e 嘅簡介:增長嘅神奇數字

同學你好!歡迎嚟到呢份關於數學界最引人入勝嘅數字之一——數字 e 嘅溫習筆記。如果你聽過 pi (π),咁 e 就係佢同樣咁型嘅表親!佢一開始可能睇落有啲神秘,但唔使擔心!我哋會一步一步咁拆解佢。

喺呢一章,我哋會探討 e 係乜嘢、佢點樣嚟,仲會認識佢嘅最好朋友——自然對數 (ln)。了解 e 超級重要,因為佢係描述各種現實世界現象嘅關鍵,例如人口增長到放射性衰變等等,而且佢係微積分嘅超級巨星嚟㗎!


「e」係乜嘢?連續增長嘅故事

了解 e 嘅最好方法,就係諗下錢同利息。呢個類比會令所有嘢都清晰好多!

一個類比:神奇銀行戶口

想像一下,你喺一間特別嘅銀行存入 $1,呢間銀行提供驚人嘅每年 100% 利率。等我哋睇下,根據佢哋計息嘅頻率,一年之後你會有幾多錢。

我哋會用嘅公式係 $$A = P(1 + \frac{r}{n})^{nt}$$,當中:
P = 本金 ($1)
r = 年利率 (100% 或者 1)
t = 年期 (1)
n = 每年計算利息嘅次數

喺我哋嘅例子入面,公式會簡化成:$$A = (1 + \frac{1}{n})^{n}$$

情況 1:每年計息一次 (n=1)
你喺年底會攞到你 $1 嘅 100% 利息。
金額 = $$(1 + \frac{1}{1})^1 = 2^1 = $2.00$$

情況 2:每年計息兩次 (n=2)
你喺 6 個月後攞到 50% 利息,然後喺接下來嘅 6 個月,你再攞到新總額嘅 50% 利息。
金額 = $$(1 + \frac{1}{2})^2 = (1.5)^2 = $2.25$$
嘩,多咗錢喎!

情況 3:每年計息四次 (n=4)
金額 = $$(1 + \frac{1}{4})^4 \approx (1.25)^4 \approx $2.44$$

如果我哋不斷增加 n 會點樣呢?等我哋設定佢每日、每秒、甚至每時每刻都計息!

  • 如果 n = 12 (每月):$$(1 + \frac{1}{12})^{12} \approx $2.61$$
  • 如果 n = 365 (每日):$$(1 + \frac{1}{365})^{365} \approx $2.714$$
  • 如果 n = 1,000,000 (一百萬次):$$(1 + \frac{1}{1000000})^{1000000} \approx $2.71828...$$

有無發現到啲好神奇嘅嘢?當 n 越嚟越大,最終嘅金額會越嚟越接近某個特定嘅數字。佢唔會增長到無限大!呢個特別嘅數字,就係呢個過程嘅極限,我哋稱之為 e

「e」嘅正式定義

喺數學入面,我哋用極限嚟表達呢個概念。呢個係你需要認識嘅第一個正式定義。

定義 1:極限定義
數字 e 係指當 n 變得無限大時,表達式 $$(1 + \frac{1}{n})^n$$ 所趨近嘅值。我哋將佢寫成: $$e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$$

e 係一個無理數,就正如 π 一樣。呢個意思係佢嘅小數點位會無限延伸,而唔會循環重複嘅模式。
e ≈ 2.718281828...

你又知唔知?

數字 e 通常被稱為歐拉數 (Euler's Number),以瑞士嘅傑出數學家萊昂哈德·歐拉 (Leonhard Euler) 命名,佢喺呢個數字上做咗大量嘅研究。

重點總結

e 代表喺一個週期內,100% 連續增長嘅結果。佢係增長嘅自然極限。


睇「e」嘅另一種方法:無窮級數

仲有第二種方法嚟定義 e,呢種方法都非常強大。佢涉及將無限個項加埋一齊。唔使擔心,你只需要識得認呢個公式就得㗎啦。

快速重溫:階乘!

數學入面嘅感嘆號叫做階乘。佢嘅意思係將一個整數乘埋所有比佢細、直到 1 嘅所有整數。
例子:$$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$
仲有一個特殊情況:$$0! = 1$$

定義 2:無窮級數定義
我哋可以將函數 $$e^x$$ 定義為一個無限和: $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ...$$

要搵 e 本身嘅值,我哋只需要喺上面嘅公式入面,令 x = 1 就得: $$e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + ...$$ $$e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + ...$$ 如果你將呢啲項加埋,你會發現佢哋都係越嚟越接近 2.71828...

重點總結

定義 e 有兩種主要方法:一種係代表連續增長嘅極限,另一種係無窮級數。兩者都會帶領我哋去到同一個神奇嘅數字!


認識自然對數 (ln)

每個超級英雄都有一個好拍檔,而對於函數 $$e^x$$ 嚟講,佢嘅好拍檔就係自然對數,寫做 ln(x)

快速重溫:咩係對數?

對數只不過係一個問題。表達式 $$log_b(a)$$ 問嘅係:「我需要將底數 b 提升到幾多次方,先可以得到數字 a?」
例子:$$log_{10}(100) = 2$$,因為你需要將底數 10 提升到 2 次方先可以得到 100 ($$10^2 = 100$$)。

定義自然對數

自然對數只係以 e 為底數嘅對數。

ln(x) 同 loge(x) 係一樣嘅

所以,當你見到 ln(x),佢問嘅問題就係:「e 嘅幾多次方會得到 x?」

逐步例子:
  • ln(e) 係乜嘢?
    呢個問緊:「e 嘅幾多次方會等於 e?」答案明顯係 1。所以,ln(e) = 1
  • ln(1) 係乜嘢?
    呢個問緊:「e 嘅幾多次方會等於 1?」任何數嘅 0 次方都係 1。所以,ln(1) = 0
  • ln(e5) 係乜嘢?
    呢個問緊:「e 嘅幾多次方會等於 e5?」答案就喺度啦!係 5。所以,ln(e5) = 5
最重要嘅關係:佢哋係反函數!

函數 $$e^x$$ 同 $$ln(x)$$ 係反函數。呢個意思係佢哋會互相「抵銷」對方,就好似乘法會抵銷除法咁。

呢個畀咗我哋兩個非常有用嘅法則: $$e^{\ln(x)} = x$$ $$\ln(e^x) = x$$

呢個特性對於解涉及 e 或 ln 嘅方程非常重要。

重點總結

自然對數,或者 ln(x),只係以 e 為底數嘅對數。佢係函數 $$e^x$$ 嘅反函數。


點解我哋要理會佢?「e」喺微積分中嘅魔力

咁點解呢個數字咁特別呢? e 真正嘅美妙之處喺微積分入面大放異彩。

函數 $$f(x) = e^x$$ 有一個令人驚嘆嘅特性:

ex 嘅導數(或斜率)就係 ex 本身。

呢個意思係,喺函數 $$y = e^x$$ 圖像上嘅任何一點,函數嘅值剛好等於該點切線嘅斜率。佢係唯一一個(除咗 y=0 之外)函數值同其變化率相同嘅函數。呢個令到物理學、工程學同金融學中無數嘅計算變得簡單好多。呢就係點解 e 被視為指數底數嘅「自然」選擇。


章節總結及重點

做得好好!雖然內容好多,但以下係你絕對需要知道嘅重點。

  • e 係乜嘢? 佢係一個特殊嘅無理數,大約係 2.718。佢代表連續增長嘅極限。
  • 定義 1(極限): $$e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$$
  • 定義 2(級數): $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$$
  • ln(x) 係乜嘢? 佢係自然對數,意思係以 e 為底數嘅對數。($$\ln(x) = \log_e(x)$$)
  • 反函數關係: $$e^x$$ 同 $$\ln(x)$$ 會互相抵銷。意思即係 $$\ln(e^x) = x$$ 同 $$e^{\ln(x)} = x$$。
  • 點解佢對微積分咁特別? $$e^x$$ 嘅導數就係佢本身,$$e^x$$。呢個令佢成為微積分嘅「自然」底數。

繼續溫習呢啲核心概念,你好快就會掌握 e 㗎啦。你一定得嘅!