二項式定理:你的終極指南

大家好!你有冇試過望住啲好似 (a + b)7 咁嘅算式,然後心諗:「展開呢個式子,除咗乘足七次之外,有冇啲好啲嘅方法呢?」恭喜你!呢個就係二項式定理嘅用武之地啦。佢係一個好強大嘅捷徑,可以幫你輕鬆準確地展開呢啲算式。

喺呢份筆記入面,我哋會一步步拆解呢個神奇嘅定理。我哋會由一個簡單嘅視覺工具開始,學習主要公式,並睇吓點樣用佢嚟解答常見嘅考試題目。就算一開始覺得有點複雜都唔使驚——我哋會將佢變得簡單又清晰。立即開始啦!


1. 構建基石:帕斯卡三角形和組合

喺我哋深入研究主要定理之前,不如先睇吓一個好有型嘅圖案,佢係二項式定理嘅基礎嚟㗎!睇吓佢點樣幫我哋了解展開式中數字嘅來源,會非常有幫助。

視覺化入門:帕斯卡三角形

試吓想像一下,如果你展開幾個簡單嘅二項式:

(a + b)0 = 1
(a + b)1 = 1a + 1b
(a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2
(a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3
(a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4

如果你只係睇吓前面嘅數字(即係係數),佢哋就會形成一個好靚嘅三角形,呢個就係帕斯卡三角形

點樣構造佢:

  1. 最頂嗰行由數字 1 開始。
  2. 每行嘅開頭同結尾都係 1。
  3. 其他數字都係由佢正上方嗰兩個數字相加得出嚟嘅。

第 0 行:                 1
第 1 行:               1   1
第 2 行:             1   2   1
第 3 行:           1   3   3   1
第 4 行:         1   4   6   4   1
第 5 行:       1   5   10   10   5   1

你會發現,第 `n` 行嘅數字,正正就係 (a + b)n 展開式嘅係數。係咪好神奇呢?但係,如果你要展開 (a + b)20 點算呢?咁樣逐行畫三角形會畫到天荒地老㗎!我哋需要一個更直接嘅方法。

快速回顧:組合 (C(n, r))

仲記唔記得中學時學過嘅組合呢?符號 C(n, r) 或者 $$ \binom{n}{r} $$ 意思係「由 n 件物品中選取 r 件物品嘅方法數」。

公式係:

$$ C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} $$

其中 n!(n 階乘)代表 n × (n-1) × ... × 2 × 1。大多數計數機都有呢個功能鍵(通常係 `nCr`)。

與帕斯卡三角形嘅關係:
帕斯卡三角形入面嘅每一個數字,其實都係一個組合值嚟㗎!

對於第 n 行,啲數字(由左至右,由 r=0 位置開始)係:

$$ C(n,0), C(n,1), C(n,2), ..., C(n,n) $$

例子:對於第 4 行,數字係:
C(4,0)=1, C(4,1)=4, C(4,2)=6, C(4,3)=4, C(4,4)=1

呢個方法真係太棒啦,因為我哋唔使再逐層構造成個三角形啦。我哋可以直接搵到任何一個係數!呢個就係解鎖二項式定理嘅關鍵。

重點歸納

帕斯卡三角形為我哋提供咗二項式展開式嘅係數。三角形中嘅數字唔係隨機嘅;佢哋都係組合值 C(n,r),我哋可以直接計算出嚟。呢個方法可以讓無論係任何次方,我哋都可以搵到對應嘅係數。


2. 二項式定理:主公式

好啦,而家我哋將所有嘢整合埋一齊。二項式定理為我哋提供咗一個完整嘅公式,可以將 (a + b)n 展開,適用於任何正整數 n

公式係:

$$ (a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} C(n, r) a^{n-r} b^r $$

好啦,呢個 Sigma 符號 (Σ) 可能睇落有啲嚇人。佢其實只係代表「將所有項加埋一齊」。等我哋用長啲嘅寫法寫出嚟,咁樣通常會更容易明白:

$$ (a+b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^{n-1}b^1 + C(n,2)a^{n-2}b^2 + ... + C(n,n)a^0 b^n $$
拆解公式

讓我哋睇吓單一項中嘅每一個組成部分: $$ C(n, r) a^{n-r} b^r $$

  • C(n, r):呢個係二項式係數。佢係項中嘅數字部分,我哋可以從組合公式度得到。
  • an-r:呢個係括號入面第一項嘅冪次。留意佢嘅冪次由 `n` 開始,每之後一項就減少 1。
  • br:呢個係括號入面第二項嘅冪次。佢嘅冪次由 `0` 開始,每項就增加 1。
助記小貼士:冪次檢查

一個超有用嘅小技巧可以幫你檢查答案:喺展開式嘅每一項入面,`a` 嘅冪次加上 `b` 嘅冪次,必須等於 `n`。
例子:喺項 $$ C(n, r) a^{n-r} b^r $$ 中,冪次係 (n-r) 同 r。而 (n-r) + r = n。佢永遠都係啱㗎!

逐步範例:展開 (x + 2)4

讓我哋用呢個定理嚟試吓。唔使擔心,我哋會慢慢嚟。

  1. 1. 辨認 a、b 同 n。
    喺呢度,a = xb = 2,同埋 n = 4

  2. 2. 寫出展開式嘅結構。
    將公式當作模板使用。 $$ (x+2)^4 = C(4,0)x^4 2^0 + C(4,1)x^3 2^1 + C(4,2)x^2 2^2 + C(4,3)x^1 2^3 + C(4,4)x^0 2^4 $$
  3. 3. 計算係數 C(n, r)。
    你可以用計數機或者帕斯卡三角形(第 4 行)。
    C(4,0) = 1
    C(4,1) = 4
    C(4,2) = 6
    C(4,3) = 4
    C(4,4) = 1

  4. 4. 代入係數並簡化每一項。
    第一項: $$ 1 \cdot x^4 \cdot 1 = x^4 $$ 第二項: $$ 4 \cdot x^3 \cdot 2 = 8x^3 $$ 第三項: $$ 6 \cdot x^2 \cdot 4 = 24x^2 $$ 第四項: $$ 4 \cdot x^1 \cdot 8 = 32x $$ 第五項: $$ 1 \cdot 1 \cdot 16 = 16 $$
  5. 5. 寫出最終答案。
    $$ (x+2)^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16 $$
常見錯誤,請避免
  • 忘記符號: 如果你展開 (x - 2)4,請記住你嘅 'b' 項係 -2,而唔係淨係 2。呢個表示 'b' 嘅奇數次冪嘅項將會係負數。例如,$$ C(4,1)x^3(-2)^1 = -8x^3 $$。
  • 對整個項取冪:(3x + 5y)3 中,第一項係 `a = 3x`。當你計算 `a^3` 時,必須係 `(3x)^3 = 27x^3`,而唔係 `3x^3`。冪次同樣適用於數字部分㗎!

3. 搵出展開式中的特定項

大多數時候,你都唔會被要求寫出完整嘅展開式。更常見嘅問題係搵出單一、特定嘅項,例如「包含 x5 嘅項」或者「常數項」。

為咗解決呢類問題,我哋會用到通項公式。佢只係主要二項式定理嘅其中一部分。

$$ T_{r+1} = C(n, r) a^{n-r} b^r $$
點解係 Tr+1?快速解釋

呢個係一個細微但重要嘅細節。我哋寫 Tr+1,因為項嘅序號會比 `r` 嘅值大 1。

  • 第 1 項係當 r = 0 時。
  • 第 2 項係當 r = 1 時。
  • 第 3 項係當 r = 2 時。

所以,第 (r+1) 項就係用 `r` 嚟計。唔好畀佢搞亂你啊!

逐步範例:搵出特定項

問題:(2x - 1)10 嘅展開式中,搵出包含 x7 嘅項。

  1. 1. 辨認 a、b、n 並寫出通項公式。
    a = 2xb = -1n = 10
    通項係: $$ T_{r+1} = C(10, r) (2x)^{10-r} (-1)^r $$
  2. 2. 分離出包含 'x' 嘅部分,並將冪次設定為所需嘅值。
    首先,讓我哋整理一下表達式: $$ T_{r+1} = C(10, r) \cdot 2^{10-r} \cdot x^{10-r} \cdot (-1)^r $$ 包含 `x` 嘅部分係 $$ x^{10-r} $$。我哋想呢個冪次係 7。
    所以,我哋建立方程: $$ 10 - r = 7 $$
  3. 3. 解出 r。
    $$ r = 3 $$
  4. 4. 將 r 嘅值代返入完整嘅通項公式。
    我哋需要搵出第 4 項(因為 r=3)。 $$ T_{3+1} = C(10, 3) (2x)^{10-3} (-1)^3 $$ $$ T_4 = C(10, 3) (2x)^7 (-1) $$
  5. 5. 計算並簡化。
    $$ C(10, 3) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120 $$ $$ T_4 = 120 \cdot (128x^7) \cdot (-1) $$ $$ T_4 = -15360x^7 $$ 所以,包含 x7 嘅項係 -15360x7
你知唔知道?

二項式定理喺概率論入面都有用到㗎!(p + q)n(其中 p+q=1)嘅展開式可以幫助計算喺 `n` 次試驗中獲得某個成功次數嘅概率。佢係所謂「二項分佈」嘅基石嚟㗎!


4. 二項式定理的證明(運用數學歸納法)

課程要求我哋識得證明呢個定理。我哋會用數學歸納法,呢個係你學過嘅一種強大嘅證明技巧。呢部分會比較抽象啲,所以慢慢嚟,唔使急。

命題 P(n): $$ (a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} C(n, r) a^{n-r} b^r $$ 對於所有正整數 n 成立。

步驟 1:基礎步

證明 P(1) 成立。

左方 = $$ (a+b)^1 = a+b $$

右方 = $$ \sum_{r=0}^{1} C(1, r) a^{1-r} b^r = C(1,0)a^1b^0 + C(1,1)a^0b^1 = (1)a(1) + (1)(1)b = a+b $$

因為左方 = 右方,所以 P(1) 成立。

步驟 2:歸納假設

假設對於某個正整數 k,P(k) 成立。

亦即,我哋假設: $$ (a+b)^k = \sum_{r=0}^{k} C(k, r) a^{k-r} b^r $$

步驟 3:歸納步

我哋需要證明 P(k+1) 成立。亦即,我哋需要證明:

$$ (a+b)^{k+1} = \sum_{r=0}^{k+1} C(k+1, r) a^{k+1-r} b^r $$

讓我哋由 P(k+1) 嘅左方開始:

$$ (a+b)^{k+1} = (a+b)(a+b)^k $$

而家,代入我哋對於 (a+b)k 嘅假設:

$$ = (a+b) \left( \sum_{r=0}^{k} C(k, r) a^{k-r} b^r \right) $$

讓我哋展開佢,睇吓會發生咩事:

$$ = a \left( \sum_{r=0}^{k} C(k, r) a^{k-r} b^r \right) + b \left( \sum_{r=0}^{k} C(k, r) a^{k-r} b^r \right) $$ $$ = \sum_{r=0}^{k} C(k, r) a^{k+1-r} b^r + \sum_{r=0}^{k} C(k, r) a^{k-r} b^{r+1} $$

呢個係比較難搞嘅部分。我哋需要合併各項。讓我哋寫出每個和式嘅頭幾項:

第一個和式: $$ C(k,0)a^{k+1} + C(k,1)a^k b^1 + C(k,2)a^{k-1} b^2 + ... $$

第二個和式: $$ C(k,0)a^k b^1 + C(k,1)a^{k-1} b^2 + ... $$

而家,讓我哋將 `a` 同 `b` 具有相同冪次嘅項組合起嚟。對於一般項例如 $$ a^{k+1-j}b^j $$,佢嘅係數嚟自第一個和式中嘅 `r=j` 項,以及第二個和式中嘅 `r=j-1` 項。

呢個項嘅合併係數係 $$ C(k,j) + C(k, j-1) $$。

喺呢度我哋用到一個關鍵嘅恆等式,稱為帕斯卡恆等式: $$ C(n,r) + C(n, r-1) = C(n+1, r) $$

所以,$$ C(k,j) + C(k,j-1) = C(k+1, j) $$。

通過將此應用於所有中間項,並包括第一項($$C(k,0)a^{k+1} = C(k+1,0)a^{k+1}$$)和最後一項($$C(k,k)b^{k+1} = C(k+1,k+1)b^{k+1}$$),我哋得到:

$$ (a+b)^{k+1} = \sum_{j=0}^{k+1} C(k+1, j) a^{k+1-j} b^j $$

呢個正正就係 P(k+1) 嘅右方。所以,P(k+1) 成立。

步驟 4:結論

根據數學歸納法原理,二項式定理對於所有正整數 n 都成立。


總結與重點歸納

你終於搞掂啦!讓我哋快速回顧一下最重要嘅重點。

速覽框
  • 二項式定理公式:
    $$ (a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} C(n, r) a^{n-r} b^r $$

  • 通項公式(用於搵出單一特定項):
    $$ T_{r+1} = C(n, r) a^{n-r} b^r $$

  • 冪次檢查:喺任何一項中,`a` 嘅冪次加上 `b` 嘅冪次必須等於 `n`。

  • 小心留意:
    • 括號內嘅負號(例如 `(x-y)`)。
    • 括號內嘅係數(例如 `(2x+3y)`)。冪次同樣適用於佢哋㗎!

二項式定理係代數同其他範疇中一個好基礎嘅工具。多啲練習用佢嚟處理唔同嘅例子,特別係搵出特定項,你好快就會掌握佢㗎啦。祝你學習愉快!