M1 溫習筆記：泊松分佈

大家好！歡迎大家來到M1統計學最有趣嘅課題之一：泊松分佈嘅溫習筆記！呢個名聽落可能會有啲陌生，但唔使擔心。佢係一個超級有用嘅工具，幫我哋理解喺時間或空間上隨機發生嘅事件。

喺呢個章節，我哋會學點樣預測以下呢啲事情嘅概率：

  • 你一個鐘頭內收到嘅電郵數量。
  • 一本書入面，一頁紙上嘅打字錯誤數量。
  • 十分鐘內到達收銀處嘅顧客數量。

溫習完呢份筆記之後，你就會明白咩係泊松分佈、幾時用佢、同埋點樣用佢嚟計算概率。我哋一齊開始啦！


1. 泊松分佈到底係咩嚟㗎？

想像一下你試吓數某件事發生咗幾多次，但呢啲事件都係隨機同獨立嘅。二項分佈適用於有固定次數試驗嘅情況（例如擲硬幣10次）。但如果無固定嘅「試驗次數」呢？如果只係喺固定嘅時間區間入面，等啲事件發生呢？

呢個時候，泊松分佈就派上用場喇！佢係一種離散概率分佈，幫我哋搵出喺固定嘅時間、面積、體積或距離區間內，特定數量事件發生嘅概率。

關鍵參數：Lambda (λ)

成個泊松分佈都圍繞住一個唯一而超級重要嘅參數：lambda，寫做λ。

λ (Lambda) = 喺一個特定區間內，事件嘅平均發生數量。

可以當佢係「平均發生率」。例如：

  • 如果一個客戶服務中心平均每個鐘收到10個電話，咁λ就係10（對於一個鐘嘅區間）。
  • 如果一位生物學家喺一片田野入面，平均每平方米搵到2朵稀有花朵，咁λ就係2（對於1平方米嘅區間）。
幾時可以用泊松分佈？

泊松分佈唔係萬能㗎！一個情況要符合以下條件，先至可以用泊松分佈嚟建立模型：

  1. 事件以恆定嘅平均發生率發生（即係λ嘅數值唔會變）。
  2. 事件之間互相獨立（即係一件事件嘅發生唔會令另一件事件變得更可能或更唔可能發生）。
  3. 事件隨機發生。
  4. 兩個事件唔可以喺同一瞬間發生。
重點提示：第一部分

泊松分佈用於計算喺固定區間（例如時間或空間）內，隨機、獨立事件嘅數量。佢唯一嘅參數係λ (lambda)，即係該區間內事件嘅平均發生率。


2. 泊松概率公式

好啦，到重頭戲喇！如果隨機變量`X`遵循泊松分佈，平均發生率為λ，我哋會咁樣寫：

$$ X \sim Po(\lambda) $$

喺該區間內觀察到剛好k個事件嘅概率，可以用以下公式表示：

$$ P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \quad \text{for } k = 0, 1, 2, ... $$

唔使俾條公式嚇親！我哋嚟拆解一下：

  • P(X=k) 係我哋想搵嘅嘢：即係事件數量剛好係`k`嘅概率。
  • k 係你感興趣嘅特定事件數量（例如，剛好有3個電話嘅概率）。
  • λ 係該區間內事件嘅平均數量。
  • e 係歐拉數（你部計數機識佢㗎，佢大約係2.718）。
  • k! 係「k階乘」，即係 k × (k-1) × ... × 2 × 1（例如，3! = 3 × 2 × 1 = 6）。記住 0! = 1。
逐步範例

一個客戶服務熱線平均每個鐘頭收到5個電話。喺一個特定嘅鐘頭內，佢哋剛好收到2個電話嘅概率係幾多？

步驟1：確認分佈同參數。

  • 事件（電話）喺固定嘅區間（一個鐘）內隨機發生。呢個聽落就好似泊松分佈！
  • 平均發生率係每個鐘5個電話，所以 λ = 5。
  • 我哋想搵剛好有2個電話嘅概率，所以 k = 2。
  • 因此，我哋有 $$X \sim Po(5)$$ 並且需要搵 $$P(X=2)$$。

步驟2：將數值代入公式。

$$ P(X=2) = \frac{e^{-5} \cdot 5^2}{2!} $$

步驟3：計算結果。

$$ P(X=2) = \frac{e^{-5} \cdot 25}{2 \times 1} $$ $$ P(X=2) = \frac{(0.006738) \cdot 25}{2} $$ $$ P(X=2) \approx 0.0842 $$

所以，喺嗰個鐘頭內剛好收到2個電話嘅機會大約係8.42%。

常見錯誤要避開
  • 混淆λ同k：記住，`λ`係該區間嘅平均數，`k`係你測試嘅特定數值。
  • 忘記0! = 1：零事件嘅概率係 $$P(X=0) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^0}{0!} = e^{-\lambda}$$，因為 $$\lambda^0=1$$ 同 $$0!=1$$。
  • 計數機錯誤：輸入階乘同埋`e`嘅次方時要小心。記得用你部計數機上面嘅`e^x`按鈕。

3. 泊松分佈嘅特性

呢個部分簡單又重要。課程要求你認識泊松分佈嘅均值同方差。唔需要證明㗎！

均值同方差

對於一個隨機變量 $$X \sim Po(\lambda)$$：

  • 均值（或者期望值）係： $$ E(X) = \lambda $$
  • 方差係： $$ Var(X) = \lambda $$
記憶法

呢個有個簡單嘅記法：「泊松分佈好簡單，均值方差都一樣！」

呢個係泊松分佈一個獨特嘅性質！如果題目話你知一個離散分佈嘅均值同佢嘅方差相等，咁就係一個好大嘅提示，話你可能係處理緊泊松分佈嘅問題喇。

你知唔知？

標準差係方差嘅平方根。所以對於泊松分佈嚟講，標準差就係 $$\sqrt{\lambda}$$。

快速回顧區

如果 $$X \sim Po(3)$$，咁：

  • 事件嘅平均數量係3。
  • 均值 `E(X)` 係3。
  • 方差 `Var(X)` 係3。

睇吓？係咪好簡單呢！


4. 調整發生率 (λ)

呢個係考試問題入面好常見嘅「考法」，所以要特別留意！λ嘅數值必須要同題目中嘅區間相符。

如果題目俾你一個區間嘅平均發生率，但係問緊另一個*唔同*區間嘅概率，你必須要先調整λ。

逐步範例

一個網站平均每個鐘頭收到180次點擊。喺1分鐘嘅時間內，剛好收到4次點擊嘅概率係幾多？

步驟1：搵出原始發生率。

  • 發生率係每60分鐘180次點擊。

步驟2：將發生率 (λ) 調整到新嘅區間（1分鐘）。

  • 平均每分鐘發生率 = $$\frac{180 \text{ 次點擊}}{60 \text{ 分鐘}} = 3$$ 次點擊每分鐘。
  • 我哋新嘅、已調整嘅 λ = 3。

步驟3：喺泊松公式中使用新嘅λ。

  • 我哋想搵喺呢個1分鐘區間內有4次點擊（k=4）嘅概率。
  • 所以，我哋需要為 $$X \sim Po(3)$$ 計算 $$P(X=4)$$。
$$ P(X=4) = \frac{e^{-3} \cdot 3^4}{4!} = \frac{e^{-3} \cdot 81}{24} \approx 0.168 $$

喺開始計算之前，調整λ係至關重要㗎！


5. 使用泊松分佈近似二項分佈

有時，用二項分佈 $$X \sim B(n, p)$$ 計算概率會好困難，尤其當`n`好大嘅時候。想像一下人手計算 $$C(500, 2)$$ 有幾麻煩！

值得慶幸嘅係，當符合特定條件時，我哋可以用簡單得多嘅泊松分佈嚟做一個出色嘅近似。

近似嘅條件

如果你想用泊松分佈近似一個二項分佈，需要滿足以下條件：

  1. n 好大（通常 `n > 50` 係一個好嘅參考）。
  2. p 好細（通常 `p < 0.1` 係一個好嘅參考）。

簡單嚟講，我哋係喺大量試驗中，計算一個稀有事件「成功」嘅次數。

點樣進行近似

如果 $$X \sim B(n, p)$$ 並且符合上面嘅條件，你可以用以下方法嚟近似：

$$ Y \sim Po(\lambda) \quad \text{where} \quad \lambda = np $$

點解係 `λ = np` 呢？因為二項分佈嘅均值就係 `np`。我哋將泊松分佈嘅均值設為我哋要近似嘅二項分佈嘅均值。咁樣做完全合情合理！

逐步範例

一間工廠生產大量電腦晶片。晶片有缺陷嘅概率係0.005。晶片每400塊裝一盒。搵出一個盒入面剛好有3塊有缺陷晶片嘅近似概率。

步驟1：確認原始分佈。

  • 呢個係一個二項分佈嘅情況。我哋有固定嘅試驗次數（`n=400`），同埋一個恆定嘅成功概率（晶片有缺陷，`p=0.005`）。
  • 所以，$$X \sim B(400, 0.005)$$。

步驟2：檢查泊松近似嘅條件。

  • `n = 400`（好大）。
  • `p = 0.005`（好細）。
  • 條件符合！用二項公式計算會好麻煩。我哋用泊松分佈啦。

步驟3：為泊松模型計算λ。

$$ \lambda = np = 400 \times 0.005 = 2 $$

步驟4：喺泊松公式中使用新嘅λ。

  • 我哋而家可以用 $$Y \sim Po(2)$$ 嚟建立模型。
  • 我哋想搵剛好有3塊有缺陷晶片嘅概率，所以k=3。
$$ P(Y=3) = \frac{e^{-2} \cdot 2^3}{3!} = \frac{e^{-2} \cdot 8}{6} \approx 0.180 $$

近似概率大約係18.0%。

重點提示：第五部分

當你見到一個二項分佈問題，如果 `n` 好大而 `p` 好細，就即刻諗起「泊松近似」！只要計算 λ = np 再用泊松公式就得喇。咁樣簡單得多！