M2 第十一章:定積分的應用

各位同學!歡迎來到 M2 微積分中最具圖像感、最令人滿足的課題之一。你可曾想過建築師如何計算弧形圓頂的體積,又或是動畫師如何找出設計中複雜圖形的面積?秘密就在於定積分

在本章中,我們將會超越抽象的公式,運用我們的積分技巧來解決現實世界的幾何問題。我們將學習如何找出彎曲圖形的精確面積,以及三維物體的精準體積。這就是頁面上的數字變成你可以實際想像的形狀的地方。

如果積分對你來說還是有點棘手,別擔心。我們會一步一步地拆解所有概念。讓我們開始吧!


第一部分:尋找平面圖形的面積

大方向:快速溫習

還記得嗎,定積分 $$ \int_a^b f(x) \,dx $$ 會給出曲線 $$y = f(x)$$ 與 x 軸之間從 $$x=a$$ 到 $$x=b$$ 的帶符號面積

類比時間!想像你正在切割一條形狀奇特的麵包。積分就像一台機器,它把曲線下方的面積切割成無限多個超薄的垂直條狀(矩形),計算每個微小條狀的面積,然後將它們全部加起來,得出總面積。

這裡的關鍵詞是「帶符號」面積

  • 如果曲線在 x 軸上方,面積是正值
  • 如果曲線在 x 軸下方,面積是負值
這是超級重要的一點,務必記住!


曲線與 x 軸圍成的面積

這是最直接的應用。我們要找出實際面積,它必須總是正值。

分步指南:
  1. 繪畫圖像:這是最重要的一步!一個簡單的草圖可以幫助你看出面積是在 x 軸上方還是下方。
  2. 找出邊界:確定積分上下限 ab。這些限制可以由題目給出,也可以是曲線的 x 軸截距。
  3. 建立積分式:
    • 如果面積完全在 x 軸上方($$f(x) \ge 0$$),則面積簡單地為 $$ \text{面積} = \int_a^b f(x) \,dx $$。
    • 如果面積完全在 x 軸下方($$f(x) \le 0$$),積分會是負值。為了得到正面積,我們使用 $$ \text{面積} = -\int_a^b f(x) \,dx $$ 或 $$ \text{面積} = \left| \int_a^b f(x) \,dx \right| $$。
  4. 如果它橫越了 x 軸怎麼辦?如果曲線橫越 x 軸(部分在上方,部分在下方),你必須將積分分成幾個部分,並確保每個部分都得出正面積。
例子:x 軸下方的面積

找出由曲線 $$y = x^2 - 4$$、x 軸以及直線 $$x=0$$ 和 $$x=2$$ 所圍成的區域的面積。

  1. 繪圖:我們知道 $$y=x^2-4$$ 是一個開口向上、向下平移了 4 個單位的拋物線。在 x=0 和 x=2 之間,曲線位於 x 軸下方。
  2. 邊界:題目給出為 $$a=0$$ 和 $$b=2$$。
  3. 建立積分式:由於面積位於 x 軸下方,我們需要加入負號以使結果為正。 $$ \text{面積} = -\int_0^2 (x^2 - 4) \,dx $$
  4. 積分: $$ \text{面積} = -\left[ \frac{x^3}{3} - 4x \right]_0^2 $$ $$ \text{面積} = -\left( \left( \frac{2^3}{3} - 4(2) \right) - \left( \frac{0^3}{3} - 4(0) \right) \right) $$ $$ \text{面積} = -\left( \frac{8}{3} - 8 \right) = -\left( -\frac{16}{3} \right) = \frac{16}{3} \text{ 平方單位} $$
要避免的常見錯誤:

如果一條曲線橫越 x 軸,假設在 $$x=c$$ 處,千萬不要只從 $$a$$ 積分到 $$b$$。你必須分開計算 $$ \int_a^c f(x) \,dx $$ 和 $$ \int_c^b f(x) \,dx $$,取它們各自的絕對值,然後再相加。直接積分會導致正負面積互相抵消,給你錯誤的答案!


兩條曲線之間的面積

如果我們要找出兩個函數之間所夾的面積,例如 $$y=f(x)$$ 和 $$y=g(x)$$ 之間呢?

類比時間!想像你有一大塊長方形紙板($$\int f(x)dx$$),然後你從中剪出一個較小、彎曲的形狀($$\int g(x)dx$$)。剩餘部分的面積就是大長方形的面積減去剪下的形狀的面積。

這裡的概念是一樣的!公式是:

兩條曲線之間的面積 = $$ \int_a^b (\text{上方曲線} - \text{下方曲線}) \,dx $$

分步指南:
  1. 繪畫圖像:畫出兩條曲線,看看哪條在上方,哪條在下方。
  2. 找出交點:要找出積分上下限 ab,將兩個函數設為相等($$f(x) = g(x)$$),然後解出 x
  3. 識別上方/下方曲線:在區間 $$[a, b]$$ 中,確定哪個函數有較大的 y 值(即上方曲線)。
  4. 建立積分式並積分:使用公式 $$ \text{面積} = \int_a^b [f(x)_{\text{上方}} - g(x)_{\text{下方}}] \,dx $$。
記憶提示:

只需記住「上方減下方」。這個簡單的規則即使兩條曲線都在 x 軸下方也適用,因為減法會自動處理好符號!

例子:兩條曲線之間的面積

找出由 $$y=x+2$$ 和 $$y=x^2$$ 所圍成的區域的面積。

  1. 繪圖:$$y=x+2$$ 是一條直線。$$y=x^2$$ 是一個拋物線。在所圍成的區域內,直線在拋物線上方。
  2. 交點:將它們設為相等。$$ x^2 = x+2 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0 $$。所以它們在 $$x=-1$$ 和 $$x=2$$ 處相交。這些就是我們的積分上下限!
  3. 上方/下方曲線:在 -1 和 2 之間,直線 $$y=x+2$$ 是上方曲線,而 $$y=x^2$$ 是下方曲線。
  4. 積分: $$ \text{面積} = \int_{-1}^2 [(\text{上方}) - (\text{下方})] \,dx = \int_{-1}^2 [(x+2) - (x^2)] \,dx $$ $$ \text{面積} = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^2 $$ $$ \text{面積} = \left( \frac{2^2}{2} + 2(2) - \frac{2^3}{3} \right) - \left( \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) - \frac{(-1)^3}{3} \right) $$ $$ \text{面積} = \left( 2 + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right) = \left( \frac{10}{3} \right) - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \text{ 平方單位} $$
關於對 y 積分的簡短說明

有時,水平切割面積會更容易。在這種情況下,我們的函數形式為 $$x = f(y)$$,公式變為:

面積 = $$ \int_c^d (\text{右方曲線} - \text{左方曲線}) \,dy $$

這較不常見,但在某些問題中卻是大大的捷徑!

面積的重點

求面積就是將無限多條微小條狀加起來。永遠都要先繪畫圖像!對於曲線與 x 軸圍成的面積,要留意負面積區域。對於兩條曲線之間的面積,只需記住上方減下方右方減左方




第二部分:尋找旋轉體的體積

大方向:從二維面積到三維體積

現在來到真正精彩的部分!如果你將一個二維面積繞著一個軸旋轉,會發生什麼事?你會得到一個三維物體,稱為旋轉體

類比時間!想想陶藝轉盤。陶藝師從一個二維的輪廓(一條曲線)開始,然後將它旋轉以製作出一個三維的陶器。這正是我們在數學上所做的!

  • 將一個半圓繞著它的直徑旋轉,你會得到一個球體
  • 將一個矩形繞著它的一邊旋轉,你會得到一個圓柱體
  • 將一個三角形繞著它的一條邊旋轉,你會得到一個圓錐體

圓碟法

課程要求我們使用圓碟法。這是一個非常簡單美妙的想法。還記得我們用來計算面積的那些薄薄的垂直矩形嗎?如果我們將其中一個矩形繞著 x 軸旋轉,它就會掃描出一個薄薄的圓碟或硬幣的形狀。

  • 這個圓碟的半徑 (r) 是矩形的高度,也就是函數值 $$y = f(x)$$。
  • 這個圓碟的厚度是 x 的微小變化,我們稱之為 $$dx$$。
  • 單一圓碟的體積是 (圓面面積) × (厚度) = $$ (\pi r^2) \times dx = \pi [f(x)]^2 \,dx $$。

要找出總體積,我們只需將所有這些無限多個圓碟的體積加起來(積分)!

體積 (繞 x 軸旋轉) = $$ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \,dx $$

要避免的常見錯誤:

有兩個經典錯誤每個人至少會犯一次:

  1. 忘記將函數平方!它是 $$ \pi r^2 $$,所以你必須將積分內的函數平方。
  2. 忘記 $$\pi$$!不要漏掉 $$\pi$$。它是圓柱體體積公式的關鍵部分。

分步指南 (繞 x 軸旋轉):
  1. 繪畫你正在旋轉的二維區域。
  2. 識別旋轉軸(例如,x 軸)。
  3. 確定積分上下限 ab
  4. 找出半徑,$$r(x)$$。對於繞 x 軸旋轉,半徑簡單地為 $$r(x) = y = f(x)$$。
  5. 建立積分式並積分,使用公式 $$ V = \pi \int_a^b [r(x)]^2 \,dx $$。
例子:圓碟法

找出將 $$y=\sqrt{x}$$ 在 $$x=1$$ 到 $$x=4$$ 之間的區域繞 x 軸旋轉所生成的實體的體積。

  1. 繪圖:曲線 $$y=\sqrt{x}$$ 從原點開始並向上彎曲。
  2. 軸:x 軸。
  3. 上下限:題目給出為 $$a=1, b=4$$。
  4. 半徑:半徑是從 x 軸到曲線的距離,所以 $$r(x) = \sqrt{x}$$。
  5. 積分: $$ V = \pi \int_1^4 (\sqrt{x})^2 \,dx = \pi \int_1^4 x \,dx $$ $$ V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^4 $$ $$ V = \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{16}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{15\pi}{2} \text{ 立方單位} $$

圓環法 (中間有孔)

如果我們旋轉兩條曲線之間的面積呢?我們會得到一個內部有孔洞的實體,就像一個墊圈、冬甩或燈罩。邏輯很簡單:大實體的體積 - 孔洞的體積

  • 讓 $$R(x)$$ 為外半徑(從旋轉軸到外圍曲線的距離)。
  • 讓 $$r(x)$$ 為內半徑(從旋轉軸到內圍曲線的距離)。

體積公式是:

體積 (圓環法) = $$ V = \pi \int_a^b ( [R(x)]^2 - [r(x)]^2 ) \,dx $$

這只是將圓碟法應用兩次再相減!


繞其他軸旋轉

課程也要求繞平行於軸線的直線旋轉,例如 $$y=k$$ 或 $$x=h$$。別慌張!方法是一樣的。唯一改變的是你如何定義半徑。

關鍵永遠在於將半徑定義為從旋轉軸到曲線的距離。

假設我們將 $$y=f(x)$$ 下方的區域繞水平線 $$y=k$$ 旋轉:

  • 半徑是曲線與直線之間的垂直距離:$$ \text{半徑} = |f(x) - k| $$。
  • 要找出這個距離,你總是做(上方 - 下方)。所以,如果曲線在直線上方,半徑 = $$f(x)-k$$。如果直線在曲線上方,半徑 = $$k-f(x)$$。
  • 體積公式變為:$$ V = \pi \int_a^b (\text{半徑})^2 \,dx = \pi \int_a^b (f(x)-k)^2 \,dx $$。

同樣的邏輯也適用於繞垂直線 $$x=h$$ 旋轉,但你會對 y 積分。半徑將是 $$|g(y)-h|$$,計算為(右方 - 左方)。

你知道嗎?

希臘數學家阿基米德在 2000 多年前就使用了一種與此極其相似的方法!他將形狀在腦海中切成薄片,以找出它們的體積和面積,這種方法稱為「窮竭法」。當時甚至沒有「微積分」這個詞,他卻已經在做微積分了!

體積的重點

旋轉體的體積是透過加總無限多個薄薄的圓碟來找到的。核心公式是 $$ V = \pi \int (\text{半徑})^2 \times (\text{厚度}) $$。最難的部分是基於旋轉軸正確地識別半徑。永遠要畫圖來幫助你理解!


總結與快速參考

面積
  • $$f(x)$$ 與 x 軸圍成的面積: $$ \int_a^b f(x) \,dx $$。(小心軸線下方的區域!)
  • $$f(x)$$ 和 $$g(x)$$ 之間的面積: $$ \int_a^b (\text{上方曲線} - \text{下方曲線}) \,dx $$。
體積 (圓碟法/圓環法)
  • 繞 x 軸旋轉:
    半徑 $$r(x) = f(x)$$。
    $$ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \,dx $$
  • 繞 y 軸旋轉:
    函數必須是 $$x=g(y)$$。半徑 $$r(y) = g(y)$$。
    $$ V = \pi \int_c^d [g(y)]^2 \,dy $$
  • 繞水平線 $$y=k$$ 旋轉:
    半徑 $$r(x) = |f(x)-k|$$。
    $$ V = \pi \int_a^b [f(x)-k]^2 \,dx $$
  • 對於有孔洞的區域 (圓環法):
    使用 $$ V = \pi \int_a^b ([\text{外半徑}]^2 - [\text{內半徑}]^2) \,dx $$。

你已經學到尾聲了!這些應用是一個大步驟,但它們也非常有系統。成功的關鍵是永遠、永遠、永遠都要畫草圖,畫出代表性的矩形/圓碟。這將幫助你將問題圖像化並建立正確的積分式。

繼續練習,你很快就能掌握這個課題了。你一定做得到!