數學科 M2 (代數與微積分)：向量簡介
各位同學您好！歡迎來到 M2 其中一個最形象化、最實用課題的學習筆記：向量。就算名稱聽起來有些陌生也無須擔心。向量僅是一種很好的方法來描述一些同時具有「大小」和「方向」的量。試想如何指路：「向北行 500 米」。當中的「500 米」就是大小，「向北」就是方向。這就是一個向量了！
在這個章節，我們將學習如何運用向量的語言，如何將它們加減，以及如何在坐標系統中處理它們。這個課題在物理學、電腦圖像、工程學，甚至是電子遊戲設計方面都非常實用！
1. 什麼是向量與純量？
在數學與科學中，我們會用兩種類型的量來描述世界：
純量：就是一個數字
純量是指僅具有大小（簡單來說就是「數值」或者「數量」）的量。
例子：
您的身高 (例如：1.7 米)
溫度 (例如：25°C)
汽車的速率 (例如：50 km/h)
您擁有的金錢數目 (例如：$100)
這些全部都僅是數字。它們沒有方向。
向量：一個數字「加」一個方向
向量是指同時具有大小「以及」方向的量。這就是最主要的分別！
例子：
速度：一輛汽車以 50 km/h 的速率向東行駛。
力：以 20 牛頓的力向下推一個箱。
位移：從您家向北步行 1 公里。
如何書寫與繪製向量
繪製向量很簡單！我們僅使用箭頭來表示。箭頭的長度代表它的大小，而箭頭指向的方向就是向量的方向。
向量記法：
在課本中，您會看到向量會用粗體字表示，例如 a 或者 v。
當您手寫時，則應在字母上面加一個箭頭，例如 $$ ag{latex} ext{\vec{a}} $$ 或者 $$ ag{latex} ext{\vec{v}} $$。
從 A 點到 B 點的向量，會寫作 $$ ag{latex} ext{\vec{AB}} $$。
大小記法：
向量 a 的大小（或者長度）會寫作 $$ ag{latex} ext{|\textbf{a}|} $$ 或者 $$ ag{latex} ext{|\vec{a}|} $$。大小永遠是一個正數或者零（它是一個純量！）。
特殊類型的向量
零向量：這個向量的大小為零，沒有特定方向。它會寫作 0 或者 $$ ag{latex} ext{\vec{0}} $$。您可以將其想像為「不要移動」的指令。
單位向量：這是一個非常重要的概念！單位向量是指任何大小恰好為 1 的向量。單位向量用來描述方向。沿著向量 a 方向的單位向量，通常會寫作 $$ ag{latex} ext{\hat{\textbf{a}}} $$。
重點提示
純量僅是數字（大小）。向量同時具有大小和方向。請記住：速度是向量，但速率是純量！
2. 向量運算：基本法則
就像數字一樣，我們也可以對向量進行加、減、乘等運算。儘管有些許不同，但背後的邏輯都很簡單！
向量加法
如何將兩個向量相加，例如 $$ ag{latex} ext{\vec{a}} $$ 和 $$ ag{latex} ext{\vec{b}} $$？我們可以將其想像成「依序遵循兩組指示」。
三角形法則（或者「首尾相接法」）：
繪出第一個向量 $$ ag{latex} ext{\vec{a}} $$。
從 $$ ag{latex} ext{\vec{a}} $$ 的箭頭（終點）開始繪製第二個向量 $$ ag{latex} ext{\vec{b}} $$。
所得的向量 $$ ag{latex} ext{\vec{a} + \vec{b}} $$，就是從 $$ ag{latex} ext{\vec{a}} $$ 的尾端（起點）繪製到 $$ ag{latex} ext{\vec{b}} $$ 的箭頭（終點）的箭頭。
比喻：想像您先向東行 3 公里 ($$ ag{latex} ext{\vec{a}} $$)，然後再向北行 4 公里 ($$ ag{latex} ext{\vec{b}} $$)。向量 $$ ag{latex} ext{\vec{a} + \vec{b}} $$ 就代表了從您起點到終點的直線路徑。
向量減法
要減去一個向量，我們僅是將其負向量加上去。但什麼是負向量呢？
向量 $$ ag{latex} ext{-\vec{b}} $$ 是一個與 $$ ag{latex} ext{\vec{b}} $$ 具有相同大小，但方向完全相反的向量。
所以，要計算 $$ ag{latex} ext{\vec{a} - \vec{b}} $$，我們僅需執行 $$ ag{latex} ext{\vec{a} + (-\vec{b})} $$。我們只需將 $$ ag{latex} ext{\vec{b}} $$ 的方向反轉，然後使用首尾相接法即可！
純量乘法
這表示將一個向量乘以一個純量（即一個普通數字）。假設我們有一個向量 a 和一個純量 k。
如果 k 是正數，向量 ka 的方向與 a 的方向相同。
如果 k 是負數，向量 ka 的方向與 a 的方向相反。
ka 的大小是 $$ ag{latex} ext{|k| |\textbf{a}|} $$。我們僅是將原向量的大小乘以純量的絕對值。
例子：向量 2a 的方向與 a 相同，但長度是 a 的兩倍。向量 -0.5a 的方向與 a 相反，長度是 a 的一半。
向量運算的性質
好消息是！向量運算也遵循一些大家非常熟悉的規則。對於任何向量 a、b、c 以及純量 λ、μ：
$$ ag{latex} ext{\textbf{a} + \textbf{b} = \textbf{b} + \textbf{a}} $$ （加法的次序不影響結果）
$$ ag{latex} ext{(\textbf{a} + \textbf{b}) + \textbf{c} = \textbf{a} + (\textbf{b} + \textbf{c})} $$ （加法的組合方式不影響結果）
$$ ag{latex} ext{\textbf{a} + \textbf{0} = \textbf{a}} $$ （加上零向量不會改變向量）
$$ ag{latex} ext{(\lambda + \mu)\textbf{a} = \lambda\textbf{a} + \mu\textbf{a}} $$ （純量的分配律）
$$ ag{latex} ext{\lambda(\textbf{a} + \textbf{b}) = \lambda\textbf{a} + \lambda\textbf{b}} $$ （向量的分配律）
$$ ag{latex} ext{\lambda(\mu\textbf{a}) = (\lambda\mu)\textbf{a}} $$ （純量乘法的組合方式不影響結果）
重點提示
向量相加就像依序行走路徑般（首尾相接法）。相減僅是加上相反方向的向量。乘以純量會使向量拉長、縮短，並／或反轉方向。
3. 坐標系中的向量
繪製向量對於理解概念非常有用，但對於計算而言則不夠精確。此時，坐標系統（x-y 平面或 x-y-z 空間）便派上用場。它會使所有事情都變得簡單許多！
用坐標表示向量
我們可以用向量在 x、y 和 z 軸上的分量來表示任何向量。我們通常會將其寫成一個列向量（或稱豎向量）。
一個 2D 向量 a 是： $$ ag{latex} ext{\textbf{a} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix}} $$
一個 3D 向量 b 是： $$ ag{latex} ext{\textbf{b} = \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix}} $$
位置向量
位置向量是指從原點 (0, 0) 或 (0, 0, 0) 開始，並終止於特定點 P 的向量。點 P(x, y, z) 的位置向量就是 $$ ag{latex} ext{\vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}} $$。
兩點之間的向量
這是一個很常見的操作！要找出從 A 點開始，終止於 B 點的向量 $$ ag{latex} ext{\vec{AB}} $$，我們會用到它們的位置向量：
公式： $$ ag{latex} ext{\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}} $$
簡單來說：「終點減起點」
例子：找出從 A(1, 2) 到 B(5, 8) 的向量。
$$ ag{latex} ext{\vec{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \vec{OB} = \begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix}} $$
$$ ag{latex} ext{\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ 8-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}} $$
常見錯誤提示！
請注意！$$ ag{latex} ext{\vec{AB}} $$ 與 $$ ag{latex} ext{\vec{BA}} $$ 並不相同。 $$ ag{latex} ext{\vec{BA} = \vec{OA} - \vec{OB} = - \vec{AB}} $$。它們的長度雖然一樣，但方向相反。
坐標形式的運算
這就是最簡單的部分了。您僅是將運算獨立地應用在每個分量上。
設 $$ ag{latex} ext{\textbf{a} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix}} $$，$$ ag{latex} ext{\textbf{b} = \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \end{pmatrix}} $$，以及 k 是一個純量。
加法： $$ ag{latex} ext{\textbf{a} + \textbf{b} = \begin{pmatrix} a_x + b_x \\ a_y + b_y \end{pmatrix}} $$
減法： $$ ag{latex} ext{\textbf{a} - \textbf{b} = \begin{pmatrix} a_x - b_x \\ a_y - b_y \end{pmatrix}} $$
純量乘法： $$ ag{latex} ext{k\textbf{a} = \begin{pmatrix} ka_x \\ ka_y \end{pmatrix}} $$
（相同的規則適用於 3D 向量，僅是多了一個 z 分量！）
在坐標中找出大小
這就是畢氏定理！
對於 2D 向量 $$ ag{latex} ext{\textbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} $$，它的大小是：
$$ ag{latex} ext{|\textbf{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}} $$對於 3D 向量 $$ ag{latex} ext{\textbf{b} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}} $$，它的大小是：
$$ ag{latex} ext{|\textbf{b}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} $$例子：找出 $$ ag{latex} ext{\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}} $$ 的大小。
$$ ag{latex} ext{|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5} $$
您知道嗎？
在 2D 空間中，一個向量的分量可以與它的大小和角度建立關係。如果一個向量 $$ ag{latex} ext{\vec{v}} $$ 的大小是 $$ ag{latex} ext{|\vec{v}|} $$，而且與正 x 軸形成角度 θ，那麼它的分量就是 $$ ag{latex} ext{x = |\vec{v}|\cos\theta} $$ 和 $$ ag{latex} ext{y = |\vec{v}|\sin\theta} $$。這與您學過的圓形三角學是一樣的！
重點提示
使用坐標可以將向量問題轉化為簡單的算術。請記住關鍵公式：$$ ag{latex} ext{\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}} $$ 以及 $$ ag{latex} ext{|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} $$。
4. 比較向量的關鍵條件
課程中還有一個您需要知道的重要性質。它關於兩個向量組合何時相等。
規則是：如果您有兩個向量 a 和 b，而且它們是非零且互不平行的話...
...並且您被告知：
$$ ag{latex} ext{\alpha\textbf{a} + \beta\textbf{b} = \alpha'\textbf{a} + \beta'\textbf{b}} $$...那麼它們的係數就必定是相等的：
$$ ag{latex} ext{\alpha = \alpha' \quad \text{以及} \quad \beta = \beta'} $$為什麼這如此重要？將 a 和 b 想像成獨立的方向，例如「向東走的步數」和「向北走的步數」。如果兩個人從同一個起點出發，僅是向東和向北走，最終到達同一個終點，那麼他們向東走的步數和向北走的步數就必定是一樣的。您不能將向東走的步數換成向北走的步數，然後還能到達同一個地方！
例子：如果 $$ ag{latex} ext{(k+1)\textbf{a} + 5\textbf{b} = 4\textbf{a} + (m-2)\textbf{b}} $$，而 a 和 b 互不平行，找出 k 和 m。
透過比較係數：
對於向量 a： $$ ag{latex} ext{k+1 = 4 \implies k = 3} $$
對於向量 b： $$ ag{latex} ext{5 = m-2 \implies m = 7} $$
就是這樣了！您已經掌握了向量的基礎概念。多加練習在坐標形式下運用它們，您就會發現它們是解決許多問題的強大而簡單的工具。