M2 章節：極限 – 您的溫習秘笈
各位同學大家好！歡迎來到微積分的基礎課題：極限。毋須擔心這個詞聽起來有些抽象。這份筆記的目標就是要讓極限這個概念變得超級清晰且易懂。極限就如同微積分所有其他內容的第一塊、也是最重要的基石，包括導數和積分。那麼就事不宜遲，讓我們一起打好基礎吧！
1. 極限究竟是什麼？(直觀概念)
想像您正向一堵牆走去。您每步都只走剩餘距離的一半。您走了一半... 然後剩餘路程的一半... 再是*那*剩餘路程的一半... 如此類推。您變得超級、超級地接近那堵牆，但實際上永遠都不會觸摸到它。
在數學中，極限就是一個函數的值，當輸入（通常是 x）越來越接近某個數值時，「趨近」的那個數值。
關鍵概念就是，我們不關心函數在那個數值*確切地*是什麼。我們只關心它從左右兩邊趨向的數值。
符號表示
我們會這樣寫一個函數的極限：
$$ \lim_{x \to a} f(x) = L $$讓我們拆解一下：
- lim 是「limit」（極限）的縮寫。
- x → a 的意思是「當 x 趨近 a 值」。
- f(x) 是我們的函數。
- L 是函數趨近的值。
所以，整個表達式讀作：「當 x 趨近 a 時，函數 f(x) 的極限是 L。」
一個關鍵點：極限與實際值
有時，函數在某點 `a` 的極限會與 `f(a)` 一樣。但並非每次都如此！這是一個超重要的概念。
例子：考慮函數 $$ f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} $$。
當 `x = 2` 時會如何？如果您代入進去，您會得到 $$ \frac{4-4}{2-2} = \frac{0}{0} $$，這是未定義的！在 `x = 2` 的圖形上有一個「洞」。
但是當 `x` 變得非常接近 2 時，函數會*趨近*哪個值呢？
讓我們試試接近 2 的值：
f(1.9) = 3.9
f(1.99) = 3.99
f(2.01) = 4.01
f(2.1) = 4.1
看到了嗎？`x` 越接近 2，`f(x)` 就越接近 4。所以，我們會說：
$$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4 $$即使 `f(2)` 是未定義的，但當 `x` 趨近 2 時的極限是存在且等於 4。
重點總結：第一部分
極限就是當函數的輸入值趨近某個特定數字時，函數所趨向的目標值。函數實際上會不會達到那個值並不重要。
2. 如何求極限：您的工具箱
好的，我們不能每次都只是代入接近 `a` 的數字。我們需要更快的方法！以下是您將會用到的主要技巧。
方法 1：直接代入法 (最簡單的方法)
對於大多數「正常」的函數（例如多項式函數和許多有理函數），您應該首先嘗試的，就是直接將 `a` 值代入函數裡面。
例子 1：求 $$ \lim_{x \to 3} (2x^2 - 5x + 1) $$
這是一個多項式，所以它是「乖巧」的。只需代入 `x = 3`：
$$ 2(3)^2 - 5(3) + 1 = 2(9) - 15 + 1 = 18 - 15 + 1 = 4 $$所以，$$ \lim_{x \to 3} (2x^2 - 5x + 1) = 4 $$。很簡單！
方法 2：當直接代入法失效時 (0/0 問題)
如果直接代入法給您一個不定形，例如 $$ \frac{0}{0} $$，它不代表極限不存在！它只代表您需要做更多事情。這是一個信號，告訴您需要用代數方法簡化函數。
技巧 A：因式分解及約簡法
這就是我們可以用在第一個例子中的方法！
例子：求 $$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} $$
- 嘗試直接代入：我們會得到 $$ \frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0} $$。代數時間！
- 因式分解：分子是平方差。 $$ x^2 - 4 = (x-2)(x+2) $$。
- 重寫及約簡：$$ \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} $$因為 `x` 只會*趨近* 2（所以 `x ≠ 2`），`x-2` 項不會是零，我們可以安全地約簡它。$$ \lim_{x \to 2} (x+2) $$
- 現在再用直接代入法： $$ 2 + 2 = 4 $$。極限是 4。
技巧 B：有理化（利用共軛式）
當您見到有平方根並且得到 $$ \frac{0}{0} $$ 形式時，就用這個技巧。
例子：求 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} $$
- 嘗試直接代入： $$ \frac{\sqrt{0+1} - 1}{0} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0} $$。代數時間！
- 乘以共軛式： $$ \sqrt{x+1} - 1 $$ 的共軛式是 $$ \sqrt{x+1} + 1 $$。將分子和分母都乘以這個式子。$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} \times \frac{\sqrt{x+1} + 1}{\sqrt{x+1} + 1} $$
- 簡化：記住 $$ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $$。$$ \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+1})^2 - 1^2}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{(x+1) - 1}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} $$
- 約簡：將分子和分母的 `x` 約簡。$$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} $$
- 現在再用直接代入法： $$ \frac{1}{\sqrt{0+1} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} $$。極限是 1/2。
快速溫習框
您目前的求極限策略：
- 永遠首先嘗試直接代入法。
- 如果您得到 $$ \frac{0}{0} $$，這是一個信號，告訴您要做更多事情。
- 尋找代數簡化的方法：
- 您可以因式分解分子或分母嗎？
- 有沒有平方根？試試乘以共軛式。
- 簡化之後，再試一次直接代入法！
3. 極限定理 (遊戲規則)
就像代數一樣，我們有些規則可以將複雜的極限分解成簡單的。課程大綱要求您認識這些定理，但值得慶幸的是，您不需要證明它們！它們非常直觀。
假設 $$ \lim_{x \to a} f(x) = L $$ 和 $$ \lim_{x \to a} g(x) = M $$。
- 加減法法則：和的極限等於極限的和。
$$ \lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = L \pm M $$ - 純量乘法法則：您可以將常數提出來。
$$ \lim_{x \to a} [k \cdot f(x)] = k \cdot L $$ (其中 k 是常數) - 乘法法則：積的極限等於極限的積。
$$ \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M $$ - 除法法則：商的極限等於極限的商（只要分母的極限不是零！）。
$$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M} $$ (條件是 M ≠ 0) - 冪次法則：您可以將極限「帶入」冪次或根式裡面。
$$ \lim_{x \to a} [f(x)]^n = L^n $$
當您對多項式用直接代入法時，您其實一直都在使用這些規則，只不過沒有察覺罷了！
4. 無窮遠處的極限 (一場漫長的旅程)
當 `x` 變得非常大時，函數會變成怎樣？我們稱之為無窮遠處的極限。
這裡最重要的概念是：
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$想想看：1/100, 1/1000, 1/1,000,000... 當分母變得非常大時，分數會越來越接近 0。這對任何正數次冪的 x 都適用： $$ \lim_{x \to \infty} \frac{c}{x^n} = 0 $$ 對於任何常數 `c` 和 `n > 0`。
如何求有理函數在無窮遠處的極限
這是一個必須掌握的技巧！這裡有一個簡單的三步法。
例子：求 $$ \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - 3x + 5}{2x^2 + 7x - 1} $$
- 在分母中找出 `x` 的最高次冪。
在我們的分母 `(2x² + 7x - 1)` 裡面，最高次冪是 `x²`。 - 將分子和分母的每項都除以那個次冪（`x²`）。$$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4x^2}{x^2} - \frac{3x}{x^2} + \frac{5}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2} + \frac{7x}{x^2} - \frac{1}{x^2}} $$
- 簡化並計算極限。$$ \lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x} + \frac{5}{x^2}}{2 + \frac{7}{x} - \frac{1}{x^2}} $$現在，當 `x → ∞` 時，所有好似 $$ \frac{3}{x} $$、$$ \frac{5}{x^2} $$ 等的項都會趨向 0！$$ \frac{4 - 0 + 0}{2 + 0 - 0} = \frac{4}{2} = 2 $$
所以，極限是 2。
記憶小貼士：次數捷徑
對於有理函數 $$ \frac{P(x)}{Q(x)} $$，比較分子和分母的次數（最高次冪）。
- 如果分子次數 < 分母次數，極限是 0。
- 如果分子次數 = 分母次數，極限是首項係數之比。(就如同我們的例子，4/2)。
- 如果分子次數 > 分母次數，極限是 $$ \infty $$ 或 $$ -\infty $$ （極限不是一個有限數值）。
警告：雖然這個捷徑很方便用來檢查答案，但您通常都需要展示完整的步驟，即是將所有項都除以分母中 `x` 的最高次冪。
5. 您必須知道的兩個非常特殊的極限
這兩個極限是微積分的基礎，雖然它們會在公式表提供，但您需要知道如何運用它們。它們通常需要一些操作技巧。
特殊三角函數極限
$$ \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 $$重要提示：這只適用於 $$ \theta $$ 是弧度（radian）！
運用這條公式的技巧，就是要讓 `sin` 的參數與分母完全一致。
例子：求 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{2x} $$
我們需要分母是 `5x`，而不是 `2x`。我們可以用代數來達到這個目的！
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{5x} \cdot \frac{5}{2} $$我們乘以 5/5，這只不過是 1，然後重新排列。現在我們可以用極限法則：
$$ = \left( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{5x} \right) \cdot \frac{5}{2} $$當 `x → 0`，`5x` 都會趨向 0。所以第一部分就是我們的特殊極限，等於 1。
$$ = (1) \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{2} $$特殊指數函數極限
$$ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 $$與 `sin` 極限類似，目標就是要讓 `e` 的指數與分母一致。
例子：求 $$ \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x} $$
我們需要分母有一個 `3x`。讓我們來處理它。
$$ \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{3x} \cdot 3 $$第一部分就是我們的特殊極限，等於 1。
$$ = (1) \cdot 3 = 3 $$重點總結：第五部分
當您見到一個極限是 `x → 0`，而且涉及 `sin(ax)` 或 `e^(ax) - 1`，您的目標就是透過代數操作來整理表達式，從而可以應用這兩條特殊極限公式。
章節總結：您的求極限大計
覺得很混亂？毋須擔心！每次遇到極限問題時，只要跟著這個策略性步驟去做就行了。
- `x` 趨近什麼？
- 如果 `x → a`（一個數字）：請看步驟 2。
- 如果 `x → ∞`：請看步驟 3。
- `x → a` 策略：
- 嘗試直接代入法。如果結果是一個數，您就完成了！
- 如果您得到 $$ \frac{0}{0} $$，就是時候用代數了。
- 如果您見到多項式，就因式分解及約簡。
- 如果您見到平方根，就用共軛式有理化。
- 如果您見到 `sin(x)` 或 `e^x - 1` 而且 `x → 0`，就嘗試使用特殊極限。
- `x → ∞` 策略：
- 這幾乎總是理函數。
- 確定分母中 `x` 的最高次冪。
- 將每個項都除以這個 `x` 的次冪。
- 簡化並使用 $$ \frac{c}{x^n} \to 0 $$ 的規則。
就是這麼簡單！極限是通往微積分其他部分的大門。多練習這些技巧，您就會表現得很好。您一定可以的！