M1 微積分：微分應用溫習筆記
各位同學好！歡迎來到微積分最重要、最刺激的課題之一。您是否曾想過，商家如何找出最佳定價以實現利潤最大化？或者工程師如何設計出用料最少但容積最大的容器？答案就是微分！
在本課題中，我們將會看到導數（您已知道它是函數的斜率）遠不止一個數字那麼簡單。它是一個工具，能幫助我們理解事物如何變化、找出最高點和最低點，並解決現實世界的問題。內容聽起來或許複雜，但請勿擔心，我們將逐步解析。讓我們一同深入學習！
第一節：曲線的幾何特性 —— 切線
您還記得學習導數的第一件事嗎？函數在某一點的導數，就是該點切線的斜率。切線是指一條直線，它在某一點「接觸」曲線，而不會穿過曲線（至少在那一點不會）。
如何找出切線的方程式
找出切線方程式是經典的考試題，只要依循步驟，即可輕易完成！一條直線，我們只需要兩個要素：一個點和一個斜率。
讓我們找出曲線 $$y = f(x)$$ 在 $$x = a$$ 處的切線方程式。
- 找出點 (a, f(a))：如果您只知道 x 值，將它代入原函數 $$f(x)$$ 以獲得 y 值。這樣您的點就是 $$(a, f(a))$$。
- 找出斜率 (m)：斜率就是導數！首先，找出導數函數 $$f'(x)$$。然後，將您的 x 值代入導數中以獲得斜率：$$m = f'(a)$$。
- 使用點斜式：現在您有了點 $$(x_1, y_1) = (a, f(a))$$ 和斜率 $$m$$。只需使用經典的直線方程式公式：$$ y - y_1 = m(x - x_1) $$
逐步示例：
找出曲線 $$f(x) = x^3 - 2x + 5$$ 在 $$x = 2$$ 處的切線方程式。
步驟 1：找出點。
x 坐標是 $$x=2$$。
y 坐標是 $$f(2) = (2)^3 - 2(2) + 5 = 8 - 4 + 5 = 9$$。
所以，我們的點是 (2, 9)。
步驟 2：找出斜率。
首先，找出導數：$$f'(x) = 3x^2 - 2$$。
現在，代入 $$x=2$$ 以獲得斜率：$$m = f'(2) = 3(2)^2 - 2 = 3(4) - 2 = 10$$。
斜率是 10。
步驟 3：使用點斜式。
我們有 (2, 9) 點和斜率 m = 10。
$$ y - 9 = 10(x - 2) $$
$$ y - 9 = 10x - 20 $$
$$ y = 10x - 11 $$
這就是我們的最終答案！您看，這就是一個三步驟的流程。
第一節重點提示：
導數 $$f'(a)$$ 是在 $$x=a$$ 處切線的斜率。要找出切線方程式，您需要一個點和這個斜率。
第二節：變化的速度 —— 變化率
導數不僅告訴我們圖像的斜率；它還告訴我們瞬時變化率。想像一下：您汽車一次旅程的平均速度是總距離除以總時間。但您里程錶上任何時刻顯示的數字，就是您的瞬時速度。導數就是任何變量變化的「里程錶」！
符號 $$ rac{dy}{dx}$$ 字面意思就是「y 對 x 的變化率」。如果變量是時間 `t`，那麼 $$ rac{dy}{dt}$$ 就表示「y 隨時間變化的速度」。
現實世界例子：
- 如果 $$s(t)$$ 是物體在時間 $$t$$ 的位移（位置），那麼 $$s'(t) = rac{ds}{dt}$$ 就是它的速度。
- 如果 $$v(t)$$ 是物體在時間 $$t$$ 的速度，那麼 $$v'(t) = rac{dv}{dt}$$ 就是它的加速度。
- 如果 $$V(r)$$ 是半徑為 $$r$$ 的球體體積，那麼 $$ rac{dV}{dr}$$ 告訴我們體積隨半徑微小變化而變化的幅度。
逐步示例：
球體的體積由 $$V = rac{4}{3}\pi r^3$$ 給出。當半徑為 5 厘米時，求體積對半徑的變化率。
步驟 1：明確要找出什麼。
「體積對半徑的變化率」意味著我們需要找出 $$ rac{dV}{dr}$$。
步驟 2：對函數求導。
函數是 $$V = rac{4}{3}\pi r^3$$。記住 $$ rac{4}{3}$$ 和 $$\pi$$ 都只是常數。
$$ rac{dV}{dr} = rac{4}{3}\pi \cdot (3r^2) $$
$$ rac{dV}{dr} = 4\pi r^2 $$
您知道嗎？球體體積的變化率就是它的表面積！這是否令人驚奇？
步驟 3：代入給定的值。
我們需要找出當半徑為 5 厘米時的變化率，所以我們代入 $$r=5$$。
$$ rac{dV}{dr} |_{r=5} = 4\pi (5)^2 = 4\pi(25) = 100\pi $$
所以，當半徑為 5 厘米時，體積以 $$100\pi$$ 立方厘米/厘米 的速率變化。
第二節重點提示：
導數衡量的是瞬時變化率。當您看到「A 對 B 的變化率」時，您應立即想到「找出 $$ rac{dA}{dB}$$」。
第三節：上坡、下坡和平坦點 —— 找出極大值和極小值
這就是微分成為優化超級工具的地方。我們可以用它來找出任何函數的山峰和山谷。
想像您沿著一條曲線從左到右行進：
- 當您向上坡行進時，斜率是正的，所以 $$f'(x) > 0$$。函數在遞增。
- 當您向下坡行進時，斜率是負的，所以 $$f'(x) < 0$$。函數在遞減。
- 當您到達山頂或谷底時，地面會暫時平坦。斜率為零，所以 $$f'(x) = 0$$。這些重要的點稱為駐點。
駐點的類型
駐點（即 $$f'(x) = 0$$ 的點）可以是：
- 局部極大值：「山」的頂部。函數從遞增轉為遞減。
- 局部極小值：「谷」的底部。函數從遞減轉為遞增。
- 駐變曲點：一個平坦點，但它既不是山頂也不是谷底。函數會變平，然後沿著相同的方向繼續。
一階導數判別法
這個判別法幫助我們判斷駐點的類型。這就像派遣偵察兵在平坦點前後探測斜率。
操作方法：
1. 找出使 $$f'(x) = 0$$ 的 x 值。這些就是您的駐點。
2. 為 $$f'(x)$$ 製作一個符號表。
3. 在每個區間（駐點之前、之間和之後）測試一個 $$x$$ 值，看看 $$f'(x)$$ 是正數 (+) 還是負數 (-)。
4. 分析每個駐點周圍的符號：
- 符號從 + 變為 - ($$\nearrow \searrow$$)：您有一個局部極大值。
- 符號從 - 變為 + ($$\searrow \nearrow$$)：您有一個局部極小值。
- 符號沒有改變（+ 變為 + 或 - 變為 -）：您有一個駐變曲點。
逐步示例：
找出並判斷函數 $$f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$$ 的駐點。
步驟 1：找出 $$f'(x)$$ 並將其設為零。
$$f'(x) = 3x^2 - 6x$$
$$3x^2 - 6x = 0$$
$$3x(x - 2) = 0$$
所以，駐點位於 $$x = 0$$ 和 $$x = 2$$。
步驟 2：為 $$f'(x)$$ 製作一個符號表。
我們測試區間 $$x<0$$、$$0
- 測試 $$x = -1$$： $$f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9$$ (正數)
- 測試 $$x = 1$$： $$f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3$$ (負數)
- 測試 $$x = 3$$： $$f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9$$ (正數)
符號表：
x x < 0 x = 0 0 < x < 2 x = 2 x > 2
f'(x) 的符號 + 0 - 0 +
形狀 $$\nearrow$$ (極大) $$\searrow$$ (極小) $$\nearrow$$
步驟 3：總結並找出坐標。
在 $$x=0$$ 處，符號從 + 變為 -，所以它是局部極大值。該點是 $$(0, f(0)) = (0, 1)$$。
在 $$x=2$$ 處，符號從 - 變為 +，所以它是局部極小值。該點是 $$(2, f(2)) = (2, 8 - 12 + 1) = (2, -3)$$。
快速回顧框
遞增函數： $$f'(x) > 0$$ (斜率為正)
遞減函數： $$f'(x) < 0$$ (斜率為負)
駐點： $$f'(x) = 0$$ (斜率為零)
第四節：曲線的形狀 —— 凹凸性與二階導數判別法
一階導數告訴我們函數是上升還是下降。二階導數，$$f''(x)$$，則告訴我們函數的形狀或彎曲度。這稱為凹凸性。
- 凹向上：曲線形狀像一個「U」（能盛水）。斜率正在增加（例如，從 -2 到 -1 到 0 到 1）。這發生在 $$f''(x) > 0$$ 時。
- 凹向下：曲線形狀像一個「n」（會把水倒出來）。斜率正在減少（例如，從 2 到 1 到 0 到 -1）。這發生在 $$f''(x) < 0$$ 時。
二階導數判別法（一個方便的捷徑！）
二階導數判別法是一種判斷駐點類型的更快方法，無需製作符號表。
操作方法：
1. 找出使 $$f'(x) = 0$$ 的 x 值（您的駐點）。
2. 找出二階導數 $$f''(x)$$。
3. 將每個駐點的 x 值代入 $$f''(x)$$ 中：
- 如果 $$f''(x) > 0$$（正數），曲線凹向上（「U」形），所以您找到的是一個局部極小值。
- 如果 $$f''(x) < 0$$（負數），曲線凹向下（「n」形），所以您找到的是一個局部極大值。
- 如果 $$f''(x) = 0$$，則判別法無法判斷。它失效了！您必須回去使用一階導數判別法。
記憶法：
- $$f''(x)$$ 是正數 --> 想想「加」號 --> 笑臉 :) --> 它是「極小值」。
- $$f''(x)$$ 是負數 --> 想想「減」號 --> 愁眉苦臉 :( --> 它是「極大值」。
逐步示例（使用相同函數）：
使用二階導數判別法判斷函數 $$f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$$ 的駐點類型。
步驟 1：找出駐點。
我們已經找到了：$$f'(x) = 3x^2 - 6x = 0$$ 在 $$x = 0$$ 和 $$x = 2$$ 處。
步驟 2：找出二階導數。
$$f''(x) = 6x - 6$$
步驟 3：將每個點代入 $$f''(x)$$ 中測試。
- 對於 $$x=0$$： $$f''(0) = 6(0) - 6 = -6$$。這是負數，所以 $$x=0$$ 是一個局部極大值。
- 對於 $$x=2$$： $$f''(2) = 6(2) - 6 = 6$$。這是正數，所以 $$x=2$$ 是一個局部極小值。
這與我們使用一階導數判別法所得的結果相符，但速度快得多！
第四節重點提示：
$$f''(x)$$ 描述凹凸性。二階導數判別法是判斷駐點類型的快捷方法：$$f''(x) > 0 \Rightarrow$$ 極小值，$$f''(x) < 0 \Rightarrow$$ 極大值。
第五節：融會貫通 —— 最值問題
這就是我們的最終目標！我們想找出一個函數的絕對最大或最小值。這可以是最大利潤、最低成本、最大面積等情況。
局部極值與全局極值
- 局部極值（或相對極值）：這些是我們一直在尋找的局部山峰和山谷。如果一個點比緊鄰其周圍的所有點都高，那麼它就是一個局部最大值。
- 全局極值（或絕對極值）：這是整個函數或特定區間內的絕對最高或最低點。
重要提示！在一個閉區間 $$[a, b]$$ 上的全局最大值或最小值可能發生在駐點，也可能發生在端點（$$x=a$$ 或 $$x=b$$）。您總是必須檢查端點！
解決最值問題的終極攻略：
1. 理解問題：仔細閱讀。確定您想最大化或最小化的量（例如：面積、體積、成本）。
2. 列出方程式：寫出您優化量的公式（即「目標函數」）。您也可能會有一個「限制條件」方程式（例如：固定的周長）。使用限制條件將目標函數寫成單一變量的形式。
3. 求導數：對您的單變量目標函數求導。
4. 找出駐點：將導數設為零並求解。
5. 判別並證明：使用一階或二階導數判別法來確認您找到的是最大值還是最小值。
6. 檢查端點：如果問題有閉區間（例如：「x 必須在 0 到 10 之間」），您還必須計算函數在端點的值。
7. 找出最終答案：比較駐點和端點的值。最大的就是全局最大值，最小的就是全局最小值。確保您回答了實際的問題！
逐步示例：
您有 40 米長的圍欄可用於建造一個長方形花園。花園的最大可能面積是多少？
步驟 1：理解。我們要最大化面積。
步驟 2：方程式。設長度為 $$L$$，寬度為 $$W$$。
- 目標函數（面積）：$$A = LW$$。
- 限制條件（周長）：$$2L + 2W = 40$$。
讓我們將 $$A$$ 用一個變量表示。從限制條件中，$$2L = 40 - 2W$$，所以 $$L = 20 - W$$。
將此代入面積公式：
$$ A(W) = (20 - W)W = 20W - W^2 $$
步驟 3：導數。
$$ A'(W) = 20 - 2W $$
步驟 4：駐點。
$$ 20 - 2W = 0 $$
$$ 2W = 20 $$
$$ W = 10 $$
步驟 5：判別。我們使用二階導數判別法。
$$ A''(W) = -2 $$
由於 $$A''(W)$$ 總是 -2（為負數），我們的駐點 $$W=10$$ 必須是一個最大值。驗證成功！
步驟 6：端點。寬度 $$W$$ 必須大於 0，並且小於 20（否則 L 將是 0 或負數）。所以區間是 $$(0, 20)$$。由於這是一個開區間，我們沒有端點需要檢查。我們的駐點是唯一的候選。
步驟 7：最終答案。問題要求的是最大面積，而不僅僅是寬度。
如果 $$W = 10$$，那麼 $$L = 20 - 10 = 10$$。
最大面積 $$ = L \times W = 10 \times 10 = 100$$ 平方米。
最大可能面積是 100 平方米（這發生在花園是正方形時！）。
常見錯誤提醒：
- 忘記檢查閉區間的端點。這是非常常見的失分點！
- 求出 `x` 的值後，忘記將其代回以找出實際的最大/最小值。
- 混淆一階和二階導數判別法。記住，$$f'(x)=0$$ 找出點，$$f''(x)$$ 判斷其類別。
第五節重點提示：
要找出區間上的全局最大/最小值，請找出函數在所有駐點以及端點處的值。最大/最小值就是您的答案。