M2 向量應用

哈囉,各位同學!歡迎來到《向量應用》的學習筆記。你已經學懂了什麼是向量,以及如何進行加法和乘法等基本運算。現在,讓我們發掘它們真正的威力吧!在本章中,我們將會看到向量不僅是抽象的箭頭,更是解決二維和三維空間中實際幾何問題的強大工具。我們將學習如何找出角度、投影影子、計算面積等等。

如果這聽起來很複雜,請不要擔心。我們將所有內容拆解成簡單、一步步的教學。想像一下,這就像為你的數學工具箱增添新工具一樣。事不宜遲,立即開始吧!


1. 分割線段

想像一下,你有一條由A點到B點的線段。如果你想找出線上某一點 P 的確切坐標,例如是線段的中點,又或是三分之二處的點呢?這就是分點公式派上用場的時候了,它超級有用!

內分點

這是最常見的情況。我們想找出一個位於 A 和 B 『之間』的 P 點,它以特定比例(例如 m : n)分割線段 AB。

設 $$\vec{a}$$ 和 $$\vec{b}$$ 分別為 A 點和 B 點的位置向量。點 P(它以 m : n 的比例分割 AB)的位置向量由以下公式給出:

分點公式(內分點):

$$ \vec{p} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n} $$
記憶法:『交叉相乘』技巧

要記住這個公式,你可以這樣想:比例中的 'n' 會乘以向量 'a'(離它較遠的那個),而比例中的 'm' 會乘以向量 'b'(另一個離它較遠的)。然後,你再除以比例之和 (m+n)。

例子:設 A = (1, 2, 3) 和 B = (5, 6, 7)。求將 AB 以 1 : 3 內分開的點 P。

步驟1:找出你的向量和比例。
$$\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$, $$\vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix}$$
m = 1, n = 3

步驟2:套用公式。
$$ \vec{p} = \frac{3\vec{a} + 1\vec{b}}{1+3} = \frac{3\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + 1\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix}}{4} $$

步驟3:計算結果。
$$ \vec{p} = \frac{\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix}}{4} = \frac{\begin{pmatrix} 8 \\ 12 \\ 16 \end{pmatrix}}{4} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$ 所以,P點的坐標是 (2, 3, 4)。

一個特殊情況:中點

中點只不過是將線段以 1 : 1 比例分割的點。如果我們將 m=1 和 n=1 代入公式:

$$ \vec{p} = \frac{1\vec{a} + 1\vec{b}}{1+1} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} $$

這就只是兩個向量的平均值!

重點歸納

要找出將線段 AB 以 m:n 比例分割的點 P,請使用公式 $$ \vec{p} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n} $$。記住『交叉相乘』技巧,以確保分子部分正確無誤!


2. 平行與正交(垂直)

向量讓檢查線或方向之間的關係變得非常容易。它們是平行的嗎?它們是直角的嗎?讓我們來看看。

平行向量

兩個向量是平行的,如果它們指向同一方向或完全相反的方向。想像地圖上的兩條平行街道。

規則:兩個非零向量 $$\vec{a}$$ 和 $$\vec{b}$$ 平行,若其中一個是另一個的純量倍數。

$$ \vec{a} = k \vec{b} $$

這裡,'k' 只是個實數(一個純量)。

  • 如果 k > 0,它們方向『相同』。
  • 如果 k < 0,它們方向『相反』。

例子:向量 $$\vec{a} = 2\mathbf{i} + 4\mathbf{j} - 6\mathbf{k}$$ 和 $$\vec{b} = -3\mathbf{i} - 6\mathbf{j} + 9\mathbf{k}$$ 平行嗎?

讓我們看看是否能找到一個 'k',使得 $$\vec{a} = k\vec{b}$$。
比較 i 分量:$$2 = k(-3) \implies k = -2/3$$
比較 j 分量:$$4 = k(-6) \implies k = -2/3$$
比較 k 分量:$$-6 = k(9) \implies k = -2/3$$
由於所有分量的 k 值都相同,所以這兩個向量是平行的!因為 k 是負數,所以它們指向相反方向。

正交(垂直)向量

如果兩個向量之間的夾角是 90°,則它們是正交的(這是『垂直』的文雅說法)。

規則:兩個非零向量 $$\vec{a}$$ 和 $$\vec{b}$$ 正交當且僅當它們的點積為零。

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 $$
為什麼會這樣呢?

還記得點積公式嗎?$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$。如果夾角 $$\theta$$ 是 90°,那麼 $$\cos(90^\circ) = 0$$。這使得整個點積為零!

例子:證明向量 $$\vec{u} = 3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + \mathbf{k}$$ 和 $$\vec{v} = 4\mathbf{i} + 5\mathbf{j} - 2\mathbf{k}$$ 是正交的。

我們只需要計算它們的點積。
$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = (3)(4) + (-2)(5) + (1)(-2) $$ $$ = 12 - 10 - 2 $$ $$ = 0 $$ 由於點積是 0,所以這些向量是正交的。

重點歸納

平行檢測:是 $$\vec{a} = k\vec{b}$$ 嗎?(分量是否成比例?)
垂直檢測:是 $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$ 嗎?(點積是否為零?)


3. 求兩向量之間的夾角

我們剛才使用點積來檢查 90° 夾角,但我們可以用它來找出兩個向量之間的『任何』角度。這是點積最強大的一個應用。

通過重新排列點積公式,我們得到:

$$ \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} $$
求夾角的分步指南

步驟1:計算點積 ($$\vec{a} \cdot \vec{b}$$)。
步驟2:計算每個向量的大小(模) ($$|\vec{a}|$$ 和 $$|\vec{b}|$$)。
步驟3:將這三個值代入公式 以求出 $$\cos\theta$$。
步驟4:使用計算機上的反餘弦函數 ($$\theta = \arccos(\dots)$$) 來找出夾角 $$\theta$$。

例子:求 $$\vec{a} = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k}$$ 和 $$\vec{b} = 6\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$$ 之間的夾角。

步驟1:點積
$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(6) + (2)(-3) + (-1)(2) = 12 - 6 - 2 = 4 $$

步驟2:大小(模)
$$ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3 $$ $$ |\vec{b}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36+9+4} = \sqrt{49} = 7 $$

步驟3:公式
$$ \cos\theta = \frac{4}{(3)(7)} = \frac{4}{21} $$

步驟4:找出夾角
$$ \theta = \arccos\left(\frac{4}{21}\right) \approx 79.0^\circ $$ 兩個向量之間的夾角約為 79.0 度。

快速回顧

夾角公式: $$ \theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right) $$


4. 向量投影

什麼是投影呢?想像一下太陽在正上方。你在地面上的影子就是你『投射』到地面上的影像。在向量中,我們做的事情也類似。將向量 $$\vec{a}$$ 投影到向量 $$\vec{b}$$ 上,就像找出 $$\vec{a}$$ 沿著 $$\vec{b}$$ 的方向所投下的『影子』。

投影分為兩種:純量投影和向量投影。

純量投影(影子的長度)

這會告訴你影子的大小或長度。它只是一個數值。

向量 $$\vec{a}$$ 投影到向量 $$\vec{b}$$ 上的純量投影公式是:

$$ \text{comp}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} $$
向量投影(作為向量的影子)

這會給你實際的影子向量。它既有大小也有方向。

要獲得這個向量,我們取其長度(純量投影)並乘以沿著 $$\vec{b}$$ 方向的單位向量(即 $$\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$$)。

向量 $$\vec{a}$$ 投影到向量 $$\vec{b}$$ 上的向量投影公式是:

$$ \text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}\right) \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\right)\vec{b} $$
常見錯誤警示!

當將 $$\vec{a}$$ 投影到 $$\vec{b}$$ 上時,分母中的向量永遠是 $$\vec{b}$$。你所『投影到』的向量對於方向和分母來說,才是重要的那個。

例子:求 $$\vec{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}$$ 投影到 $$\vec{b} = 4\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 6\mathbf{k}$$ 上的純量投影和向量投影。

步驟1:找出點積以及 $$\vec{b}$$ 的大小。
$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(4) + (2)(5) + (3)(6) = 4 + 10 + 18 = 32 $$ $$ |\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 5^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 25 + 36} = \sqrt{77} $$

步驟2:計算純量投影。
$$ \text{純量投影} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{32}{\sqrt{77}} $$

步驟3:計算向量投影。
我們還需要 $$|\vec{b}|^2 = 77$$。 $$ \text{向量投影} = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\right)\vec{b} = \frac{32}{77}(4\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 6\mathbf{k}) $$ $$ = \frac{128}{77}\mathbf{i} + \frac{160}{77}\mathbf{j} + \frac{192}{77}\mathbf{k} $$

重點歸納

投影就像找出向量的影子。

  • 純量投影(長度): $$\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$$
  • 向量投影(向量): $$\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\right)\vec{b}$$


5. 三角形的面積

又來一個超酷的技巧了!我們可以使用向量積(又稱叉積)來馬上找出三維空間中三角形的面積。

你知道嗎?

兩個向量 $$\vec{a}$$ 和 $$\vec{b}$$ 的向量積的大小(模),即 $$|\vec{a} \times \vec{b}|$$, 等於由這兩個向量形成的平行四邊形的面積。由於三角形只是平行四邊形的一半,所以它的面積就是向量積大小(模)的一半!

規則:如果一個三角形由從同一個點出發的兩個向量 $$\vec{a}$$ 和 $$\vec{b}$$ 形成,它的面積是:

$$ \text{面積} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| $$
求三角形面積的分步指南

步驟1:找出構成三角形的兩個向量。重要:它們必須從同一個頂點出發。對於頂點為 P、Q、R 的三角形,你可以使用向量 $$\vec{PQ}$$ 和 $$\vec{PR}$$。
步驟2:計算它們的向量積 ($$\vec{a} \times \vec{b}$$)。
步驟3:找出所得向量的大小(模) ($$|\vec{a} \times \vec{b}|$$)。
步驟4:將大小(模)除以 2。

例子:求頂點為 P(1, 1, 1)、Q(2, 3, 4) 和 R(4, 3, 2) 的三角形的面積。

步驟1:從同一個點找出兩個向量(我們以 P 為起點)。
$$ \vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (2-1)\mathbf{i} + (3-1)\mathbf{j} + (4-1)\mathbf{k} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} $$ $$ \vec{PR} = \vec{r} - \vec{p} = (4-1)\mathbf{i} + (3-1)\mathbf{j} + (2-1)\mathbf{k} = 3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k} $$

步驟2:計算向量積 $$\vec{PQ} \times \vec{PR}$$。
$$ \vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} $$ $$ = \mathbf{i}(2 \cdot 1 - 3 \cdot 2) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 3 \cdot 3) + \mathbf{k}(1 \cdot 2 - 2 \cdot 3) $$ $$ = \mathbf{i}(2 - 6) - \mathbf{j}(1 - 9) + \mathbf{k}(2 - 6) $$ $$ = -4\mathbf{i} + 8\mathbf{j} - 4\mathbf{k} $$

步驟3:找出這個新向量的大小(模)。
$$ |-4\mathbf{i} + 8\mathbf{j} - 4\mathbf{k}| = \sqrt{(-4)^2 + 8^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 64 + 16} = \sqrt{96} $$ (提示:$$\sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = 4\sqrt{6}$$)

步驟4:除以 2。
$$ \text{面積} = \frac{1}{2}\sqrt{96} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6} $$ 三角形的面積是 $$2\sqrt{6}$$ 平方單位。

重點歸納

要找出頂點為 P、Q、R 的三角形的面積,請找出兩個向量(例如 $$\vec{PQ}$$ 和 $$\vec{PR}$$),然後使用公式 $$ \text{面積} = \frac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}| $$。