引言：充滿信心地估算！

大家好！你有沒有想過全港中六學生的平均身高，或者人們每天花在Instagram上的平均時間是多少呢？要問每一個人，那是不可能的，對吧？那會花上永遠的時間！

那麼，我們該怎麼辦呢？我們會抽取一個樣本（一個較小的群體）並計算其平均值。這稱為點估計。但問題來了：我們樣本的平均值很可能與整個總體的真實平均值不完全相同。它只是一個單一的最佳猜測。

這就是置信區間派上用場的時候了！我們不再只給出一個數字，而是創建一個數值範圍，並說：「我們相當有信心真實的平均值就在這個範圍內。」這就像從嘗試用一支飛鏢擊中一個微小目標，轉變為向目標拋出一個大圈。好多了，對不對？

在本章中，你將學習：

  • 點估計和區間估計之間的分別。
  • 「置信水平」的真正含義（它可能與你想像的不同！）。
  • 在兩種不同情況下計算總體平均值 (μ) 的置信區間。

如果一開始覺得有點難，不用擔心。我們會用簡單的例子一步步地拆解。我們開始吧！


第一節：基礎知識—參數與統計量

快速溫習：總體與樣本

在我們構建區間之前，讓我們先記住這些關鍵術語。想像一下煲一大鍋湯……

  • 總體： 這是你感興趣的整個群體。
    例子：鍋裡所有的湯。
    我們用希臘字母表示總體數值，稱為參數：
    • $$ \mu $$ (mu) = 總體平均值
    • $$ \sigma $$ (sigma) = 總體標準差

  • 樣本： 這是你實際收集數據的總體中的一小部分。
    例子：你嚐一口湯來檢查調味的那一勺湯。
    我們用常用字母表示樣本數值，稱為統計量：
    • $$ \bar{x} $$ ("x-bar") = 樣本平均值
    • $$ s $$ = 樣本標準差

點估計：我們最佳的單一猜測

當我們使用樣本統計量來估計總體參數時，這稱為點估計。這是我們最佳的單一猜測。

  • 我們用樣本平均值 $$ \bar{x} $$ 作為總體平均值 $$ \mu $$ 的點估計。
  • 我們用樣本方差 $$ s^2 $$ 作為總體方差 $$ \sigma^2 $$ 的點估計。

問題： 點估計幾乎從來都不是完全準確的！你嚐的那勺湯可能比整鍋湯稍微鹹一點或淡一點。我們需要一種方法來考慮這種不確定性。

重點摘要

我們使用樣本統計量 ($$ \bar{x}, s $$) 來估計未知的總體參數 ($$ \mu, \sigma $$)。單一猜測 ($$ \bar{x} $$) 是點估計，但一個數值範圍（置信區間）能提供更多資訊。


第二節：什麼是置信區間？

漁網的比喻

想像一下，真實的總體平均值 $$ \mu $$ 是一條在巨大湖泊中游泳的單條隱形魚。

  • 點估計 ($$ \bar{x} $$) 就像嘗試用魚叉捕魚。你必須極其準確（而且幸運！）才能擊中它。你很可能錯過。
  • 置信區間 就像使用漁網。你在你認為魚可能在的區域撒下你的網。你可能不知道它的確切位置，但你可以非常有信心你已經把它捕獲在網裡了！

置信區間為我們提供了真實總體平均值 $$ \mu $$ 的合理數值範圍。

理解置信水平

你會看到諸如「95% 置信區間」的短語。那麼 95% 到底是什麼意思呢？

這是一個非常常見的混淆點，請仔細閱讀！

錯誤理解： 「真實平均值 $$ \mu $$ 在我計算出的區間內的機率是 95%。」（這是錯誤的，因為一旦你計算出一個區間，真實平均值要麼在這個區間內，要麼不在。機率是 1 或 0。）

正確理解： 「我對用於創建此區間的方法有 95% 的信心。」
讓我們回到漁網的比喻。95% 的置信水平意味著，如果我們從總體中抽取 100 個不同的隨機樣本，並創建 100 個不同的「網」（區間），我們預計大約95 個網能夠成功捕獲真實平均值 $$ \mu $$。

置信水平： 該方法的成功率（例如，90%、95%、99%）。
顯著水平 ($$ \alpha $$)： 該方法的失敗率。它簡單地等於 $$ 1 - \text{置信水平} $$。

  • 對於 95% 置信水平，$$ \alpha = 1 - 0.95 = 0.05 $$。
  • 對於 99% 置信水平，$$ \alpha = 1 - 0.99 = 0.01 $$。
重點摘要

置信區間是對 $$ \mu $$ 的區間估計。置信水平告訴我們，在多次重複抽取樣本的情況下，我們的區間構建程序有多可靠。


第三節：構建置信區間—公式！

通用結構

所有平均值的置信區間都具有相同的基本結構。這是一個你應該記住的公式！

置信區間 = 點估計 ± 誤差幅度

讓我們拆解一下：

  • 點估計： 我們對 $$ \mu $$ 的最佳猜測，即樣本平均值 $$ \bar{x} $$。
  • 誤差幅度 (E)： 我們在點估計上增加或減少的「裕度」來創建範圍。它決定了我們區間的寬度。

誤差幅度本身有一個公式：

誤差幅度 (E) = (臨界值) × (平均值標準誤差)

尋找臨界值 ($$ z_{\alpha/2} $$)

臨界值是標準正態分佈中的 z 分數。它由你的置信水平決定。我們將其寫為 $$ z_{\alpha/2} $$，因為「誤差」機率 $$ \alpha $$ 平均分佈在正態曲線的兩端。

你不需要每次都從頭計算這些值。只需記住常見的即可！

快速回顧：常見的臨界值
  • 對於 90% 置信水平：$$ \alpha = 0.10 $$，$$ \alpha/2 = 0.05 $$。臨界值是 $$ z_{0.05} \approx 1.645 $$
  • 對於 95% 置信水平：$$ \alpha = 0.05 $$，$$ \alpha/2 = 0.025 $$。臨界值是 $$ z_{0.025} \approx 1.96 $$
  • 對於 99% 置信水平：$$ \alpha = 0.01 $$，$$ \alpha/2 = 0.005 $$。臨界值是 $$ z_{0.005} \approx 2.576 $$

記憶小貼士：在統計學中，95% 和 1.96 是最好的朋友。你會經常看到它們一起出現！

現在，讓我們看看香港中學文憑考試（HKDSE）課程中你需要了解的兩種具體情況。


第四節：情況 1—我們已知總體方差 ($$ \sigma^2 $$)

情況

這是你將遇到的第一種情況。主要條件是：

  1. 假設總體呈正態分佈。
  2. 總體方差 $$ \sigma^2 $$（以及因此的標準差 $$ \sigma $$）是已知的。

（在現實生活中，這種情況很少見。如果你不知道總體平均值 $$ \mu $$，你又怎會知道它的方差 $$ \sigma^2 $$ 呢？但它是學習的完美起點！）

公式

$$ \mu $$ 的 100(1-α)% 置信區間由以下公式給出：

$$ \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) $$

其中：

  • $$ \bar{x} $$ 是樣本平均值。
  • $$ z_{\alpha/2} $$ 是你的置信水平所對應的臨界值。
  • $$ \sigma $$ 是已知的總體標準差。
  • $$ n $$ 是樣本大小。

逐步範例

某種蘋果的重量呈正態分佈，總體標準差為 $$ \sigma = 20 $$ 克。隨機抽取了 $$ n=16 $$ 個蘋果的樣本，發現樣本平均重量為 $$ \bar{x} = 150 $$ 克。構建所有此類蘋果真實平均重量的 95% 置信區間。

步驟 1：識別所有數值。
$$ \bar{x} = 150 $$，$$ \sigma = 20 $$，$$ n = 16 $$

步驟 2：找到你的臨界值。
置信水平 = 95%。這意味著 $$ \alpha = 0.05 $$，所以我們需要 $$ z_{\alpha/2} = z_{0.025} $$。 從我們的表格中，$$ z_{0.025} = 1.96 $$。

步驟 3：計算誤差幅度 (E)。
$$ E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \times \frac{20}{\sqrt{16}} = 1.96 \times \frac{20}{4} = 1.96 \times 5 = 9.8 $$

步驟 4：構建區間。
區間 = $$ (\bar{x} - E, \bar{x} + E) $$ $$ (150 - 9.8, 150 + 9.8) = (140.2, 159.8) $$

步驟 5：寫下你的結論。
我們有 95% 的信心，所有此類蘋果的真實平均重量介於 140.2 克和 159.8 克之間。

情況 1 的重點摘要

當總體呈正態分佈並且已知 $$ \sigma $$ 的數值時，這就是你應該使用的公式。這是最簡單的情況。


第五節：情況 2—總體方差 ($$ \sigma^2 $$) 未知

情況

這是一個更真實的情況。主要條件是：

  1. 總體方差 $$ \sigma^2 $$ 是未知的。
  2. 樣本大小 $$ n $$ 足夠大。

為什麼「大樣本」很重要？ 因為神奇的中央極限定理 (CLT)！CLT 告訴我們，如果樣本大小 `n` 足夠大，樣本平均值 ($$ \bar{x} $$) 的分佈將近似正態分佈，不論原始總體的分佈如何。這讓我們仍然可以使用 z 分佈！

由於我們不知道 $$ \sigma $$，該怎麼辦呢？我們用它最好的估計值：樣本標準差，$$ s $$。

公式

$$ \mu $$ 的 100(1-α)% 置信區間由以下公式給出：

$$ \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} \right) $$

你注意到了嗎？與第一個公式唯一的變化是我們用已知的 $$ s $$ 替換了未知的 $$ \sigma $$！

逐步範例

一位校長想估計 M1 學生每週的平均學習時數。抽取了一個包含 $$ n=100 $$ 名學生的大型隨機樣本。樣本平均值為 $$ \bar{x} = 15.5 $$ 小時，樣本標準差為 $$ s = 2.5 $$ 小時。構建真實平均學習時數的 99% 置信區間。

步驟 1：識別所有數值。
$$ \bar{x} = 15.5 $$，$$ s = 2.5 $$，$$ n = 100 $$

步驟 2：找到你的臨界值。
置信水平 = 99%。這意味著 $$ \alpha = 0.01 $$，所以我們需要 $$ z_{\alpha/2} = z_{0.005} $$。 從我們的表格中，$$ z_{0.005} \approx 2.576 $$。

步驟 3：計算誤差幅度 (E)。
$$ E = z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} = 2.576 \times \frac{2.5}{\sqrt{100}} = 2.576 \times \frac{2.5}{10} = 2.576 \times 0.25 = 0.644 $$

步驟 4：構建區間。
區間 = $$ (\bar{x} - E, \bar{x} + E) $$ $$ (15.5 - 0.644, 15.5 + 0.644) = (14.856, 16.144) $$

步驟 5：寫下你的結論。
我們有 99% 的信心，M1 學生每週的真實平均學習時數介於 14.856 小時和 16.144 小時之間。

常見錯誤避免！
  • 在 $$ \sigma $$ 未知時使用 $$ \sigma $$： 如果題目給你 $$ s $$（樣本標準差），請使用第二個公式。不要混淆它們！
  • 忘記 $$ \sqrt{n} $$： 一個非常常見的錯誤是直接除以 $$ s $$ 或 $$ \sigma $$。誤差幅度取決於平均值的標準誤差，它總是 $$ \frac{s}{\sqrt{n}} $$ 或 $$ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$。
  • 使用錯誤的 z 值： 仔細檢查題目要求的是 90%、95% 還是 99% 的置信水平，並使用正確的 $$ z_{\alpha/2} $$。
情況 2 的重點摘要

當 $$ \sigma $$ 未知且 `n` 很大時，只需在公式中用 $$ s $$ 替換 $$ \sigma $$。其他一切都相同！


第六節：什麼因素影響置信區間的寬度？

想想我們的漁網。有時我們想要一個非常精確的估計（一個小網），有時我們需要更有把握（一個大網）。區間的寬度簡單來說就是「2 × 誤差幅度」。什麼因素會使它變寬或變窄呢？

1. 置信水平

  • 更高的置信水平 $$ \rightarrow $$ 更大的 $$ z_{\alpha/2} $$ 值 $$ \rightarrow $$ 更寬的區間。
  • 比喻：如果你想更有信心捕獲那條魚，你需要一個更大的網！

2. 樣本大小 (n)

  • 更大的樣本大小 (n) $$ \rightarrow $$ 更小的分母 ($$ \sqrt{n} $$) $$ \rightarrow $$ 更窄的區間。
  • 比喻：你擁有的資訊（數據）越多，你的估計就能越精確。更大的樣本會減少不確定性。

3. 標準差 ($$ \sigma $$ 或 $$ s $$)

  • 更大的標準差 $$ \rightarrow $$ 更寬的區間。
  • 比喻：如果總體分佈非常廣泛（變異性高），要精確找出真實平均值就更難，所以你需要一個更寬的網才能有信心。

章節總結與最後提示

你成功了！置信區間是統計學中的基本概念。這是一個簡單的決策流程，可以幫助你在考試中應對：

決策流程圖：

  1. 仔細閱讀題目。樣本平均值 ($$ \bar{x} $$)、樣本大小 (n) 和置信水平是什麼？
  2. 問：總體標準差 $$ \sigma $$ 是否已知？
    • 是： 使用包含 $$ \sigma $$ 的第一個公式。
      $$ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$

    • 否： 題目會給你樣本標準差 $$ s $$ 並說明 `n` 很大。使用包含 $$ s $$ 的第二個公式。
      $$ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} $$
  3. 計算誤差幅度，然後從樣本平均值 $$ \bar{x} $$ 中加減它。

最後的鼓勵話語： 掌握置信區間的最佳方法是通過練習。多做歷屆試題。仔細注意措辭，以確定你正在處理的是哪兩種情況之一。你一定能做到！