數學 單元二 (代數與微積分) | 奇函數和偶函數

奇偶函數：函數對稱性學習指南！

各位同學好！歡迎來到我們關於奇函數和偶函數的學習筆記。不用擔心這個概念聽起來有些奇怪——我們現在說的不是數字的奇偶，而是函數的一種特殊性質！你可以想像成賦予函數一種「個性」：有些函數完美平衡且對稱（偶函數），而有些則有風格的旋轉平衡（奇函數）。

在M2課程中，理解這個概念非常實用！它可以幫助你預測圖像的樣貌，也可以在之後的微積分問題中大大縮短解題時間。那麼，事不宜遲，我們開始吧！

什麼是偶函數？「蝴蝶」對稱

想像一隻蝴蝶。如果你沿著牠的身體摺疊雙翼，左右兩邊會完美重疊。偶函數就是這樣！它們的圖像會完美地關於y軸對稱。

這意味著，y軸左邊的圖像部分，就像右邊部分的鏡像一樣。

如果你將圖像沿著y軸「對摺」，兩半能夠完美重疊，那麼它就是一個偶函數。看看下面$$f(x) = x^2$$的圖像，它就是一個經典的偶函數例子。

雖然觀察圖像很有幫助，但我們也需要一個實實在在的數學方法來證明它。規則如下：

對於函數$$f(x)$$定義域內的每一個$$x$$，如果$$f(-x) = f(x)$$，那麼$$f(x)$$就是一個偶函數。

這句話是什麼意思呢？它的意思是，如果你代入一個負數的x值，你會得到與代入那個x值的正數版本時完全相同的輸出。我們用一個例子來測試一下吧。

例子：$$f(x) = x^4 - 2x^2$$ 是偶函數嗎？

步驟1： 寫下原函數$$f(x)$$。
$$f(x) = x^4 - 2x^2$$

步驟2： 將每一個「x」都替換成「(-x)」，以找出$$f(-x)$$。切記要用括號！這點非常重要。
$$f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2$$

步驟3： 化簡$$f(-x)$$的表達式。記住負數的偶次方會變成正數。
$$f(-x) = (x^4) - 2(x^2)$$
$$f(-x) = x^4 - 2x^2$$

步驟4： 將你的結果與原函數$$f(x)$$比較。
我們發現$$f(-x) = x^4 - 2x^2$$。
原函數是$$f(x) = x^4 - 2x^2$$。
它們完全一樣！由於$$f(-x) = f(x)$$，所以這個函數是偶函數。

特殊例子：絕對值函數

根據課程要求，你需要知道絕對值函數$$f(x) = |x|$$是一個偶函數。

• 圖形上： $$f(x) = |x|$$的圖像是一個V字形，頂點位於原點。它完全關於y軸對稱。
• 代數上： 讓我們測試一下。
  $$f(x) = |x|$$
  $$f(-x) = |-x|$$
  因為負數的絕對值就是它的正數對應值，所以$$|-x| = |x|$$。
  這樣，$$f(-x) = f(x)$$。證實了它是一個偶函數！

偶函數記憶小貼士

想想多項式函數。如果所有x的次方都是偶數（例如$$f(x) = 3x^6 - x^2 + 5$$），那麼這個函數通常就是偶函數。常數項（像+5一樣）可以被視為$$5x^0$$，而0也是一個偶數！

偶函數重點總結

• 代數檢定： $$f(-x) = f(x)$$
• 對稱性： 關於y軸對稱（鏡像）。
• 經典例子： $$f(x) = x^2$$、$$f(x) = ext{cos}(x)$$、$$f(x) = |x|$$

什麼是奇函數？「風車」對稱

奇函數有一種不同的平衡。它們是關於原點(0,0)對稱的。

想像一下一個風車。如果你將圖像繞著原點旋轉180°，它會和你旋轉之前的樣子完全一樣。

如果你將圖像繞著原點旋轉180°，而它能夠與原本的位置完全重疊，那麼它就是一個奇函數。看看$$f(x) = x^3$$的圖像，它就擁有這種風格的旋轉對稱性。

奇函數的規則如下：

對於函數$$f(x)$$定義域內的每一個$$x$$，如果$$f(-x) = -f(x)$$，那麼$$f(x)$$就是一個奇函數。

這意味著，如果你代入一個負數的x值，你會得到與代入那個x值的正數版本時，輸出值的負數。

例子：$$f(x) = x^3 - 4x$$ 是奇函數嗎？

步驟1： 寫下原函數$$f(x)$$。
$$f(x) = x^3 - 4x$$

步驟2： 將每一個「x」都替換成「(-x)」，以找出$$f(-x)$$。
$$f(-x) = (-x)^3 - 4(-x)$$

步驟3： 化簡$$f(-x)$$的表達式。記住負數的奇次方會保持負數。
$$f(-x) = -x^3 + 4x$$

步驟4： 將$$f(-x)$$與$$-f(x)$$比較。要找出$$-f(x)$$，只需要將整個原函數乘以-1。
$$-f(x) = -(x^3 - 4x) = -x^3 + 4x$$
看看！我們$$f(-x)$$的結果與$$-f(x)$$完全一樣！
由於$$f(-x) = -f(x)$$，所以這個函數是奇函數。

奇函數記憶小貼士

你猜對了！對於多項式函數，如果所有x的次方都是奇數（例如$$f(x) = 2x^5 - 9x^3 + x$$）並且沒有常數項，那麼這個函數通常就是奇函數。

奇函數重點總結

• 代數檢定： $$f(-x) = -f(x)$$
• 對稱性： 關於原點對稱（180°旋轉對稱）。
• 經典例子： $$f(x) = x^3$$、$$f(x) = x$$、$$f(x) = ext{sin}(x)$$

如果函數既不是奇函數，也不是偶函數呢？

這點真的非常重要：大部分函數都既不是奇函數，也不是偶函數！

不要掉入陷阱，以為函數「一定要」是奇函數或偶函數其中一種。如果一個函數偶函數與奇函數的測試都過不了，那麼它就是「既不是奇函數，也不是偶函數」了。

例子：$$f(x) = x^2 + 3x$$ 是奇函數、偶函數還是既不是奇函數也不是偶函數？

步驟1： 找出$$f(-x)$$。
$$f(-x) = (-x)^2 + 3(-x)$$
$$f(-x) = x^2 - 3x$$

步驟2： 檢查它是不是偶函數。是不是$$f(-x) = f(x)$$？
$$x^2 - 3x$$與$$x^2 + 3x$$是不是一樣？不是。 所以，它不是偶函數。

步驟3： 檢查它是不是奇函數。是不是$$f(-x) = -f(x)$$？
首先，找出$$-f(x) = -(x^2 + 3x) = -x^2 - 3x$$。
$$x^2 - 3x$$與$$-x^2 - 3x$$是不是一樣？不是。 所以，它不是奇函數。

結論： 由於這個函數既不是偶函數也不是奇函數，所以它是既不是奇函數也不是偶函數。它的圖像既不會有y軸對稱性，也不會有原點對稱性。

「既不是奇函數也不是偶函數」的重點總結

• 代數檢定： $$f(-x)$$既不等於$$f(x)$$，也不等於$$-f(x)$$。
• 對稱性： 無y軸對稱性或原點對稱性。
• 重要： 這種是函數最常見的類別！

快速總結與大局觀

以下是一個簡單的表格總結。你可以用它來快速溫習！

| | 偶函數 | 奇函數 | 既不是奇函數也不是偶函數 |
|------------------|-----------------------------------|-----------------------------------|----------------------------------------------|
| 代數檢定 | $$f(-x) = f(x)$$ | $$f(-x) = -f(x)$$ | 兩項測試都失敗 |
| 圖形對稱 | 關於y軸對稱 | 關於原點對稱 | 無特殊對稱性 |
| 例子 | $$f(x) = x^2$$、$$f(x) = |x|$$ | $$f(x) = x^3$$、$$f(x) = x$$ | $$f(x) = x+1$$、$$f(x) = ext{sqrt}(x)$$ |

你知道嗎？

你平時經常用到的三角函數都擁有這些性質！
- 餘弦函數（Cosine）是偶函數： $$ ext{cos}(-x) = ext{cos}(x)$$
- 正弦函數（Sine）是奇函數： $$ ext{sin}(-x) = - ext{sin}(x)$$
這個知識在你學習微積分中的定積分（definite integrals）時會變得非常有用。例如，在一個對稱區間（像從-5到5）內對一個奇函數進行積分，答案永遠都是零！這是一個非常實用的捷徑！

聰明的你，已經完成這個課題了！慢慢來，多練習代數檢定，你很快就可以成為辨認奇偶函數的高手了。