數學歸納法

歡迎來到數學歸納法!

各位同學!你有沒有想過,我們怎樣才能證明一個數學陳述對於每一個正整數 (例如 1, 2, 3,以至無限大) 都成立,而又不需要逐個驗證呢?這聽起來好像是不可能的任務,對嗎?這時候,數學歸納法就大派用場了!這是一種既強大又優雅的證明技巧,有點像連鎖反應一樣。

如果你覺得這個名字聽起來有點嚇人,不用擔心。你可以把它想像成一道菜譜。只要你按照步驟正確操作,每次都能得到正確的結果。在本章中,我們將學習這套「菜譜」,用來證明各種陳述,特別是涉及數列求和的題目。

甚麼是數學歸納法?骨牌效應的比喻

想像你有一條無限長的骨牌陣,每一塊骨牌都代表一個正整數 (1, 2, 3, ...)。

你怎樣才能確定可以把所有骨牌都推倒呢?

你只需要做兩件事:

  1. 推倒第一塊骨牌。 (這是起點)。
  2. 確保如果任何一塊骨牌倒下,它必定會推倒下一塊骨牌。 (這確保了連鎖反應會一直持續下去)。

如果你能保證這兩件事,你就能肯定所有骨牌都會倒下。數學歸納法正是以完全相同的方式運作!

  • 「第一塊骨牌」稱為基本情況 (Base Case)
  • 「連鎖反應」的部分稱為歸納步驟 (Inductive Step)

數學歸納法的三個步驟 (這套「菜譜」)

每一個數學歸納法的證明都遵循相同的邏輯結構。我們將要證明的陳述稱為「P(n)」。例如,P(n) 可以是這個陳述:「$$1+2+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$$」。

以下是這些必要步驟。請把它們記下來!

步驟一:基本情況 (Base Case) (推倒第一塊骨牌)

你的目標是證明陳述 P(n) 在第一個可能的值,通常是 n = 1 時成立。

  • 將 n=1 代入方程的左方 (LHS)。
  • 將 n=1 代入方程的右方 (RHS)。
  • 證明左方等於右方 (LHS = RHS)。

一旦你證明了這一點,就代表 P(1) 成立了。第一塊骨牌已經倒下!

步驟二:歸納假設 (The Inductive Hypothesis) (假設)

這是「連鎖反應」的部分。我們從一個假設開始。

我們假設 P(n) 對於某個任意正整數 n = k 成立。這就像假設某塊隨機的骨牌「k」已經倒下了。

這一步你只需要將原始陳述 P(n) 中的 'n' 替換為 'k'。例如:

「假設 P(k) 對於某個正整數 k 成立,即 $$1+2+...+k = \frac{k(k+1)}{2}$$」

重要提示:這是一個你將在下一步中使用的假設。這是你最重要的工具!

步驟三:歸納步驟 (Inductive Step) (證明連鎖反應)

這是證明的主體部分。你的目標是證明如果 P(k) 成立 (如果骨牌 k 倒下),那麼 P(k+1) 也必須成立 (它會推倒骨牌 k+1)

  1. 闡明你的目標:寫下你需要證明的內容。你需要證明 P(k+1) 成立。為此,將原始陳述中的 'n' 替換為 'k+1'。這就是你的「目標」。
    例如:我們要證明 $$1+2+...+k+(k+1) = \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}$$

  2. 從 P(k+1) 的左方開始:寫下你目標方程的左方。

  3. 運用步驟二的假設:這是關鍵時刻!P(k+1) 的左方將始終包含 P(k) 的左方。將該部分替換為你 P(k) 假設的右方。

  4. 使用代數運算:簡化表達式,直到它完美地與你的 P(k+1) 目標的右方匹配。
總結

一旦你完成了這三個步驟,就必須寫下一個總結陳述。這在考試中是會計分的!

「根據數學歸納法原理,P(n) 對於所有正整數 n 都成立。」

快速複習:助記符「B.A.P.C.」
  • B - 基本情況 (Base Case):證明 n=1 時成立。
  • A - 假設 (Assumption):假設 n=k 時成立。
  • P - 證明 (Proof):證明如果對於 k 成立,那麼對於 k+1 也必定成立。
  • C - 總結 (Conclusion):寫下最終的陳述。

讓我們看一個例子 (求和)

這是你在香港中學文憑考試 (HKDSE) 中最常遇到的題型。讓我們一起來做一道題吧。

問題:證明對於所有正整數 n,$$1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + ... + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$

解:

設 P(n) 為命題 $$1 \times 2 + 2 \times 3 + ... + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$

(B) 基本情況 (Base Case):當 n = 1 時,

左方 (LHS) = $$1(1+1) = 2$$

右方 (RHS) = $$\frac{1(1+1)(1+2)}{3} = \frac{1 \times 2 \times 3}{3} = 2$$

由於左方 = 右方,故 P(1) 成立。

(A) 假設 (Assumption):

假設 P(k) 對於某個正整數 k 成立。

即是,我們假設 $$1 \times 2 + 2 \times 3 + ... + k(k+1) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3}$$

(P) 證明 (歸納步驟):

我們要證明 P(k+1) 成立。我們的目標是證明:

$$1 \times 2 + ... + k(k+1) + (k+1)((k+1)+1) = \frac{(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)}{3}$$

簡化後為:

$$1 \times 2 + ... + k(k+1) + (k+1)(k+2) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$$

現在,讓我們從 P(k+1) 的左方開始:

左方 (LHS) = $$[1 \times 2 + 2 \times 3 + ... + k(k+1)] + (k+1)(k+2)$$

(請注意,方括號裡的部分就是我們假設的左方!)

運用步驟二的假設,我們代入:

左方 (LHS) = $$\frac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2)$$

現在我們使用代數運算來簡化。我們來找一個公分母:

左方 (LHS) = $$\frac{k(k+1)(k+2)}{3} + \frac{3(k+1)(k+2)}{3}$$

提取公因數 (k+1) 和 (k+2):

左方 (LHS) = $$\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$$

這與我們的 P(k+1) 目標的右方完全相同!因此,我們證明了如果 P(k) 成立,那麼 P(k+1) 也成立。

(C) 總結 (Conclusion):

根據數學歸納法原理,P(n) 對於所有正整數 n 都成立。

常見錯誤,務必避免!

  • 沒有使用假設:這是最大的錯誤!如果你在歸納步驟中沒有使用 P(k) 的假設,你的證明就是錯的。你沒有把骨牌連結起來。
  • 代數錯誤:在歸納步驟中簡化表達式時,務必小心。提取公因數通常比全部展開容易得多。
  • 倒推:切勿從 P(k+1) 的方程開始倒推。你必須從 P(k+1) 的左方開始,並通過邏輯步驟證明它等於右方。
  • 忘記寫總結:務必寫下最後的總結句子。這是一分很容易拿到的分數!

本章總結:重點回顧

數學歸納法是一種證明陳述對於所有正整數都成立的嚴謹方法。

核心概念:它就像一條骨牌鏈。你證明第一塊骨牌會倒下 (基本情況),然後你證明任何一塊倒下的骨牌都會推倒下一塊 (歸納步驟)。

「B.A.P.C.」方法:

  1. 基本情況 (Base Case):證明 P(1) 成立。
  2. 假設 (Assumption):假設 P(k) 成立。
  3. 證明 (Proof):利用 P(k) 的假設來證明 P(k+1) 成立。
  4. 總結 (Conclusion):寫下最終的陳述。

練習是掌握這個課題的絕對關鍵。步驟總是一樣的,但代數運算會有所不同。你練習得越多,就會越有信心。你一定能做到!