數學 單元二 (代數與微積分) | e 的簡介

e 的簡介：增長的神奇數字

同學你好！歡迎來到這份關於數學界最引人入勝的數字之一——數字 e 的溫習筆記。如果你聽過 pi (π)，那麼 e 就是它同樣重要的表親！它一開始可能看起來有些神秘，但不用擔心！我們會一步一步地拆解它。

在這一章，我們會探討 e 是什麼、它如何而來，還會認識它的最好朋友——自然對數 (ln)。了解 e 非常重要，因為它是描述各種現實世界現象的關鍵，例如人口增長到放射性衰變等等，而且它是微積分的超級巨星！

「e」是什麼？連續增長的故事

了解 e 的最好方法，就是想想錢和利息。這個類比會讓所有事情都清晰許多！

一個類比：神奇銀行戶口

想像一下，你在一家特別的銀行存入 $1，這家銀行提供驚人的每年 100% 利率。讓我們看看，根據它們計息的頻率，一年之後你會有多少錢。

我們會用的公式是 $$A = P(1 + \frac{r}{n})^{nt}$$，當中：
P = 本金 ($1)
r = 年利率 (100% 或者 1)
t = 年期 (1)
n = 每年計算利息的次數

在我們的例子中，公式會簡化成：$$A = (1 + \frac{1}{n})^{n}$$

情況 1：每年計息一次 (n=1)
你在年底會拿到你 $1 的 100% 利息。
金額 = $$(1 + \frac{1}{1})^1 = 2^1 = $2.00$$

情況 2：每年計息兩次 (n=2)
你在 6 個月後拿到 50% 利息，然後在接下來的 6 個月，你再拿到新總額的 50% 利息。
金額 = $$(1 + \frac{1}{2})^2 = (1.5)^2 = $2.25$$
哇，錢變多了！

情況 3：每年計息四次 (n=4)
金額 = $$(1 + \frac{1}{4})^4 \approx (1.25)^4 \approx $2.44$$

如果我們不斷增加 n 會怎麼樣呢？讓我們設定它每日、每秒、甚至每時每刻都計息！

• 如果 n = 12 (每月)：$$(1 + \frac{1}{12})^{12} \approx $2.61$$
• 如果 n = 365 (每日)：$$(1 + \frac{1}{365})^{365} \approx $2.714$$
• 如果 n = 1,000,000 (一百萬次)：$$(1 + \frac{1}{1000000})^{1000000} \approx $2.71828...$$

有沒有發現到一些很神奇的事情？當 n 越來越大，最終的金額會越來越接近某個特定的數字。它不會增長到無限大！這個特別的數字，就是這個過程的極限，我們稱之為 e。

「e」的正式定義

在數學裡面，我們用極限來表達這個概念。這是你需要認識的第一個正式定義。

定義 1：極限定義
數字 e 是指當 n 變得無限大時，表達式 $$(1 + \frac{1}{n})^n$$ 所趨近的值。我們將它寫成：$$e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$$

e 是一個無理數，就正如 π 一樣。這意思是它的小數點位會無限延伸，而不會循環重複的模式。
e \approx 2.718281828...

你知道嗎？

數字 e 通常被稱為歐拉數 (Euler's Number)，以瑞士的傑出數學家萊昂哈德·歐拉 (Leonhard Euler) 命名，他在這個數字上做了大量的研究。

重點總結

e 代表在一個週期內，100% 連續增長的結果。它是增長的自然極限。

看「e」的另一種方法：無窮級數

還有第二種方法來定義 e，這種方法都非常強大。它涉及將無限個項加在一起。不用擔心，你只需要懂得認這個公式就可以了。

快速重溫：什麼是階乘！

數學裡面的感嘆號叫做階乘。它的意思是將一個整數乘以所有比它小、直到 1 的所有整數。
例子：$$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$
還有一個特殊情況：$$0! = 1$$

定義 2：無窮級數定義
我們可以將函數 $$e^x$$ 定義為一個無限和：$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ...$$

要找 e 本身的值，我們只需要在上面的公式裡面，令 x = 1 就可以了：$$e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + ...$$$$e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + ...$$如果你將這些項加在一起，你會發現它們都是越來越接近 2.71828...

重點總結

定義 e 有兩種主要方法：一種是代表連續增長的極限，另一種是無窮級數。兩者都會帶領我們去到同一個神奇的數字！

認識自然對數 (ln)

每個超級英雄都有一個好拍檔，而對於函數 $$e^x$$ 來說，它的好拍檔就是自然對數，寫作 ln(x)。

快速重溫：什麼是對數？

對數只不過是一個問題。表達式 $$log_b(a)$$ 問的是：「我需要將底數 b 提升到幾多次方，才可以得到數字 a？」
例子：$$log_{10}(100) = 2$$，因為你需要將底數 10 提升到 2 次方才可以得到 100 ($$10^2 = 100$$)。

定義自然對數

自然對數只是以 e 為底數的對數。

ln(x) 和 log_e(x) 是一樣的

所以，當你見到 ln(x)，它問的問題就是：「e 的幾多次方會得到 x？」

逐步例子：

• ln(e) 是什麼？
  這個問著：「e 的幾多次方會等於 e？」答案明顯是 1。所以，ln(e) = 1。
• ln(1) 是什麼？
  這個問著：「e 的幾多次方會等於 1？」任何數的 0 次方都是 1。所以，ln(1) = 0。
• ln(e⁵) 是什麼？
  這個問著：「e 的幾多次方會等於 e⁵？」答案就在這裡了！是 5。所以，ln(e⁵) = 5。

最重要的關係：它們是反函數！

函數 $$e^x$$ 和 $$ln(x)$$ 是反函數。這意思是它們會互相「抵銷」對方，就好像乘法會抵銷除法一樣。

這給了我們兩個非常有用的法則：$$e^{\ln(x)} = x$$$$\ln(e^x) = x$$

這個特性對於解涉及 e 或 ln 的方程非常重要。

重點總結

自然對數，或者 ln(x)，只是以 e 為底數的對數。它是函數 $$e^x$$ 的反函數。

為什麼我們要理會它？「e」在微積分中的魔力

那麼為什麼這個數字這麼特別呢？ e 真正的美妙之處在微積分裡面大放異彩。

函數 $$f(x) = e^x$$ 有一個令人驚嘆的特性：

e^x 的導數（或斜率）就是 e^x 本身。

這意思是，在函數 $$y = e^x$$ 圖像上的任何一點，函數的值剛好等於該點切線的斜率。它是唯一一個（除了 y=0 之外）函數值與其變化率相同的函數。這使得物理學、工程學和金融學中無數的計算變得簡單許多。這就是為什麼 e 被視為指數底數的「自然」選擇。

章節總結及重點

做得很好！雖然內容很多，但以下是你絕對需要知道的重點。

• e 是什麼？ 它是一個特殊的無理數，大約是 2.718。它代表連續增長的極限。
• 定義 1（極限）： $$e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$$
• 定義 2（級數）： $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$$
• ln(x 是什麼？ 它是自然對數，意思是以 e 為底數的對數。（$$\ln(x) = \log_e(x)$$）
• 反函數關係： $$e^x$$ 和 $$\ln(x)$$ 會互相抵銷。意思即是 $$\ln(e^x) = x$$ 和 $$e^{\ln(x)} = x$$。
• 為什麼它對微積分這麼特別？ $$e^x$$ 的導數就是它本身，$$e^x$$。這使得它成為微積分的「自然」底數。

繼續溫習這些核心概念，你很快就會掌握 e 了。你一定可以的！