歡迎來到不定積分的世界！
歡迎來到不定積分的精彩世界。如果微分是找出變化的速率（就好比汽車的速度），那麼積分卻是反向操作——從速度推算出總距離。它是微積分中一個基本且應用廣泛的工具，在科學、工程，甚至是經濟學領域都有大量應用。
如果初接觸時覺得有點棘手，別擔心。我們會把所有概念拆解成簡單易懂的步驟。把它想像成學習一套新的解題工具。準備好了嗎？我們現在就開始吧！
1. 什麼是不定積分？微分的逆運算
思考積分最直接的方式，就是把它看作是微分的逆運算。這個過程我們稱為尋找原函數（或反導函數）。
您還記得將 $$x^2$$ 微分會得到 $$2x$$ 嗎？
$$ \frac{d}{dx}(x^2) = 2x $$那麼，對 $$2x$$ 積分，就能讓您回到 $$x^2$$。我們將其表示為：$$ \int 2x \,dx = x^2 + C $$
理解積分符號
- 積分符號 ($$\int$$)：這個長長的「S」形狀就代表「進行積分運算」。
- 被積函數 ($$2x$$)：這就是待積分的函數。
- 微分項 ($$dx$$)：它告訴我們正在對變數 $$x$$ 進行積分。
- 積分常數 ($$+ C$$)：這極為重要！我們稍後將會詳細說明。
為什麼有 "+ C"？積分常數之謎
請思考以下函數：
y = $$x^2$$
y = $$x^2 + 5$$
y = $$x^2 - 100$$
當您對它們進行微分時，會發生什麼情況？
$$ \frac{d}{dx}(x^2) = 2x $$
$$ \frac{d}{dx}(x^2 + 5) = 2x $$
$$ \frac{d}{dx}(x^2 - 100) = 2x $$
它們都擁有相同的導數！這是因為任何常數的導數都是零。所以，當我們反向操作（積分）時，我們無法得知原來的常數數值為何。它可能是 5，可能是 -100，或任何其他數字。
為了考慮這個未知的常數，我們總是在答案中加上 "+ C"。這代表了所有具有相同導數的函數家族。
重要提示
不定積分是微分的逆運算。它的目的是找出原函數（即反導函數）。由於常數的導數為零，我們總是在結果中加上一個積分常數 C。
2. 積分基本法則與公式
就像微分一樣，積分也有一些您需要掌握的基本法則和公式。一旦您掌握了這些，您就能解決大量的問題！
積分的基本性質
1. 常數倍法則：您可以將常數因子從積分中提出。
例子： $$ \int 5 \cos(x) \,dx = 5 \int \cos(x) \,dx $$
2. 和/差法則：您可以逐項積分函數。
例子： $$ \int (x^2 + e^x) \,dx = \int x^2 \,dx + \int e^x \,dx $$
必學公式（課程大綱要求）
這些都是您必須知道的公式。您應將其牢記於心！
積分公式速覽
- 冪法則： $$ \int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $$ （適用於任何 $$n \neq -1$$）
（提示：將次方加一，然後除以新的次方。） - 常數法則： $$ \int k \,dx = kx + C $$
（例子： $$ \int 7 \,dx = 7x + C $$） - 自然對數法則： $$ \int \frac{1}{x} \,dx = \ln|x| + C $$
（我們使用絕對值 $$|x|$$ 是因為負數不能取對數！） - 指數法則： $$ \int e^x \,dx = e^x + C $$
（這最為簡單！其積分仍是其本身。） - 三角函數法則：
$$ \int \cos(x) \,dx = \sin(x) + C $$
$$ \int \sin(x) \,dx = -\cos(x) + C $$
（助記：積分到一個以「餘」字開頭的函數，例如 $$\cos(x)$$，通常會涉及一個負號。）
$$ \int \sec^2(x) \,dx = \tan(x) + C $$
（這是對 $$\tan(x)$$ 微分後再反向運算的結果！）
避免常見錯誤！
對於冪法則，一個常見的錯誤是乘以新的次方而不是除以新的次方。記住：
微分：次方會下降並減小。 $$ \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2 $$
積分：次方變大並且需除以它。 $$ \int x^2 \,dx = \frac{x^3}{3} + C $$
重要提示
掌握基本的積分公式至關重要。練習應用冪法則、對數法則、指數法則，以及三個基本三角函數法則。務必記住永遠要加上「+ C」！
3. 找出原始藍圖：不定積分的應用
那麼，找出「+ C」的意義何在？在許多現實世界的問題中，我們會有額外的資訊，使我們能夠找出 C 的*精確*值。這就好比您已知道路徑各處的斜率，再加上某一點的海拔高度，便能繪製出整條道路的高度圖。
這稱為找出特解。一個典型的應用是，已知一條曲線的斜率函數 ($$dy/dx$$) 和它通過的一個點，以找出該曲線的方程。
尋找特解的分步指南
問題：曲線的斜率由 $$ \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 4x $$ 給出。如果該曲線通過點 (2, 1)，求其方程。
步驟 1：積分斜率函數以求得通解。
曲線的方程是 $$ y = \int (3x^2 - 4x) \,dx $$。
$$ y = \frac{3x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} + C $$
$$ y = x^3 - 2x^2 + C $$這就是「通解」——它代表了所有具有該斜率的曲線家族。
步驟 2：使用給定點以求得 C 的值。
我們知道曲線通過 (2, 1)。這意味著當 $$x=2$$ 時，$$y=1$$。我們將這些值代入通解中。
$$ 1 = (2)^3 - 2(2)^2 + C $$
$$ 1 = 8 - 2(4) + C $$
$$ 1 = 8 - 8 + C $$
$$ C = 1 $$
步驟 3：寫出最終的特解。
既然我們知道 C=1，我們便可以寫出這條曲線的特定方程。
最終答案： $$ y = x^3 - 2x^2 + 1 $$
重要提示
不定積分會給出一個通解 ($$y = F(x) + C$$)。若給定曲線上的一個點 ($$x_0, y_0$$)，您可以將其代入通解中，以求得 C 的特定值，並得到特解。
4. 偽裝的藝術：換元積分法
當您遇到一個不符合任何基本公式的積分時，應如何處理？例如 $$ \int 2x\sqrt{x^2+1} \,dx $$？
此時換元積分法便能發揮作用。它是微分中鏈式法則的逆運算。主要思想是通過用一個新變量（通常是「u」）替換表達式的一部分，來簡化一個複雜的積分。
何時使用？
尋找一個積分，其中可見一個函數（「內函數」）及其導數（或其導數的常數倍數）同時存在。
在我們的例子中，$$ \int 2x\sqrt{x^2+1} \,dx $$，「內函數」是 $$x^2+1$$。它的導數是 $$2x$$，其亦出現在積分中！這是一個非常適合進行換元積分的對象。
換元法的分步指南
問題：求出 $$ \int 2x\sqrt{x^2+1} \,dx $$
步驟 1：選擇您的「u」。將「u」設為「內函數」。
設 $$ u = x^2+1 $$
步驟 2：求出「du」。對「u」關於「x」微分（$$du/dx$$）並重新排列。
$$ \frac{du}{dx} = 2x $$重新排列後得到： $$ du = 2x \,dx $$
步驟 3：全部替換。用「u」和「du」替換原積分的部分。新積分應只剩下變量「u」。
我們的積分是 $$ \int \sqrt{x^2+1} \cdot (2x \,dx) $$替換後得到： $$ \int \sqrt{u} \,du $$如此一來，積分變得多麼簡單！
步驟 4：對「u」進行積分。使用冪法則（$$\sqrt{u} = u^{1/2}$$）。
$$ \int u^{1/2} \,du = \frac{u^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} + C = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}u^{3/2} + C $$
步驟 5：回代。原始問題是以「x」表示的，所以我們的答案必須以「x」表示。將「u」替換回其原始表達式。
最終答案：： $$ \frac{2}{3}(x^2+1)^{3/2} + C $$
避免常見錯誤！
學生們經常忘記步驟 5！務必在最後將答案回代回原始變量。以「u」表示的答案是不完整的。
重要提示
換元積分法（u-代換法）通過將複雜部分替換為單一變量「u」來簡化積分。尋找一個函數及其導數。遵循這 5 個步驟：選擇 u、求出 du、替換、積分、回代。
5. 三角函數解題法：三角換元積分法
這是一種特殊而強大的換元積分類型，用於包含涉及平方根或平方和特定形式的積分。目標是利用三角恆等式，例如 $$ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $$，來消除棘手的部分。
在香港中學文憑考試（HKDSE）數學延伸部分單元二（M2）的課程中，您只需要辨識兩種主要形式：
換元「指南」
1. 對於涉及 $$ \sqrt{a^2 - x^2} $$ 或 $$ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $$ 的積分：
使用換元：$$ x = a \sin\theta $$
這之所以有效，是因為 $$ a^2 - x^2 = a^2 - a^2\sin^2\theta = a^2(1-\sin^2\theta) = a^2\cos^2\theta $$。平方根便會消失！
2. 對於涉及 $$ x^2 + a^2 $$ 或 $$ \frac{1}{x^2 + a^2} $$ 的積分：
使用換元：$$ x = a \tan\theta $$
這之所以有效，是因為 $$ x^2 + a^2 = a^2\tan^2\theta + a^2 = a^2(\tan^2\theta + 1) = a^2\sec^2\theta $$。
您知道嗎？這些類型的積分答案通常涉及反三角函數，例如 $$ \sin^{-1}(x) $$ (arcsin) 或 $$ \tan^{-1}(x) $$ (arctan)。讓我們來看看具體操作。
例子：$$1/(x^2 + a^2)$$ 的情況
問題：求出 $$ \int \frac{1}{x^2+a^2} \,dx $$
1. 進行換元：這符合我們的第二個「指南」。設 $$ x = a \tan\theta $$。那麼我們也必須求出 $$dx$$。微分後得到 $$ \frac{dx}{d\theta} = a \sec^2\theta $$，所以 $$ dx = a \sec^2\theta \,d\theta $$。
2. 簡化：將這些代入積分中。
$$ \int \frac{1}{(a \tan\theta)^2 + a^2} \cdot (a \sec^2\theta \,d\theta) = \int \frac{1}{a^2\tan^2\theta + a^2} \cdot (a \sec^2\theta \,d\theta) $$
$$ = \int \frac{1}{a^2(\tan^2\theta + 1)} \cdot (a \sec^2\theta \,d\theta) = \int \frac{1}{a^2\sec^2\theta} \cdot (a \sec^2\theta \,d\theta) $$
$$a\sec^2\theta$$ 項巧妙地約去了！
$$ = \int \frac{1}{a} \,d\theta $$
3. 積分：這現在是一個非常簡單的積分。
$$ \frac{1}{a} \theta + C $$
4. 回代：我們需要用 $$x$$ 來表達 $$\theta$$。從我們最初的換元，$$ x = a\tan\theta $$，這意味著 $$ \tan\theta = \frac{x}{a} $$。因此，$$ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) $$。
最終答案： $$ \frac{1}{a}\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C $$
重要提示
三角換元積分法是一種針對特定形式的特殊技巧。請記住這兩個「指南」：對於 $$a^2-x^2$$ 形式，使用 $$x=a\sin\theta$$；對於 $$x^2+a^2$$ 形式，使用 $$x=a\tan\theta$$。
6. 分而治之：分部積分法
我們最後一個主要的積分技巧是分部積分法。這是微分中乘法定律的積分版本。它用於當您需要積分兩種不同類型函數的乘積時，例如 $$ \int x e^x \,dx $$（一個代數函數乘以一個指數函數）。
神奇公式
這個公式看起來可能有點令人卻步，但您會習慣的：
$$ \int u \,dv = uv - \int v \,du $$
訣竅在於將積分分成兩部分：一個「u」部分（將會被微分）和一個「dv」部分（將會被積分）。
如何選擇「u」和「dv」
選擇正確的「u」是最重要的一步！一個很好的經驗法則就是助記詞 LIATE：
- Logarithmic 對數函數（例如：$$\ln(x)$$）
- Inverse Trig 反三角函數（例如：$$\tan^{-1}(x)$$）
- Algebraic 代數函數（例如：$$x, x^2$$）
- Trigonometric 三角函數（例如：$$\sin(x), \cos(x)$$）
- Exponential 指數函數（例如：$$e^x$$）
在您的乘積中，哪種類型的函數在這個列表中出現得越靠前，便選擇它作為您的「u」。
分部積分法的分步指南
問題：求出 $$ \int x \cos(x) \,dx $$
步驟 1：選擇「u」和「dv」。
我們的積分是代數函數 ($$x$$) 和三角函數 ($$\cos(x)$$) 的乘積。在 LIATE 中，「A」在「T」之前。
所以，設 $$u = x$$。
其他所有都是「dv」。所以，$$dv = \cos(x) \,dx$$。
步驟 2：求出「du」和「v」。
微分「u」： $$ \frac{du}{dx} = 1 \implies du = dx $$。
積分「dv」： $$ v = \int \cos(x) \,dx = \sin(x) $$。（這裡不需要「+C」）。
步驟 3：將所有部分代入公式： $$ \int u \,dv = uv - \int v \,du $$
$$ \int x \cos(x) \,dx = (x)(\sin(x)) - \int (\sin(x))(dx) $$
步驟 4：解出剩餘的積分。
新的積分 $$ \int \sin(x) \,dx $$ 是一個我們已經知道的簡單積分！
$$ = x\sin(x) - (-\cos(x)) + C $$
最終答案： $$ x\sin(x) + \cos(x) + C $$
重要提示
對函數的乘積使用分部積分法。使用 LIATE 法則來選擇「u」。應用公式 $$ \int u \,dv = uv - \int v \,du $$。目標是使新的積分 $$ \int v \,du $$ 比原來的更簡單。課程大綱指出，此過程最多只會在一個問題中應用兩次。