數學科 M2 (代數與微積分):向量簡介

各位同學好!歡迎來到 M2 其中一個最形象化、最實用嘅課題嘅學習筆記:向量。就算個名聽落有啲陌生都唔使擔心。向量只係一種好正嘅方法去描述一啲同時具有「大小」同「方向」嘅量。試諗吓點樣指路:「向北行 500 米」。當中嘅「500 米」就係大小,「向北」就係方向。呢個就係一個向量喇!

喺呢個章節,我哋會學點樣用向量嘅語言,點樣將佢哋加減,同埋點樣喺坐標系統入面處理佢哋。呢個課題喺物理學、電腦圖像、工程學,甚至係電子遊戲設計方面都超級實用㗎!


1. 咩係向量同純量?

喺數學同科學入面,我哋會用兩種類型嘅量嚟描述世界:

純量:就係一個數字

純量係指只具有大小(簡單嚟講就係「數值」或者「數量」)嘅量。

例子:

  • 你嘅身高 (例如:1.7 米)

  • 溫度 (例如:25°C)

  • 汽車嘅速率 (例如:50 km/h)

  • 你擁有嘅金錢數目 (例如:$100)

呢啲全部都只係數字。佢哋冇方向。

向量:一個數字「加」一個方向

向量係指同時具有大小「同埋」方向嘅量。呢個就係最主要嘅分別!

例子:

  • 速度:一架汽車以 50 km/h 嘅速率向行駛。

  • 力:以 20 牛頓嘅力向推一個箱。

  • 位移:由你屋企向步行 1 公里。

點樣寫同畫向量

畫向量好簡單㗎!我哋只係用箭咀嚟表示。箭咀嘅長度代表佢嘅大小,而箭咀指向嘅方向就係向量嘅方向。

向量記法:

  • 喺課本入面,你會見到向量會用粗體字表示,例如 a 或者 v

  • 當你手寫嗰陣,就應該喺字母上面加一個箭咀,例如 $$ \vec{a} $$ 或者 $$ \vec{v} $$。

  • 由 A 點去到 B 點嘅向量,會寫成 $$ \vec{AB} $$。

大小記法:

向量 a 嘅大小(或者長度)會寫成 $$ |\textbf{a}| $$ 或者 $$ |\vec{a}| $$。大小永遠係一個正數或者零(佢係一個純量嚟㗎!)。

特殊類型嘅向量

  • 零向量:呢個向量嘅大小係零,冇特定方向。佢會寫成 0 或者 $$ \vec{0} $$。你可以想像佢係「唔好郁」嘅指令。

  • 單位向量:呢個係一個非常重要嘅概念!單位向量係指任何大小剛好係 1 嘅向量。單位向量用嚟描述方向。沿住向量 a 方向嘅單位向量,通常會寫成 $$ \hat{\textbf{a}} $$。

重點提示

純量只係數字(大小)。向量同時具有大小同方向。記住:速度係向量,但速率係純量!


2. 向量運算:基本法則

就好似數字咁,我哋都可以對向量進行加、減、乘等運算。雖然有少少唔同,但背後嘅邏輯都好簡單㗎!

向量加法

點樣將兩個向量相加,例如 $$ \vec{a} $$ 同 $$ \vec{b} $$?我哋可以將佢想像成「依次序跟隨兩組指示」。

三角形法則(或者「首尾相接法」):

  1. 畫出第一個向量 $$ \vec{a} $$。

  2. 由 $$ \vec{a} $$ 嘅箭頭(終點)開始畫第二個向量 $$ \vec{b} $$。

  3. 所得嘅向量 $$ \vec{a} + \vec{b} $$,就係由 $$ \vec{a} $$ 嘅尾端(起點)畫到 $$ \vec{b} $$ 嘅箭頭(終點)嘅箭咀。

比喻:想像你先向東行 3 公里 ($$ \vec{a} $$),然後再向北行 4 公里 ($$ \vec{b} $$)。向量 $$ \vec{a} + \vec{b} $$ 就代表咗由你起點到終點嘅直線路徑。


向量減法

要減去一個向量,我哋只係將佢嘅負向量加上去。但係咩係負向量呢?

向量 $$ -\vec{b} $$ 係一個同 $$ \vec{b} $$ 具有相同大小,但方向完全相反嘅向量。

所以,要計算 $$ \vec{a} - \vec{b} $$,我哋只係做 $$ \vec{a} + (-\vec{b}) $$。我哋只要將 $$ \vec{b} $$ 嘅方向反轉,然後用首尾相接法就得啦!

純量乘法

呢個意思係將一個向量乘以一個純量(即係一個普通數字)。假設我哋有一個向量 a 同一個純量 k

  • 如果 k 係正數,向量 ka 嘅方向同 a 嘅方向相同

  • 如果 k 係負數,向量 ka 嘅方向同 a 嘅方向相反

  • ka 嘅大小係 $$|k| |\textbf{a}| $$。我哋只係將原向量嘅大小乘以純量嘅絕對值。

例子:向量 2a 嘅方向同 a 相同,但長度係 a 嘅兩倍。向量 -0.5a 嘅方向同 a 相反,長度係 a 嘅一半。

向量運算嘅性質

好消息!向量運算都遵循一啲大家非常熟悉嘅規則。對於任何向量 abc 以及純量 λ、μ:

  • $$ \textbf{a} + \textbf{b} = \textbf{b} + \textbf{a} $$ (加法嘅次序唔影響結果)

  • $$ (\textbf{a} + \textbf{b}) + \textbf{c} = \textbf{a} + (\textbf{b} + \textbf{c}) $$ (加法嘅組合方式唔影響結果)

  • $$ \textbf{a} + \textbf{0} = \textbf{a} $$ (加上零向量唔會改變向量)

  • $$ (\lambda + \mu)\textbf{a} = \lambda\textbf{a} + \mu\textbf{a} $$ (純量嘅分配律)

  • $$ \lambda(\textbf{a} + \textbf{b}) = \lambda\textbf{a} + \lambda\textbf{b} $$ (向量嘅分配律)

  • $$ \lambda(\mu\textbf{a}) = (\lambda\mu)\textbf{a} $$ (純量乘法嘅組合方式唔影響結果)

重點提示

向量相加就好似依序行路徑咁(首尾相接法)。相減就只係加上相反方向嘅向量。乘以純量會令向量拉長、縮短,同/或反轉方向。


3. 坐標系中嘅向量

畫向量對於理解概念非常有用,但對於計算嚟講就唔係咁精確喇。呢個時候,坐標系統(x-y 平面或者 x-y-z 空間)就派上用場。佢會令所有嘢都變得簡單好多!

用坐標表示向量

我哋可以用向量喺 x、y 同 z 軸上嘅分量嚟表示任何向量。我哋通常會將佢寫成一個列向量(或稱豎向量)。

一個 2D 向量 a 係: $$ \textbf{a} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix} $$

一個 3D 向量 b 係: $$ \textbf{b} = \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix} $$

位置向量

位置向量係指由原點 (0, 0) 或 (0, 0, 0) 開始,並終止於特定點 P 嘅向量。點 P(x, y, z) 嘅位置向量就係 $$ \vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} $$。

兩點之間嘅向量

呢個係一個好常見嘅操作!要搵由 A 點開始,終止於 B 點嘅向量 $$ \vec{AB} $$,我哋會用到佢哋嘅位置向量:

公式: $$ \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} $$

簡單嚟講:「終點減起點」

例子:搵由 A(1, 2) 到 B(5, 8) 嘅向量。
$$ \vec{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \vec{OB} = \begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ 8-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} $$

常見錯誤提示!

小心啊!$$ \vec{AB} $$ 同 $$ \vec{BA} $$ 並唔係相同嘅。 $$ \vec{BA} = \vec{OA} - \vec{OB} = - \vec{AB} $$。佢哋嘅長度雖然一樣,但方向相反。

坐標形式嘅運算

呢個就係最簡單嘅部分喇。你只係將運算獨立地應用喺每個分量上。

設 $$ \textbf{a} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix} $$,$$ \textbf{b} = \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \end{pmatrix} $$,以及 k 係一個純量。

  • 加法: $$ \textbf{a} + \textbf{b} = \begin{pmatrix} a_x + b_x \\ a_y + b_y \end{pmatrix} $$

  • 減法: $$ \textbf{a} - \textbf{b} = \begin{pmatrix} a_x - b_x \\ a_y - b_y \end{pmatrix} $$

  • 純量乘法: $$ k\textbf{a} = \begin{pmatrix} ka_x \\ ka_y \end{pmatrix} $$

(相同嘅規則適用於 3D 向量,只係多咗個 z 分量!)

喺坐標中搵大小

呢個就係畢氏定理嚟㗎!

對於 2D 向量 $$ \textbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$,佢嘅大小係:

$$ |\textbf{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} $$

對於 3D 向量 $$ \textbf{b} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} $$,佢嘅大小係:

$$ |\textbf{b}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $$

例子:搵 $$ \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$ 嘅大小。
$$ |\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$

你知道嗎?

喺 2D 空間,一個向量嘅分量可以同佢嘅大小同角度扯上關係。如果一個向量 $$ \vec{v} $$ 嘅大小係 $$ |\vec{v}| $$,而且同正 x 軸形成角度 θ,咁佢嘅分量就係 $$ x = |\vec{v}|\cos\theta $$ 同 $$ y = |\vec{v}|\sin\theta $$。呢個同你學過嘅圓形三角學係一樣㗎!

重點提示

用坐標可以將向量問題轉化為簡單嘅算術。記住關鍵公式:$$ \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} $$ 以及 $$ |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $$。


4. 比較向量嘅關鍵條件

課程入面仲有一個你需要知道嘅重要性質。佢係關於兩個向量組合何時相等嘅。

規則係:如果你有兩個向量 ab,而且佢哋係非零同埋互不平行嘅話...

...同埋你被告知:

$$ \alpha\textbf{a} + \beta\textbf{b} = \alpha'\textbf{a} + \beta'\textbf{b} $$

...咁佢哋嘅系數就必定係相等嘅:

$$ \alpha = \alpha' \quad \text{以及} \quad \beta = \beta' $$

點解呢個咁重要?ab 想像成獨立嘅方向,例如「向東行嘅步數」同「向北行嘅步數」。如果兩個人由同一個起點出發,只係向東同向北行,最終到達同一個終點,咁佢哋向東行嘅步數同向北行嘅步數就必定係一樣嘅。你唔可以將向東行嘅步數換成向北行嘅步數,然後仲要到達同一個地方㗎!

例子:如果 $$ (k+1)\textbf{a} + 5\textbf{b} = 4\textbf{a} + (m-2)\textbf{b} $$,而 ab 互不平行,搵 k 同 m。

透過比較系數:

  • 對於向量 a: $$ k+1 = 4 \implies k = 3 $$

  • 對於向量 b: $$ 5 = m-2 \implies m = 7 $$

就係咁喇!你已經掌握咗向量嘅基礎概念。多啲練習喺坐標形式下運用佢哋,你就會發現佢哋係解決好多問題嘅強大而簡單嘅工具。