定積分:精確求面積及更多!

各位同學好!歡迎來到定積分的學習筆記。如果你曾經想過,我們怎樣才能找到一個彎曲、不規則圖形的「精確」面積,那麼你就來對地方了。這就是定積分的核心概念。

如果「積分」聽起來有點嚇人,別擔心。我們將會一步一步地拆解它。把它想成一種超能力,它不僅可以讓你計算面積,還可以計算複雜物體的體積。這是科學、工程,甚至經濟學中的一個基本工具。讓我們開始吧!


什麼是定積分?從長方形到精確面積

大概念:切片與求和

想像你有一片頂部邊緣彎曲的多士,你想找出它的精確面積。你會怎麼做呢?

一個方法是把它切成許多微小、薄薄的垂直條狀。每條都幾乎是一個完美的長方形。你可以計算每個長方形的面積(高 × 闊),然後把它們全部加起來。

這就是積分背後的基本概念!我們正在找出曲線 f(x) 在兩點 x = ax = b 之間的面積。

  • 我們將該面積切成無限多個超薄長方形。
  • 每個長方形的闊度是 x 的一個無窮小變化,我們稱之為 dx
  • 每個長方形的高度是函數值,即 f(x)
  • 積分就是把所有這些無限長方形的面積加起來的過程。

這個求和的過程由一個特殊符號——積分符號 ( ∫ ) 表示。

解讀符號

定積分的符號表示如下:

$$ \int_a^b f(x) dx $$

讓我們來拆解一下:

  • :這是積分符號。它的意思是「求和」。
  • ab:這些是積分上下限。我們正在尋找從起點 x = a(下限)到終點 x = b(上限)的面積。
  • f(x):這是被積分函數。它是我們正在測量其面積的函數(曲線)。它代表我們微小長方形的高度。
  • dx:這告訴我們正在對變數 x 進行積分。它代表我們長方形的微小闊度。
你知道嗎?啞變數

我們用於積分的變數實際上並不重要。它只是一個佔位符。這表示使用「x」來尋找面積,與使用「t」、「u」或其他任何字母是相同的。這就是啞變數(或虛設變數)的概念。

$$ \int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(t) dt $$

這樣想吧:如果你決定在整本書中把主角稱為「Gary Potter」,「哈利波特」的故事並不會改變。情節和結果都是一樣的!

重要提示

定積分 $$ \int_a^b f(x) dx $$ 代表了精確的累積值,最常見的是從 x = a 到 x = b 的 f(x) 的曲線下面積


微積分基本定理:終極捷徑

把無限多個長方形加起來聽起來不可能,對吧?幸運的是,我們有一個巧妙的捷徑,稱為微積分基本定理(FTC)。這個定理以一種美妙的方式將積分(尋找面積)與微分(尋找梯度/斜率)連結起來。

快速回顧:不定積分

還記得不定積分嗎?那就是我們尋找一個函數的「原函數」(或反導函數)的時候。例如,2x 的不定積分是 x² + C,因為 x² + C 的導數是 2x

定理本身

微積分基本定理為我們提供了一種計算定積分的簡單方法:

如果 F(x)f(x) 的原函數(不定積分),那麼:

$$ \int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) $$

就這麼簡單!不再需要長方形了。只需找出原函數,代入上限和下限,然後相減。

使用微積分基本定理的逐步指南
  1. 找出原函數:首先,找出 f(x) 的不定積分。我們將其稱為 F(x)(小貼士:對於定積分,你可以忽略「+ C」,因為它在相減時會互相抵消!F(b)+C - (F(a)+C) = F(b)-F(a)。)
  2. 代入上限:計算在 x = b 時原函數的值。這就是 F(b)
  3. 代入下限:計算在 x = a 時原函數的值。這就是 F(a)
  4. 相減:答案就是 F(b) - F(a)
讓我們試一個例子吧!

找出 $$ \int_1^3 x^2 dx $$ 的值。

  1. 原函數:f(x) = x² 的原函數是 $$ F(x) = \frac{x^3}{3} $$。
  2. 計算 F(b):上限是 b = 3。所以,$$ F(3) = \frac{3^3}{3} = \frac{27}{3} = 9 $$。
  3. 計算 F(a):下限是 a = 1。所以,$$ F(1) = \frac{1^3}{3} = \frac{1}{3} $$。
  4. 相減:$$ F(b) - F(a) = 9 - \frac{1}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} $$。

所以,$$ \int_1^3 x^2 dx = \frac{26}{3} $$。曲線 y = x² 從 x=1 到 x=3 的面積是 26/3 平方單位!

應避免的常見錯誤

永遠是上限減下限(F(b) - F(a))。一個非常常見的錯誤是意外地計算 F(a) - F(b),這會給你正確答案的負值。

重要提示

微積分基本定理讓我們可以透過找出原函數 F(x) 並計算 F(b) - F(a) 來輕鬆解決定積分。


規則手冊:定積分的性質

就像數字一樣,定積分也有一些性質,可以讓解題變得更容易。讓我們來看看這些規則。

基本性質

  • 交換積分上下限:如果你交換積分的上下限,答案的符號會反轉。
    $$ \int_b^a f(x) dx = - \int_a^b f(x) dx $$

  • 零闊度區間:從一點到該點自身的面積為零。
    $$ \int_a^a f(x) dx = 0 $$

  • 區間分割:你可以將一個積分分成兩部分。如果一個函數在中間改變了定義,這會很有用。
    $$ \int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx \quad (\text{對於 } a < b < c) $$

  • 常數倍數法則:你可以將常數乘數移出積分符號。
    $$ \int_a^b k \cdot f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx $$

  • 和/差法則:你可以逐項對和或差進行積分。
    $$ \int_a^b [f(x) \pm g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx $$

奇函數與偶函數的性質

這些是對稱區間(例如從 -a 到 a)積分的強大捷徑。首先,快速回顧一下:

  • 偶函數具有 y 軸對稱性。正式來說,f(-x) = f(x)。例子:x², x⁴, cos(x)
  • 奇函數具有關於原點的旋轉對稱性。正式來說,f(-x) = -f(x)。例子:x, x³, sin(x)

奇函數的性質:

當從 -a 到 a 積分一個奇函數時,左側的面積會抵消右側的面積。

$$ \int_{-a}^a f(x) dx = 0 \quad (\text{如果 } f(x) \text{ 是奇函數}) $$

例子:$$ \int_{-2}^2 x^3 dx = 0 $$

偶函數的性質:

當從 -a 到 a 積分一個偶函數時,左側的面積與右側的面積是相同的。所以你只需找出從 0 到 a 的面積並將其乘以兩倍!

$$ \int_{-a}^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx \quad (\text{如果 } f(x) \text{ 是偶函數}) $$

例子:$$ \int_{-1}^1 x^2 dx = 2 \int_0^1 x^2 dx $$

助記方法

(Odd)(Out)消。
(Even)是額外(Extra)的(一倍變兩倍!)。

重要提示

了解定積分的性質可以為你節省大量的計算時間和精力,尤其是在對稱區間內的奇/偶函數法則。


高級技巧:換元法與分部積分法

有時候,積分太複雜了,無法直接求解。就像不定積分一樣,我們可以使用換元法和分部積分法等技巧,但對於積分上下限,多了一個額外且關鍵的步驟。

1. 換元積分法(用於定積分)

我們將其用於複合函數(一個函數在另一個函數內部)。關鍵區別在於,當我們將變數從 x 變為 u 時,我們還必須將積分上下限x 值改變為 u 值。

逐步指南
  1. 選擇「u」:選擇「內函數」作為你的 u
  2. 找出 du:u 求導以找到 du/dx,並重新排列以解出 dx
  3. 改變積分上下限:
    • 這是最重要的一步!
    • 將你原始的上限 (x=b) 代入 u 的替換式,以找出新的上限
    • 將你原始的下限 (x=a) 代入 u 的替換式,以找出新的下限
  4. 代入並積分:將積分中的所有內容替換為 u 的項(包括新的上下限)並求解。你不需要再代回 x
例子:$$ \int_0^1 (2x+1)^3 dx $$
  1. 選擇 u:設 $$ u = 2x+1 $$。
  2. 找出 du:$$ \frac{du}{dx} = 2 $$,所以 $$ dx = \frac{du}{2} $$。
  3. 改變上下限:
    • 上限:當 x = 1 時,$$ u = 2(1)+1 = 3 $$。
    • 下限:當 x = 0 時,$$ u = 2(0)+1 = 1 $$。
  4. 代入並積分:我們的積分變為...
    $$ \int_1^3 u^3 \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_1^3 u^3 du = \frac{1}{2} [\frac{u^4}{4}]_1^3 $$ $$ = \frac{1}{8} [u^4]_1^3 = \frac{1}{8} (3^4 - 1^4) = \frac{1}{8}(81-1) = \frac{80}{8} = 10 $$
應避免的常見錯誤

最大的錯誤是忘記改變積分上下限。如果你不改變上下限,你就無法用「u」來計算積分。

2. 分部積分法(用於定積分)

用於積分兩個函數的乘積。公式與不定積分的公式略有不同。

$$ \int_a^b u \frac{dv}{dx} dx = [uv]_a^b - \int_a^b v \frac{du}{dx} dx $$

請記住,$$[uv]_a^b$$ 部分表示你在 x=b 處計算 uv,然後減去在 x=a 處的 uv

例子:$$ \int_0^\pi x \sin(x) dx $$
  1. 選擇 u 和 dv/dx:設 $$ u = x $$ 及 $$ \frac{dv}{dx} = \sin(x) $$。
  2. 找出 du/dx 和 v:$$ \frac{du}{dx} = 1 $$ 及 $$ v = -\cos(x) $$。
  3. 套用公式:
    $$ \int_0^\pi x \sin(x) dx = [x(-\cos(x))]_0^\pi - \int_0^\pi (-\cos(x))(1) dx $$
  4. 計算並簡化:
    $$ = [-\pi\cos(\pi) - (-0\cos(0))] + \int_0^\pi \cos(x) dx $$ $$ = [-\pi(-1) - 0] + [\sin(x)]_0^\pi $$ $$ = \pi + [\sin(\pi) - \sin(0)] $$ $$ = \pi + [0 - 0] = \pi $$

好消息是!課程大綱中指出,分部積分法在求解積分時,最多只會使用兩次。所以你不會遇到超長的連鎖反應。

重要提示

當使用定積分的高級技巧時,請記住要正確處理積分上下限。對於換元法,將上下限更改為與新變數相符。對於分部積分法,對公式的每個部分在上下限之間進行評估。


應用:求面積和體積

現在來到最令人興奮的部分了!讓我們運用新學到的技能來解決真實的、具象的問題。

求平面圖形的面積

1. 曲線與 x 軸之間的面積

這是最直接的應用。

  • 如果面積在 x 軸上方 (f(x) > 0),則面積僅為:
    $$ A = \int_a^b f(x) dx $$
  • 如果面積在 x 軸下方 (f(x) < 0),積分會得出一個負值。由於面積必須是正數,我們取絕對值(或者直接在前面加一個負號):
    $$ A = \left| \int_a^b f(x) dx \right| = - \int_a^b f(x) dx $$
2. 兩條曲線之間的面積

要找出兩條曲線 f(x)g(x) 之間的面積,你只需積分上方曲線下方曲線之間的差。

如果 f(x) 在區間 [a, b] 上方於 g(x),則面積為:

$$ A = \int_a^b [\text{上方函數} - \text{下方函數}] dx = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx $$

求旋轉體的體積(圓盤法)

想像一下,將一條曲線下的二維面積繞著一條軸旋轉。這會產生一個三維實體,就像一個花瓶或一個碗。我們可以使用積分來找出它的體積!

秘訣是將該實體想像成由無限多個薄薄的圓形切片,即「圓盤」組成。

  • 每個圓盤的厚度dx
  • 每個圓盤的半徑是函數的高度,即 r = y = f(x)
  • 一個微小圓盤的體積是 $$ dV = (\text{圓形面積}) \times (\text{厚度}) = \pi r^2 dx = \pi [f(x)]^2 dx $$。

為了得到總體積,我們積分(求和)所有圓盤的體積。

體積公式(繞 x 軸旋轉)
$$ V = \int_a^b \pi [f(x)]^2 dx $$
體積公式(繞 y 軸旋轉)

如果你將曲線 x = g(y) 繞著 y 軸從 y=c 到 y=d 旋轉,邏輯是相同的,只是變數互換:

$$ V = \int_c^d \pi [g(y)]^2 dy $$
例子:找出當 y = x² 繞著 x 軸從 x=0 到 x=2 旋轉時的體積。
$$ V = \int_0^2 \pi (x^2)^2 dx = \pi \int_0^2 x^4 dx $$ $$ = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^2 = \pi \left( \frac{2^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) $$ $$ = \pi \left( \frac{32}{5} - 0 \right) = \frac{32\pi}{5} $$

體積是 $$ \frac{32\pi}{5} $$ 立方單位。

重要提示

定積分是幾何學中一個強大的工具。使用 $$ \int (\text{上方函數} - \text{下方函數}) $$ 來計算曲線之間的面積,並使用 $$ \int \pi r^2 $$ 來計算旋轉體的體積。如果面積在 x 軸下方,務必小心!