定積分的近似值：梯形法則
各位同學大家好！歡迎來到這份關於微積分中最實用工具之一的溫習筆記。你有沒有想過工程師如何估計一個形狀不規則的水庫儲水量，或者編程員怎樣讓電腦計算複雜圖形的面積？有時，使用積分來找到精確答案是超級困難甚至不可能的！
這就是近似法派上用場的時候了。在本章中，我們將學習一種強大又直觀的方法，稱為梯形法則。這是一個非常棒的方法，能在不需要找出棘手的原函數（anti-derivative）的情況下，為定積分提供極佳的估計值。
你會學到：
- 面積近似法的基本概念。
- 如何使用梯形法則的公式（比你想像中簡單！）。
- 一個巧妙的技巧，利用二階導函數判斷你的估計值是過高還是過低。
如果一開始聽起來有點複雜，別擔心！我們會一步步用簡單例子拆解它。我們開始吧！
為什麼我們需要近似法？
快速溫習：什麼是定積分？
還記得嗎？一個定積分，例如 $$ \int_a^b f(x) \,dx $$，代表了函數 f(x) 在 x = a 到 x = b 之間曲線下的精確面積。
要找出這個精確面積，我們通常需要：
- 找出 f(x) 的原函數。
- 使用微積分基本定理。
那麼，問題在哪裡？
有時候，我們會遇到瓶頸。例如：
- 函數可能太複雜而難以積分。（例如，嘗試積分 $$ e^{-x^2} $$ 簡直是個經典的難題！）
- 我們甚至可能沒有一個函數！有時，我們只有來自實驗或調查的一組數據點。
真實世界的比喻：想像你有一塊不規則形狀的土地。你無法使用簡單的「長度 × 寬度」公式。但是，你可以在幾個固定間距測量寬度。梯形法則的運作方式正是如此——它透過將複雜形狀切割成我們知道如何測量的簡單形狀來幫助我們找出其面積：那就是梯形！
梯形比簡單的長方形更能貼合曲線，因此能為我們提供更準確的面積估計。
梯形法則：公式推導
讓我們來弄清楚它是如何運作的。這一切都關於把幾個細長的梯形面積加起來。
第一部分：一個梯形的面積
還記得初中學過，梯形的面積是：
面積 = $$ \frac{1}{2} \times (\text{平行邊之和}) \times (\text{高度}) $$
現在，讓我們看看曲線下從 `x = a` 到 `x = b` 的面積。我們可以用一個大的梯形來近似它。
- 平行邊是起點和終點的垂直線。它們的長度就是函數值，`f(a)` 和 `f(b)`。
- 梯形的高度是它們之間的水平距離，即 `b - a`。
所以，近似面積是：$$ \text{面積} \approx \frac{1}{2} [f(a) + f(b)](b-a) $$
第二部分：使用多個梯形以獲得更佳估計
只用一個梯形會有點粗略。為了獲得更好的近似值，我們可以將面積切成 `n` 個等寬的小梯形。
第一步：找出每個小梯形的寬度。
我們稱這個寬度為 $$ \Delta x $$。它就是總長度 `(b - a)` 除以梯形數目 `n`。
$$ \Delta x = \frac{b-a}{n} $$
第二步：標示你的 x 值和 y 值。
我們將在 x 軸上有 `n+1` 個點：$$ x_0, x_1, x_2, ..., x_n $$。
- $$ x_0 = a $$（起點）
- $$ x_1 = a + \Delta x $$
- $$ x_2 = a + 2\Delta x $$
- ...
- $$ x_n = b $$（終點）
對應的 y 值（平行邊的高度）是：$$ y_0=f(x_0), y_1=f(x_1), y_2=f(x_2), ..., y_n=f(x_n) $$
第三步：將所有小梯形的面積相加。
總面積 ≈ (第一個面積) + (第二個面積) + ... + (最後一個面積)
$$ \approx \frac{1}{2}(y_0+y_1)\Delta x + \frac{1}{2}(y_1+y_2)\Delta x + ... + \frac{1}{2}(y_{n-1}+y_n)\Delta x $$
第四步：提取公因數。
注意到每個項都有 $$ \frac{\Delta x}{2} $$。我們將它提取出來：
$$ \approx \frac{\Delta x}{2} [ (y_0+y_1) + (y_1+y_2) + ... + (y_{n-1}+y_n) ] $$
仔細看看括號裡！第一項 `y_0` 和最後一項 `y_n` 只出現一次。但所有中間項（`y_1`、`y_2` 等）都出現兩次！
這就導出了我們最終的強大公式：
梯形法則公式
要使用 `n` 個子區間來近似 $$ \int_a^b f(x) \,dx $$：
$$ \text{近似面積} = \frac{\Delta x}{2} [y_0 + 2y_1 + 2y_2 + ... + 2y_{n-1} + y_n] $$
其中 $$ \Delta x = \frac{b-a}{n} $$ 且 $$ y_i = f(x_i) $$。
助記口訣：把它想成「一半的寬度，乘以（首項 + 末項 + 2 乘以其餘項的總和）」。
逐步示例
讓我們使用梯形法則來估計 $$ \int_0^2 x^3 \,dx $$，使用 `n = 4` 個子區間。
第一步：確定關鍵資訊並找出 $$ \Delta x $$。
a = 0, b = 2, n = 4, 且 f(x) = x³。
每個梯形的寬度是：$$ \Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{2-0}{4} = 0.5 $$
第二步：列出所有 x 值並找出對應的 y 值。
製作表格是保持條理、避免出錯的最佳方法！
- $$ x_0 = 0 $$
- $$ x_1 = 0 + 0.5 = 0.5 $$
- $$ x_2 = 0.5 + 0.5 = 1.0 $$
- $$ x_3 = 1.0 + 0.5 = 1.5 $$
- $$ x_4 = 1.5 + 0.5 = 2.0 $$
現在，讓我們建立表格：
i | $$x_i$$ | $$y_i = f(x_i) = x_i^3$$
-----------------------------------------
0 | 0.0 | $$0^3 = 0$$ （這是 $$y_0$$，第一個值）
1 | 0.5 | $$0.5^3 = 0.125$$
2 | 1.0 | $$1^3 = 1$$
3 | 1.5 | $$1.5^3 = 3.375$$
4 | 2.0 | $$2^3 = 8$$ （這是 $$y_4$$，最後一個值）
第三步：將所有數據代入公式。
記住：首項 + 末項 + 2 *（其餘項的總和）。
$$ \int_0^2 x^3 \,dx \approx \frac{\Delta x}{2} [y_0 + 2y_1 + 2y_2 + 2y_3 + y_4] $$
$$ \approx \frac{0.5}{2} [0 + 2(0.125) + 2(1) + 2(3.375) + 8] $$
$$ \approx 0.25 [0 + 0.25 + 2 + 6.75 + 8] $$
$$ \approx 0.25 [17] $$
$$ \approx 4.25 $$
所以，我們對該積分的估計值是 4.25。
你知道嗎？ $$ \int_0^2 x^3 \,dx $$ 的精確值是 $$ [\frac{x^4}{4}]_0^2 = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} = 4 $$。我們估計的 4.25 相當接近！但它是高估還是低估呢？讓我們來找出答案！
常見錯誤提醒！
- 忘記乘「2」：最常見的錯誤是忘記將所有「中間」的 y 值乘以 2。
- 將所有項都乘「2」：第一項 (`y_0`) 和最後一項 (`y_n`) 不需要乘以 2。
- 混淆 `n` 和 `n+1`：記住，`n` 是梯形的數量，但你需要計算 `n+1` 個 y 值！
高估還是低估？凹凸性測試
這是香港中學文憑考試（HKDSE）期望你掌握的關鍵技能！你可以透過觀察函數圖形的凹凸性來判斷你的梯形法則估計值是過高還是過低。
經驗法則（及形狀）
這一切都關於曲線如何彎曲。
1. 向上凹（像個笑臉 😊）：如果圖形向上凹，每個梯形的直線頂邊將位於曲線上方。這意味著你每個梯形都多算了一點額外面積。
如果函數在 `[a, b]` 上向上凹，梯形法則會給出一個高估值。
2. 向下凹（像個苦瓜臉 ☹️）：如果圖形向下凹，每個梯形的直線頂邊將位於曲線下方。這意味著你每個梯形都遺漏了一點面積。
如果函數在 `[a, b]` 上向下凹，梯形法則會給出一個低估值。
如何測試凹凸性？使用二階導函數！
還記得微積分前面學過這個嗎？
- 如果對於 `[a, b]` 中的所有 x，$$ f''(x) > 0 $$，則函數向上凹。
- 如果對於 `[a, b]` 中的所有 x，$$ f''(x) < 0 $$，則函數向下凹。
回到我們的示例：$$ f(x) = x^3 $$ 在 `[0, 2]` 上
- 找出第一個導函數： $$ f'(x) = 3x^2 $$
- 找出第二個導函數： $$ f''(x) = 6x $$
- 測試 $$ f''(x) $$ 在區間 `[0, 2]` 上的符號。
對於嚴格介於 0 和 2 之間的任何 x 值（例如，x=0.1, x=1, x=1.9），`6x` 的值都將是正數。 所以，在區間 (0, 2) 上，$$ f''(x) > 0 $$。
這表示函數 $$ f(x) = x^3 $$ 在我們的區間內是向上凹的。
結論：我們估計的 4.25 必然是個高估值。這與我們之前看到的情況吻合，因為真確值是 4。
重點總結：凹凸性與估計值
條件 | 凹凸性 | 形狀 | 梯形估計值
--------------------------------------------------------------------------
$$ f''(x) > 0 $$ | 向上凹 | 😊 | 高估值
$$ f''(x) < 0 $$ | 向下凹 | ☹️ | 低估值
本章總結
快速回顧框
- 目的：梯形法則用於估計定積分 $$ \int_a^b f(x) \,dx $$ 的值，它代表曲線下的面積。
- 公式： $$ \text{面積} \approx \frac{\Delta x}{2} [y_0 + 2y_1 + ... + 2y_{n-1} + y_n] $$ 其中 $$ \Delta x = \frac{b-a}{n} $$。
- 步驟：
- 找出 $$ \Delta x $$。
- 製作一個 `x` 和 `y` 值的表格。
- 將數據代入公式（記住中間項要乘以「2」！）。
- 高估/低估判斷：
- 找出二階導函數 $$ f''(x) $$。
- 如果 $$ f''(x) > 0 $$ 在區間內，則函數向上凹，且估計值是高估。
- 如果 $$ f''(x) < 0 $$ 在區間內，則函數向下凹，且估計值是低估。
就是這樣了！梯形法則是一個非常系統化的過程。關鍵是細心且有條理地進行計算。多練習幾道題目，你很快就能掌握它。祝你好運！