歡迎來到不定積分的世界!

哈囉!歡迎來到不定積分的精彩世界。如果微分是找出變化的速率(就好比汽車的速度),那麼積分卻是反向操作——從速度推算出總距離。它是微積分中一個基本且應用廣泛的工具,在科學、工程,甚至是經濟學領域都有大量應用。

如果初接觸時覺得有點棘手,別擔心。我們會把所有概念拆解成簡單易明的步驟。把它想像成學習一套新的解題工具。準備好了嗎?我們開始吧!


1. 什麼是不定積分?微分的逆運算

思考積分最直接的方式,就是把它看作是微分的逆運算。這個過程我們稱為尋找原函數(或反導函數)。

還記得把 $$x^2$$ 微分會得到 $$2x$$ 嗎?
$$ \frac{d}{dx}(x^2) = 2x $$ 那麼,對 $$2x$$ 積分,就能讓你回到 $$x^2$$。我們這樣寫: $$ \int 2x \,dx = x^2 + C $$

理解積分符號

  • 積分符號 ($$\int$$):這個長長的「S」形狀就代表「進行積分運算」。
  • 被積函數 ($$2x$$):這就是你要積分的函數。
  • 微分項 ($$dx$$):它告訴我們正在對變數 $$x$$ 進行積分。
  • 積分常數 ($$+ C$$):這超級重要!我們接下來會講到它。

為什麼有 "+ C"?積分常數之謎

想想這些函數:
y = $$x^2$$
y = $$x^2 + 5$$
y = $$x^2 - 100$$

當你微分它們時,會發生什麼事?
$$ \frac{d}{dx}(x^2) = 2x $$ $$ \frac{d}{dx}(x^2 + 5) = 2x $$ $$ \frac{d}{dx}(x^2 - 100) = 2x $$

它們都擁有相同的導數!這是因為任何常數的導數都是零。所以,當我們反向操作(積分)時,我們無法得知原來的常數是什麼。它可能是 5,可能是 -100,或任何其他數字。

為了考慮這個未知的常數,我們總是在答案中加上 "+ C"。這代表了所有具有相同導數的函數家族。

重要提示

不定積分是微分的逆運算。它的目的是找出原函數(即反導函數)。由於常數的導數為零,我們總是在結果中加上一個積分常數 C


2. 你的積分「入門包」:基本法則和公式

就像微分一樣,積分也有一些你需要掌握的基本法則和公式。一旦你掌握了這些,你就能解決大量的問題!

積分的基本性質

1. 常數倍法則:你可以將常數因子從積分中提出。
例子: $$ \int 5 \cos(x) \,dx = 5 \int \cos(x) \,dx $$

2. 和/差法則:你可以逐項積分函數。
例子: $$ \int (x^2 + e^x) \,dx = \int x^2 \,dx + \int e^x \,dx $$

必學公式(課程大綱要求)

這些都是你必須知道的公式。你應該目標是把它們牢記於心!

積分公式速覽
  • 冪法則: $$ \int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $$ (適用於任何 $$n \neq -1$$)
    (提示:將次方加一,然後除以新的次方。)
  • 常數法則: $$ \int k \,dx = kx + C $$
    (例子: $$ \int 7 \,dx = 7x + C $$)
  • 自然對數法則: $$ \int \frac{1}{x} \,dx = \ln|x| + C $$
    (我們使用絕對值 $$|x|$$ 是因為負數不能取對數!)
  • 指數法則: $$ \int e^x \,dx = e^x + C $$
    (這個最簡單!它的積分還是它本身。)
  • 三角函數法則:
    $$ \int \cos(x) \,dx = \sin(x) + C $$
    $$ \int \sin(x) \,dx = -\cos(x) + C $$
    (助記:積分到一個以「餘」字開頭的函數,例如 $$\cos(x)$$,通常會涉及一個負號。)
    $$ \int \sec^2(x) \,dx = \tan(x) + C $$
    (這是對 $$\tan(x)$$ 微分後再反向運算的結果!)
避免常見錯誤!

對於冪法則,一個常見的錯誤是乘以新的次方而不是除以新的次方。記住:
微分:次方降下來並減小。 $$ \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2 $$
積分:次方變大並且你要除以它。 $$ \int x^2 \,dx = \frac{x^3}{3} + C $$

重要提示

掌握基本的積分公式至關重要。練習應用冪法則、對數法則、指數法則,以及三個基本三角函數法則。記住永遠要加上「+ C」!


3. 找出原始藍圖:不定積分的應用

那麼,找出「+ C」的意義何在?在許多現實世界的問題中,我們會有額外的資訊,使我們能夠找出 C 的*精確*值。這就好比你已知道路各處的斜率,再加上某一點的海拔高度,就能繪製出整條道路的高度圖。

這稱為找出特解。一個典型的應用是,已知一條曲線的斜率函數 ($$dy/dx$$) 和它通過的一個點,來找出該曲線的方程。

尋找特解的分步指南

問題:曲線的斜率由 $$ \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 4x $$ 給出。如果該曲線通過點 (2, 1),求其方程。

步驟 1:積分斜率函數以找出通解。
曲線的方程是 $$ y = \int (3x^2 - 4x) \,dx $$。
$$ y = \frac{3x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} + C $$ $$ y = x^3 - 2x^2 + C $$ 這就是「通解」——它代表了所有具有該斜率的曲線家族。

步驟 2:使用給定點來找出 C 的值。
我們知道曲線通過 (2, 1)。這意味著當 $$x=2$$ 時,$$y=1$$。讓我們把這些值代入我們的通解中。
$$ 1 = (2)^3 - 2(2)^2 + C $$ $$ 1 = 8 - 2(4) + C $$ $$ 1 = 8 - 8 + C $$ $$ C = 1 $$

步驟 3:寫下最終的特解。
既然我們知道 C=1,我們就可以寫出這條曲線的特定方程。
最終答案: $$ y = x^3 - 2x^2 + 1 $$

重要提示

不定積分會給出一個通解 ($$y = F(x) + C$$)。如果給你曲線上的一個點 ($$x_0, y_0$$),你可以將其代入通解中,以找出 C 的特定值,並得到特解。


4. 偽裝的藝術:換元積分法

當你遇到一個不符合任何基本公式的積分時,該怎麼辦?例如 $$ \int 2x\sqrt{x^2+1} \,dx $$?

這就是換元積分法登場的時候了。它是微分中鏈式法則的逆運算。主要思想是通過用一個新變量(通常是「u」)替換表達式的一部分,來簡化一個複雜的積分。

何時使用?

尋找一個積分,其中你可以看到一個函數(「內函數」)及其導數(或其導數的常數倍數)同時存在。
在我們的例子中,$$ \int 2x\sqrt{x^2+1} \,dx $$,「內函數」是 $$x^2+1$$。它的導數是 $$2x$$,它也出現在積分中!這是一個完美的換元積分候選。

換元法的分步指南

問題:找出 $$ \int 2x\sqrt{x^2+1} \,dx $$

步驟 1:選擇你的「u」。讓「u」成為「內函數」。
設 $$ u = x^2+1 $$

步驟 2:找出「du」。對「u」關於「x」微分($$du/dx$$)並重新排列。
$$ \frac{du}{dx} = 2x $$ 重新排列後得到: $$ du = 2x \,dx $$

步驟 3:全部替換。用「u」和「du」替換原積分的部分。你的新積分應該只剩下「u」這個變量。
我們的積分是 $$ \int \sqrt{x^2+1} \cdot (2x \,dx) $$ 替換後得到: $$ \int \sqrt{u} \,du $$ 看看這變得多麼簡單!

步驟 4:對「u」進行積分。使用冪法則($$\sqrt{u} = u^{1/2}$$)。
$$ \int u^{1/2} \,du = \frac{u^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} + C = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}u^{3/2} + C $$

步驟 5:回代。原始問題是以「x」表示的,所以我們的答案必須以「x」表示。將「u」替換回其原始表達式。
最終答案: $$ \frac{2}{3}(x^2+1)^{3/2} + C $$

避免常見錯誤!

學生們經常忘記步驟 5!你必須總是在最後將答案回代回原始變量。以「u」表示的答案是不完整的。

重要提示

換元積分法(u-代換法)通過將複雜部分替換為單一變量「u」來簡化積分。尋找一個函數及其導數。遵循這 5 個步驟:選擇 u、找出 du、替換、積分、回代。


5. 三角函數來解圍:三角換元積分法

這是一種特殊而強大的換元積分類型,用於包含涉及平方根或平方和特定形式的積分。目標是利用三角恆等式,例如 $$ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $$,來消除棘手的部分。

在香港中學文憑考試(HKDSE)數學延伸部分單元二(M2)的課程中,你只需要辨識兩種主要形式:

換元「食譜」

1. 對於涉及 $$ \sqrt{a^2 - x^2} $$ 或 $$ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $$ 的積分:
使用換元:$$ x = a \sin\theta $$
這之所以有效,是因為 $$ a^2 - x^2 = a^2 - a^2\sin^2\theta = a^2(1-\sin^2\theta) = a^2\cos^2\theta $$。平方根就消失了!

2. 對於涉及 $$ x^2 + a^2 $$ 或 $$ \frac{1}{x^2 + a^2} $$ 的積分:
使用換元:$$ x = a \tan\theta $$
這之所以有效,是因為 $$ x^2 + a^2 = a^2\tan^2\theta + a^2 = a^2(\tan^2\theta + 1) = a^2\sec^2\theta $$。

你知道嗎?這些類型的積分答案通常涉及反三角函數,例如 $$ \sin^{-1}(x) $$ (arcsin) 或 $$ \tan^{-1}(x) $$ (arctan)。讓我們看看如何操作。

例子:$$1/(x^2 + a^2)$$ 的情況

問題:找出 $$ \int \frac{1}{x^2+a^2} \,dx $$

1. 進行換元:這符合我們的第二個「食譜」。設 $$ x = a \tan\theta $$。那麼我們也必須找出 $$dx$$。微分後得到 $$ \frac{dx}{d\theta} = a \sec^2\theta $$,所以 $$ dx = a \sec^2\theta \,d\theta $$。

2. 簡化:將這些代入積分中。
$$ \int \frac{1}{(a \tan\theta)^2 + a^2} \cdot (a \sec^2\theta \,d\theta) = \int \frac{1}{a^2\tan^2\theta + a^2} \cdot (a \sec^2\theta \,d\theta) $$ $$ = \int \frac{1}{a^2(\tan^2\theta + 1)} \cdot (a \sec^2\theta \,d\theta) = \int \frac{1}{a^2\sec^2\theta} \cdot (a \sec^2\theta \,d\theta) $$ $$a\sec^2\theta$$ 項巧妙地約掉了! $$ = \int \frac{1}{a} \,d\theta $$

3. 積分:這現在是一個非常簡單的積分。
$$ \frac{1}{a} \theta + C $$

4. 回代:我們需要用 $$x$$ 來表達 $$\theta$$。從我們最初的換元,$$ x = a\tan\theta $$,這意味著 $$ \tan\theta = \frac{x}{a} $$。因此,$$ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) $$。
最終答案: $$ \frac{1}{a}\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C $$

重要提示

三角換元積分法是一種針對特定形式的特殊技巧。記住這兩個「食譜」:對於 $$a^2-x^2$$ 形式,使用 $$x=a\sin\theta$$;對於 $$x^2+a^2$$ 形式,使用 $$x=a\tan\theta$$。


6. 分而治之:分部積分法

我們最後一個主要的積分技巧是分部積分法。這是微分中乘法定律的積分版本。它用於當你需要積分兩種不同類型函數的乘積時,例如 $$ \int x e^x \,dx $$(一個代數函數乘以一個指數函數)。

神奇公式

這個公式看起來可能有點嚇人,但你會習慣的:

$$ \int u \,dv = uv - \int v \,du $$

訣竅是將你的積分分成兩部分:一個「u」部分(將會被微分)和一個「dv」部分(將會被積分)。

如何選擇「u」和「dv」

選擇正確的「u」是最重要的一步!一個很好的經驗法則就是助記詞 LIATE

  • Logarithmic 對數函數(例如:$$\ln(x)$$)
  • Inverse Trig 反三角函數(例如:$$\tan^{-1}(x)$$)
  • Algebraic 代數函數(例如:$$x, x^2$$)
  • Trigonometric 三角函數(例如:$$\sin(x), \cos(x)$$)
  • Exponential 指數函數(例如:$$e^x$$)

你的乘積中,哪種類型的函數在這個列表中出現得越靠前,就選擇它作為你的「u」。

分部積分法的分步指南

問題:找出 $$ \int x \cos(x) \,dx $$

步驟 1:選擇「u」和「dv」。
我們的積分是代數函數 ($$x$$) 和三角函數 ($$\cos(x)$$) 的乘積。在 LIATE 中,「A」在「T」之前。
所以,設 $$u = x$$
其他所有都是「dv」。所以,$$dv = \cos(x) \,dx$$

步驟 2:找出「du」和「v」。
微分「u」: $$ \frac{du}{dx} = 1 \implies du = dx $$。
積分「dv」: $$ v = \int \cos(x) \,dx = \sin(x) $$。(這裡不需要「+C」)。

步驟 3:將所有部分代入公式: $$ \int u \,dv = uv - \int v \,du $$
$$ \int x \cos(x) \,dx = (x)(\sin(x)) - \int (\sin(x))(dx) $$

步驟 4:解出餘下的積分。
新的積分 $$ \int \sin(x) \,dx $$ 是一個我們已經知道的簡單積分!
$$ = x\sin(x) - (-\cos(x)) + C $$
最終答案: $$ x\sin(x) + \cos(x) + C $$

重要提示

對函數的乘積使用分部積分法。使用 LIATE 法則來選擇「u」。應用公式 $$ \int u \,dv = uv - \int v \,du $$。目標是使新的積分 $$ \int v \,du $$ 比原來的更簡單。課程大綱指出,你只會在一個問題中最多應用此過程兩次。