x` 變得非常大時，函數會變成點樣？我哋稱之為無窮遠處嘅極限。
呢度最重要嘅概念係：
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$諗下啦：1/100, 1/1000, 1/1,000,000... 當分母變得非常大時，分數會越嚟越接近 0。呢個對任何正數次冪嘅 x 都適用： $$ \lim_{x \to \infty} \frac{c}{x^n} = 0 $$ 對於任何常數 `c` 和 `n > 0`。
點樣求有理函數喺無窮遠處嘅極限
呢個係一個必須掌握嘅技巧！呢度有一個簡單嘅三步法。
例子：求 $$ \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - 3x + 5}{2x^2 + 7x - 1} $$
-
喺分母入面搵出 `x` 嘅最高次冪。
喺我哋嘅分母 `(2x² + 7x - 1)` 入面，最高次冪係 `x²`。 - 將分子和分母嘅每項都除以嗰個次冪（`x²`）。 $$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4x^2}{x^2} - \frac{3x}{x^2} + \frac{5}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2} + \frac{7x}{x^2} - \frac{1}{x^2}} $$
- 簡化並計算極限。 $$ \lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x} + \frac{5}{x^2}}{2 + \frac{7}{x} - \frac{1}{x^2}} $$ 而家，當 `x → ∞` 時，所有好似 $$ \frac{3}{x} $$、$$ \frac{5}{x^2} $$ 等嘅項都會趨向 0！ $$ \frac{4 - 0 + 0}{2 + 0 - 0} = \frac{4}{2} = 2 $$
所以，極限係 2。
記憶小貼士：次數捷徑
對於有理函數 $$ \frac{P(x)}{Q(x)} $$，比較分子同分母嘅次數（最高次冪）。
- 如果分子次數 < 分母次數，極限係 0。
- 如果分子次數 = 分母次數，極限係首項係數之比。(就好似我哋嘅例子咁，4/2)。
- 如果分子次數 > 分母次數，極限係 $$ \infty $$ 或 $$ -\infty $$ （極限唔係一個有限數值）。
警告：雖然呢個捷徑好方便用嚟檢查答案，但你通常都需要展示完整嘅步驟，即係將所有項都除以分母中 `x` 嘅最高次冪。
5. 你必須知道嘅兩個非常特殊嘅極限
呢兩個極限係微積分嘅基礎，雖然佢哋會喺公式表提供，但你需要知道點樣運用佢哋。佢哋通常需要一啲操作技巧。
特殊三角函數極限
$$ \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 $$重要提示：呢個只適用於 $$ \theta $$ 係弧度（radian）！
運用呢條公式嘅技巧，就係要令 `sin` 嘅參數同分母完全一致。
例子：求 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{2x} $$
我哋需要分母係 `5x`，而唔係 `2x`。我哋可以用代數嚟達到呢個目的！
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{5x} \cdot \frac{5}{2} $$我哋乘以 5/5，呢個只不過係 1，然後重新排列。而家我哋可以用極限法則：
$$ = \left( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{5x} \right) \cdot \frac{5}{2} $$當 `x → 0`，`5x` 都會趨向 0。所以第一部分就係我哋嘅特殊極限，等於 1。
$$ = (1) \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{2} $$特殊指數函數極限
$$ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 $$同 `sin` 極限類似，目標係要令 `e` 嘅指數同分母一致。
例子：求 $$ \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x} $$
我哋需要分母有一個 `3x`。等我哋搞掂佢。
$$ \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{3x} \cdot 3 $$第一部分就係我哋嘅特殊極限，等於 1。
$$ = (1) \cdot 3 = 3 $$重點總結：第五部分
當你見到一個極限係 `x → 0`，而且涉及 `sin(ax)` 或 `e^(ax) - 1`，你嘅目標就係透過代數操作嚟整理表達式，從而可以應用呢兩條特殊極限公式。
章節總結：你嘅求極限大計
覺得好混亂？唔使驚！每次遇到極限問題時，只要跟住呢個策略性步驟去做就得啦。
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`x` 趨近乜嘢？
- 如果 `x → a`（一個數字）：去步驟 2。
- 如果 `x → ∞`：去步驟 3。
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`x → a` 策略：
- 嘗試直接代入法。如果結果係一個數，你就搞掂啦！
- 如果你得到 $$ \frac{0}{0} $$，就係時候用代數啦。
- 如果你見到多項式，就因式分解及約簡。
- 如果你見到平方根，就用共軛式有理化。
- 如果你見到 `sin(x)` 或 `e^x - 1` 而且 `x → 0`，就嘗試使用特殊極限。
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`x → ∞` 策略：
- 呢個幾乎總係有理函數。
- 確定分母中 `x` 嘅最高次冪。
- 將每個項都除以呢個 `x` 嘅次冪。
- 簡化並使用 $$ \frac{c}{x^n} \to 0 $$ 嘅規則。
就係咁簡單！極限係通往微積分其他部分嘅大門。多啲練習呢啲技巧，你就會表現得好好。你一定得㗎！