奇偶函數:函數對稱性學習指南!
各位同學好!歡迎來到我們關於奇函數和偶函數的學習筆記。唔使擔心呢個概念聽落有啲奇怪喎——我哋而家講嘅唔係數字嘅奇偶,而係函數嘅一種特殊性質嚟㗎!你可以想像係賦予函數一種「個性」:有啲函數完美平衡且對稱(偶函數),而有啲則有型格嘅旋轉平衡(奇函數)。
喺M2入面,理解呢個概念超實用!佢可以幫你預測圖像嘅樣貌,亦可以喺之後嘅微積分問題中大大縮短解題時間。咁,事不宜遲,我哋開始啦!
咩係偶函數?「蝴蝶」對稱
想像一隻蝴蝶。如果你沿住佢嘅身體摺埋雙翼,左右兩邊會完美重疊。偶函數就係咁樣㗎!佢哋嘅圖像會完美地關於y軸對稱。
呢個意思係,y軸左邊嘅圖像部分,就好似右邊部分嘅鏡像咁。
圖形檢定法
如果你將圖像沿住y軸「對摺」,兩半能夠完美重疊,咁佢就係一個偶函數。睇吓下面$$f(x) = x^2$$嘅圖像,佢就係一個經典嘅偶函數例子。
代數檢定法(正式定義)
雖然觀察圖像好有幫助,但我哋都需要一個實實在在嘅數學方法去證明佢。規則如下:
對於函數$$f(x)$$定義域內嘅每一個$$x$$,如果$$f(-x) = f(x)$$,咁$$f(x)$$就係一個偶函數。
呢句嘢咩意思呢?佢嘅意思係,如果你代入一個負數嘅x值,你會得到同代入嗰個x值嘅正數版本時完全相同嘅輸出。我哋用一個例子嚟測試吓啦。
例子:$$f(x) = x^4 - 2x^2$$ 係咪偶函數?
步驟1: 寫下原函數$$f(x)$$。
$$f(x) = x^4 - 2x^2$$
步驟2: 將每一個「x」都替換成「(-x)」,以找出$$f(-x)$$。切記要用括號!呢點非常重要。
$$f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2$$
步驟3: 化簡$$f(-x)$$嘅表達式。記住負數嘅偶次方會變成正數。
$$f(-x) = (x^4) - 2(x^2)$$
$$f(-x) = x^4 - 2x^2$$
步驟4: 將你嘅結果同原函數$$f(x)$$比較。
我哋發現$$f(-x) = x^4 - 2x^2$$。
原函數係$$f(x) = x^4 - 2x^2$$。
佢哋完全一樣!由於$$f(-x) = f(x)$$,所以呢個函數係偶函數。
特殊例子:絕對值函數
根據課程要求,你需要知道絕對值函數$$f(x) = |x|$$係一個偶函數。
- 圖形上: $$f(x) = |x|$$嘅圖像係一個V字形,頂點位於原點。佢完全關於y軸對稱。
- 代數上: 等我哋測試吓。
$$f(x) = |x|$$
$$f(-x) = |-x|$$
因為負數嘅絕對值就係佢嘅正數對應值,所以$$|-x| = |x|$$。
咁樣,$$f(-x) = f(x)$$。證實咗佢係一個偶函數!
偶函數記憶小貼士
諗吓多項式函數。如果所有x嘅次方都係偶數(例如$$f(x) = 3x^6 - x^2 + 5$$),咁呢個函數通常都係偶函數。常數項(好似+5咁)可以被視為$$5x^0$$,而0都係一個偶數嚟㗎!
偶函數重點總結
- 代數檢定: $$f(-x) = f(x)$$
- 對稱性: 關於y軸對稱(鏡像)。
- 經典例子: $$f(x) = x^2$$、$$f(x) = \cos(x)$$、$$f(x) = |x|$$
咩係奇函數?「風車」對稱
奇函數有一種唔同嘅平衡。佢哋係關於原點(0,0)對稱嘅。
想像一下一個風車。如果你將圖像繞住原點旋轉180°,佢會同你旋轉之前嘅樣完全一樣。
圖形檢定法
如果你將圖像繞住原點旋轉180°,而佢能夠同原本嘅位置完全重疊,咁佢就係一個奇函數。睇吓$$f(x) = x^3$$嘅圖像,佢就擁有呢種型格嘅旋轉對稱性。
代數檢定法(正式定義)
奇函數嘅規則如下:
對於函數$$f(x)$$定義域內嘅每一個$$x$$,如果$$f(-x) = -f(x)$$,咁$$f(x)$$就係一個奇函數。
呢個意思係,如果你代入一個負數嘅x值,你會得到同代入嗰個x值嘅正數版本時,輸出值嘅負數。
例子:$$f(x) = x^3 - 4x$$ 係咪奇函數?
步驟1: 寫下原函數$$f(x)$$。
$$f(x) = x^3 - 4x$$
步驟2: 將每一個「x」都替換成「(-x)」,以找出$$f(-x)$$。
$$f(-x) = (-x)^3 - 4(-x)$$
步驟3: 化簡$$f(-x)$$嘅表達式。記住負數嘅奇次方會保持負數。
$$f(-x) = -x^3 + 4x$$
步驟4: 將$$f(-x)$$同$$-f(x)$$比較。要搵出$$-f(x)$$,只需要將成個原函數乘以-1。
$$-f(x) = -(x^3 - 4x) = -x^3 + 4x$$
睇吓!我哋$$f(-x)$$嘅結果同$$-f(x)$$完全一樣!
由於$$f(-x) = -f(x)$$,所以呢個函數係奇函數。
奇函數記憶小貼士
你估到啦!對於多項式函數,如果所有x嘅次方都係奇數(例如$$f(x) = 2x^5 - 9x^3 + x$$)並且冇常數項,咁呢個函數通常都係奇函數。
奇函數重點總結
- 代數檢定: $$f(-x) = -f(x)$$
- 對稱性: 關於原點對稱(180°旋轉對稱)。
- 經典例子: $$f(x) = x^3$$、$$f(x) = x$$、$$f(x) = \sin(x)$$
如果函數既唔係奇,又唔係偶呢?
呢點真係非常重要:大部分函數都既唔係奇,又唔係偶!
唔好跌入陷阱,以為函數「一定要」係奇函數或偶函數其中一種。如果一個函數偶函數同奇函數嘅測試都過唔到,咁佢就係「既唔係奇,又唔係偶」啦。
例子:$$f(x) = x^2 + 3x$$ 係奇函數、偶函數定係既唔係奇又唔係偶?
步驟1: 找出$$f(-x)$$。
$$f(-x) = (-x)^2 + 3(-x)$$
$$f(-x) = x^2 - 3x$$
步驟2: 檢查佢係咪偶函數。係咪$$f(-x) = f(x)$$?
$$x^2 - 3x$$同$$x^2 + 3x$$係咪一樣?唔係。 所以,佢唔係偶函數。
步驟3: 檢查佢係咪奇函數。係咪$$f(-x) = -f(x)$$?
首先,搵出$$-f(x) = -(x^2 + 3x) = -x^2 - 3x$$。
$$x^2 - 3x$$同$$-x^2 - 3x$$係咪一樣?唔係。 所以,佢唔係奇函數。
結論: 由於呢個函數既唔係偶函數又唔係奇函數,所以佢係既唔係奇又唔係偶。佢嘅圖像既唔會有y軸對稱性,亦唔會有原點對稱性。
「既唔係奇又唔係偶」嘅重點總結
- 代數檢定: $$f(-x)$$既唔等於$$f(x)$$,亦都唔等於$$-f(x)$$。
- 對稱性: 無y軸對稱性或原點對稱性。
- 重要: 呢種係函數最常見嘅類別!
快速總結與大局觀
以下係一個簡單嘅表格總結。你可以用佢嚟快速溫習!
| | 偶函數 | 奇函數 | 既唔係奇又唔係偶 | |------------------|-----------------------------------|-----------------------------------|----------------------------------------------| | 代數檢定 | $$f(-x) = f(x)$$ | $$f(-x) = -f(x)$$ | 兩項測試都失敗 | | 圖形對稱 | 關於y軸對稱 | 關於原點對稱 | 無特殊對稱性 | | 例子 | $$f(x) = x^2$$、$$f(x) = |x|$$ | $$f(x) = x^3$$、$$f(x) = x$$ | $$f(x) = x+1$$、$$f(x) = \sqrt{x}$$ |
你知唔知?
你平時經常用到嘅三角函數都擁有呢啲性質㗎!
- 餘弦函數(Cosine)係偶函數: $$\cos(-x) = \cos(x)$$
- 正弦函數(Sine)係奇函數: $$\sin(-x) = -\sin(x)$$
呢個知識喺你學習微積分中嘅定積分(definite integrals)時會變得非常有用。例如,喺一個對稱區間(好似由-5到5)內對一個奇函數進行積分,答案永遠都係零!呢個係一個超實用嘅捷徑嚟㗎!
叻仔/叻女,搞掂咗呢個課題啦!慢慢嚟,多啲練習代數檢定,你好快就可以成為辨認奇偶函數嘅高手㗎啦。