二項式定理：您的終極指南

大家好！您是否曾經望著那些好似 (a + b)7 般的算式，然後心想：「展開這個式子，除了乘足七次之外，有沒有更好的方法呢？」恭喜您！這就是二項式定理的用武之地了。它是一個非常強大的捷徑，可以幫助您輕鬆準確地展開這些算式。

在這份筆記裡面，我們會一步步拆解這個神奇的定理。我們會由一個簡單的視覺工具開始，學習主要公式，並看看如何用它來解答常見的考試題目。就算一開始覺得有點複雜也不用擔心——我們會將它變得簡單又清晰。現在就開始吧！


1. 構建基石：帕斯卡三角形和組合

在我們深入研究主要定理之前，不如先看看一個非常有趣的圖案，它是二項式定理的基礎！看看它如何幫助我們了解展開式中數字的來源，會非常有幫助。

視覺化入門：帕斯卡三角形

試著想像一下，如果您展開幾個簡單的二項式：

(a + b)0 = 1
(a + b)1 = 1a + 1b
(a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2
(a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3
(a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4

如果您只看前面的數字（即是係數），它們就會形成一個美麗的三角形，這就是帕斯卡三角形。

如何構造它：

  1. 最頂的那行由數字 1 開始。
  2. 每行的開頭和結尾都是 1。
  3. 其他數字都是由它正上方那兩個數字相加得出來的。

第 0 行:                 1
第 1 行:               1   1
第 2 行:             1   2   1
第 3 行:           1   3   3   1
第 4 行:         1   4   6   4   1
第 5 行:       1   5   10   10   5   1

您會發現，第 `n` 行的數字，正是 (a + b)n 展開式的係數。是不是很神奇呢？但是，如果您要展開 (a + b)20 怎麼辦呢？這樣逐行畫三角形會畫到天荒地老！我們需要一個更直接的方法。

快速回顧：組合 (C(n, r))

還記得中學時學過的組合嗎？符號 C(n, r) 或者 $$ \binom{n}{r} $$ 意思是「由 n 件物品中選取 r 件物品的方法數」。

公式是：

$$ C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} $$

其中 n!（n 階乘）代表 n × (n-1) × ... × 2 × 1。大多數計算機都有這個功能鍵（通常是 `nCr`）。

與帕斯卡三角形的關係：
帕斯卡三角形裡的每一個數字，其實都是一個組合值！

對於第 n 行，那些數字（由左至右，由 r=0 位置開始）是：

$$ C(n,0), C(n,1), C(n,2), ..., C(n,n) $$

例子：對於第 4 行，數字是：
C(4,0)=1, C(4,1)=4, C(4,2)=6, C(4,3)=4, C(4,4)=1

這個方法真是太棒了，因為我們不用再逐層構造整個三角形了。我們可以直接找到任何一個係數！這就是解鎖二項式定理的關鍵。

重點歸納

帕斯卡三角形為我們提供了二項式展開式的係數。三角形中的數字不是隨機的；它們都是組合值 C(n,r)，我們可以直接計算出來。這個方法可以讓無論是任何次方，我們都可以找到對應的係數。


2. 二項式定理：主公式

好了，現在我們將所有東西整合在一起。二項式定理為我們提供了一個完整的公式，可以將 (a + b)n 展開，適用於任何正整數 n。

公式是：

$$ (a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} C(n, r) a^{n-r} b^r $$

好了，這個 Sigma 符號 (Σ) 可能看起來有些嚇人。它其實只是代表「將所有項加在一起」。讓我們用長一點的寫法寫出來，這樣通常會更容易明白：

$$ (a+b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^{n-1}b^1 + C(n,2)a^{n-2}b^2 + ... + C(n,n)a^0 b^n $$
拆解公式

讓我們看看單一項中的每一個組成部分： $$ C(n, r) a^{n-r} b^r $$

  • C(n, r)：這是二項式係數。它是項中的數字部分，我們可以從組合公式中得到。
  • an-r：這是括號裡面第一項的冪次。留意它的冪次由 `n` 開始，每之後一項就減少 1。
  • br：這是括號裡面第二項的冪次。它的冪次由 `0` 開始，每項就增加 1。
助記小貼士：冪次檢查

一個超有用的小技巧可以幫助您檢查答案：在展開式的每一項裡面，`a` 的冪次加上 `b` 的冪次，必須等於 `n`。
例子：在項 $$ C(n, r) a^{n-r} b^r $$ 中，冪次是 (n-r) 和 r。而 (n-r) + r = n。它永遠都是對的！

逐步範例：展開 (x + 2)4

讓我們用這個定理來試試看。不用擔心，我們會慢慢來。

  1. 1. 辨認 a、b 和 n。
    在這裡，a = x，b = 2，以及 n = 4。

  2. 2. 寫出展開式的結構。
    將公式當作模板使用。 $$ (x+2)^4 = C(4,0)x^4 2^0 + C(4,1)x^3 2^1 + C(4,2)x^2 2^2 + C(4,3)x^1 2^3 + C(4,4)x^0 2^4 $$
  3. 3. 計算係數 C(n, r)。
    您可以用計算機或者帕斯卡三角形（第 4 行）。
    C(4,0) = 1
    C(4,1) = 4
    C(4,2) = 6
    C(4,3) = 4
    C(4,4) = 1

  4. 4. 代入係數並簡化每一項。
    第一項: $$ 1 \cdot x^4 \cdot 1 = x^4 $$ 第二項: $$ 4 \cdot x^3 \cdot 2 = 8x^3 $$ 第三項: $$ 6 \cdot x^2 \cdot 4 = 24x^2 $$ 第四項: $$ 4 \cdot x^1 \cdot 8 = 32x $$ 第五項: $$ 1 \cdot 1 \cdot 16 = 16 $$
  5. 5. 寫出最終答案。
    $$ (x+2)^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16 $$
常見錯誤，請避免
  • 忘記符號： 如果您展開 (x - 2)4，請記住您的 'b' 項是 -2，而不是只有 2。這表示 'b' 的奇數次冪的項將會是負數。例如，$$ C(4,1)x^3(-2)^1 = -8x^3 $$。
  • 對整個項取冪： 在 (3x + 5y)3 中，第一項是 `a = 3x`。當您計算 `a^3` 時，必須是 `(3x)^3 = 27x^3`，而不是 `3x^3`。冪次同樣適用於數字部分！

3. 找出展開式中的特定項

大多數時候，您都不會被要求寫出完整的展開式。更常見的問題是找出單一、特定的項，例如「包含 x5 的項」或者「常數項」。

為了解決這類問題，我們會用到通項公式。它只是主要二項式定理的其中一部分。

$$ T_{r+1} = C(n, r) a^{n-r} b^r $$
為何是 Tr+1？快速解釋

這是一個細微但重要的細節。我們寫 Tr+1，因為項的序號會比 `r` 的值大 1。

  • 第 1 項是當 r = 0 時。
  • 第 2 項是當 r = 1 時。
  • 第 3 項是當 r = 2 時。

所以，第 (r+1) 項就是用 `r` 來計算。不要讓它搞亂您！

逐步範例：找出特定項

問題： 在 (2x - 1)10 的展開式中，找出包含 x7 的項。

  1. 1. 辨認 a、b、n 並寫出通項公式。
    a = 2x，b = -1，n = 10。
    通項是： $$ T_{r+1} = C(10, r) (2x)^{10-r} (-1)^r $$
  2. 2. 分離出包含 'x' 的部分，並將冪次設定為所需的值。
    首先，讓我們整理一下表達式： $$ T_{r+1} = C(10, r) \cdot 2^{10-r} \cdot x^{10-r} \cdot (-1)^r $$ 包含 `x` 的部分是 $$ x^{10-r} $$。我們想這個冪次是 7。
    所以，我們建立方程： $$ 10 - r = 7 $$
  3. 3. 解出 r。
    $$ r = 3 $$
  4. 4. 將 r 的值代回完整的通項公式。
    我們需要找出第 4 項（因為 r=3）。 $$ T_{3+1} = C(10, 3) (2x)^{10-3} (-1)^3 $$ $$ T_4 = C(10, 3) (2x)^7 (-1) $$
  5. 5. 計算並簡化。
    $$ C(10, 3) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120 $$ $$ T_4 = 120 \cdot (128x^7) \cdot (-1) $$ $$ T_4 = -15360x^7 $$ 所以，包含 x7 的項是 -15360x7。
您知道嗎？

二項式定理在概率論中也有用到！(p + q)n（其中 p+q=1）的展開式可以幫助計算在 `n` 次試驗中獲得某個成功次數的概率。它是所謂「二項分佈」的基石！


4. 二項式定理的證明（運用數學歸納法）

課程要求我們懂得證明這個定理。我們會用數學歸納法，這是您學過的一種強大的證明技巧。這部分會比較抽象，所以慢慢來，不用急。

命題 P(n)： $$ (a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} C(n, r) a^{n-r} b^r $$ 對於所有正整數 n 成立。

步驟 1：基礎步

證明 P(1) 成立。

左方 = $$ (a+b)^1 = a+b $$

右方 = $$ \sum_{r=0}^{1} C(1, r) a^{1-r} b^r = C(1,0)a^1b^0 + C(1,1)a^0b^1 = (1)a(1) + (1)(1)b = a+b $$

因為左方 = 右方，所以 P(1) 成立。

步驟 2：歸納假設

假設對於某個正整數 k，P(k) 成立。

亦即，我們假設： $$ (a+b)^k = \sum_{r=0}^{k} C(k, r) a^{k-r} b^r $$

步驟 3：歸納步

我們需要證明 P(k+1) 成立。亦即，我們需要證明：

$$ (a+b)^{k+1} = \sum_{r=0}^{k+1} C(k+1, r) a^{k+1-r} b^r $$

讓我們由 P(k+1) 的左方開始：

$$ (a+b)^{k+1} = (a+b)(a+b)^k $$

現在，代入我們對於 (a+b)k 的假設：

$$ = (a+b) \left( \sum_{r=0}^{k} C(k, r) a^{k-r} b^r \right) $$

讓我們展開它，看看會發生什麼事：

$$ = a \left( \sum_{r=0}^{k} C(k, r) a^{k-r} b^r \right) + b \left( \sum_{r=0}^{k} C(k, r) a^{k-r} b^r \right) $$$$ = \sum_{r=0}^{k} C(k, r) a^{k+1-r} b^r + \sum_{r=0}^{k} C(k, r) a^{k-r} b^{r+1} $$

這部分是比較難處理的。我們需要合併各項。讓我們寫出每個和式的前幾項：

第一個和式： $$ C(k,0)a^{k+1} + C(k,1)a^k b^1 + C(k,2)a^{k-1} b^2 + ... $$

第二個和式： $$ C(k,0)a^k b^1 + C(k,1)a^{k-1} b^2 + ... $$

現在，讓我們將 `a` 和 `b` 具有相同冪次的項組合起來。對於一般項例如 $$ a^{k+1-j}b^j $$，它的係數來自第一個和式中的 `r=j` 項，以及第二個和式中的 `r=j-1` 項。

這個項的合併係數是 $$ C(k,j) + C(k, j-1) $$。

在這裡我們用到一個關鍵的恆等式，稱為帕斯卡恆等式： $$ C(n,r) + C(n, r-1) = C(n+1, r) $$

所以，$$ C(k,j) + C(k,j-1) = C(k+1, j) $$。

通過將此應用於所有中間項，並包括第一項（$$C(k,0)a^{k+1} = C(k+1,0)a^{k+1}$$）和最後一項（$$C(k,k)b^{k+1} = C(k+1,k+1)b^{k+1}$$），我們得到：

$$ (a+b)^{k+1} = \sum_{j=0}^{k+1} C(k+1, j) a^{k+1-j} b^j $$

這正是 P(k+1) 的右方。所以，P(k+1) 成立。

步驟 4：結論

根據數學歸納法原理，二項式定理對於所有正整數 n 都成立。


總結與重點歸納

您終於完成了！讓我們快速回顧一下最重要的重點。

速覽框
  • 二項式定理公式：
    $$ (a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} C(n, r) a^{n-r} b^r $$

  • 通項公式（用於找出單一特定項）：
    $$ T_{r+1} = C(n, r) a^{n-r} b^r $$

  • 冪次檢查：在任何一項中，`a` 的冪次加上 `b` 的冪次必須等於 `n`。

  • 小心留意：
    • 括號內的負號（例如 `(x-y)`）。
    • 括號內的係數（例如 `(2x+3y)`）。冪次同樣適用於它們！

二項式定理是代數及其他範疇中一個非常基礎的工具。多練習用它來處理不同的例子，特別是找出特定項，您很快就會掌握它了。祝您學習愉快！