常態變數的標準化及標準常態分佈表的使用
大家好！歡迎來到 M1 統計學中最實用課題之一的筆記。就算「常態分佈」或「標準化」這些詞語聽起來有點嚇人，也別擔心。看完這些筆記後，你會發現它們只是幫助我們理解周遭世界的簡單工具。
我們會學到什麼？ 我們將會學習一個巧妙的技巧，叫做標準化。想像一下，這就像把不同的貨幣兌換成一種通用貨幣（例如港幣），以便輕鬆比較它們。我們會用這個方法來處理數據，並利用一個強大的工具——標準常態分佈表——來找出概率。
為什麼它很重要？ 從你的考試分數、身高到一包薯片的重量，生活中很多事物都符合常態分佈。這個課題會給你一把鑰匙，解開所有這些情況的概率！我們開始吧。
重溫：到底什麼是常態分佈？
還記得鐘形曲線嗎？那就是常態分佈的標誌性外觀。它描述了許多現實生活中數據的分佈情況。
常態分佈由兩個關鍵資訊定義：
- 平均值 ($$\mu$$)：平均數值，位於鐘形曲線的正中央和峰頂。
- 標準差 ($$\sigma$$)：衡量數據分散程度的指標。較小的 $$ \sigma $$ 表示數據緊密地集中在平均值周圍（形成一個高而窄的鐘形）；較大的 $$ \sigma $$ 表示數據非常分散（形成一個矮而寬的鐘形）。
我們會寫成 $$ X \sim N(\mu, \sigma^2) $$，讀作「變數 X 服從平均值為 $$\mu$$、方差為 $$\sigma^2$$ 的常態分佈」。（記住，方差就是標準差的平方！）
重大難題
想像一下，我們有香港中學文憑試數學 M1 的考試分數，其平均值可能是 65，標準差是 10。然後我們有香港中學文憑試物理科的分數，其平均值是 60，標準差是 15。這兩個是不同的常態分佈。$$\mu$$ 和 $$\sigma$$ 有無限多種可能的組合！我們怎麼可能為所有這些分佈計算概率呢？我們不可能為每一個分佈都準備一份單獨的概率表。我們需要一個「一勞永逸」的解決方案。
快速回顧：常態分佈的關鍵性質
- 它呈鐘形，並圍繞平均值 ($$\mu$$) 完美對稱。
- 平均值、中位數和眾數都相等，且位於中心。
- 曲線下的總面積正好是 1（或 100%）。這一點非常重要，因為面積代表概率！
主角登場：標準常態分佈
為了解決我們「分佈太多」的問題，數學家們創造了一個特殊的參考分佈，稱為標準常態分佈。它是可以與所有其他常態分佈進行比較的「超級明星」。
標準常態分佈具有固定性質：
- 平均值 ($$\mu$$) 永遠是 0。
- 標準差 ($$\sigma$$) 永遠是 1。
我們用字母 Z 來表示標準常態變數。所以，我們寫作：$$ \bf{Z \sim N(0, 1)} $$
因為這個分佈是「標準」的，我們為它準備了一份特殊的數值表——標準常態分佈表。這張表讓我們能夠找到任何 Z 值所對應的面積（概率）。
重點歸納
與其處理無數個不同的常態分佈 ($$ N(\mu, \sigma^2) $$)，我們的目標是將其中任何一個轉換成唯一的標準常態分佈 ($$ N(0, 1) $$)。這個轉換過程稱為標準化。
魔法公式：如何標準化（Z 值）
要將常態分佈中的任何值 (X) 轉換為標準常態分佈中等效的值 (Z)，我們使用 Z 值公式。這是你本章最重要的公式！
$$ \bf{Z = \frac{X - \mu}{\sigma}} $$公式拆解：
- Z：這是你正在計算的Z 值。它告訴你原始值 (X) 距離平均值 ($$\mu$$) 有多少個標準差 ($$\sigma$$)。
- X：你的原始數據點或感興趣的值（例如：考試分數 75 分）。
- $$\mu$$：原始分佈的平均值（例如：班級平均分為 65 分）。
- $$\sigma$$：原始分佈的標準差（例如：分數的離散程度是 5）。
日常生活類比：比較考試分數
想像你和朋友考了不同的 M1 模擬試。
- 你的考試：你得了 80 分。班級平均值 ($$\mu$$) 是 70，標準差 ($$\sigma$$) 是 10。
- 朋友的考試：你朋友得了 85 分。他們班級平均值 ($$\mu$$) 是 75，標準差 ($$\sigma$$) 是 5。
相對於各自的班級，誰的表現更好？讓我們計算你和朋友的 Z 值，將分數標準化。
你的 Z 值： $$ Z = \frac{80 - 70}{10} = \frac{10}{10} = \bf{+1.0} $$ 這表示你的分數剛好比班級平均高出 1 個標準差。
朋友的 Z 值： $$ Z = \frac{85 - 75}{5} = \frac{10}{5} = \bf{+2.0} $$ 這表示你朋友的分數竟然比他們班級平均高出 2 個標準差。
結論：儘管你朋友的 85 分只比你的 80 分高 5 分，但他們的 Z 值卻高得多。相對於他們的同學，他們表現得明顯更好。Z 值為我們提供了一個公平的比較方式！
Z 值有什麼意義？
- 正 Z 值 表示該值 (X) 高於平均值 ($$\mu$$)。
- 負 Z 值 表示該值 (X) 低於平均值 ($$\mu$$)。
- Z 值為 0 表示該值 (X) 正好是平均值 ($$\mu$$)。
使用標準常態分佈表
一旦你計算出 Z 值，你就可以使用標準常態分佈表（考試時會提供）來找出概率。這張表乍看之下可能有點嚇人，但它其實只是一個簡單的查閱工具。
重要提示：標準常態分佈表通常提供 Z 值左側的面積。這代表概率 $$ \bf{P(Z < z)} $$。請務必檢查你所使用的表格所顯示的內容！
如何閱讀表格（以找出 $$P(Z < 1.34)$$ 為例）
- 拆分 Z 值：將 1.34 拆分為「1.3」和「0.04」。
- 尋找行：沿著最左邊的列向下查找，找到 1.3 所在的行。
- 尋找列：沿著頂部行查找，找到 .04 所在的列。
- 找出交點：行和列相交處的數值就是你的概率。對於 Z = 1.34，你應該會找到一個類似 0.9099 的數值。
所以，$$ P(Z < 1.34) = 0.9099 $$。這意味著 Z 值小於 1.34 的概率約為 91%。
處理不同類型的概率
你不會總是只被要求計算 $$P(Z < z)$$。以下是如何使用表格和曲線性質（總面積 = 1，以及對稱性）來找出其他概率的方法。
1. 大於某值的概率：$$ P(Z > z) $$
表格給你的是左側的面積。要找出右側的面積，你需要使用總面積的規則。
例子：找出 $$P(Z > 1.34)$$
公式： $$ \bf{P(Z > z) = 1 - P(Z < z)} $$
計算： $$ P(Z > 1.34) = 1 - P(Z < 1.34) = 1 - 0.9099 = \bf{0.0901} $$
2. 小於負值的概率：$$ P(Z < -z) $$
鐘形曲線是對稱的！-z 左側的面積與 +z 右側的面積是相同的。
例子：找出 $$P(Z < -1.34)$$
邏輯：根據對稱性，$$ P(Z < -1.34) $$ 與 $$ P(Z > 1.34) $$ 是相同的。我們已經計算過它了！
公式： $$ \bf{P(Z < -z) = P(Z > z) = 1 - P(Z < z)} $$
計算： $$ P(Z < -1.34) = 1 - P(Z < 1.34) = 1 - 0.9099 = \bf{0.0901} $$
3. 介乎兩值之間的概率：$$ P(a < Z < b) $$
要找出兩點之間的面積，你需要找出較大值 (b) 左側的面積，然後減去較小值 (a) 左側的面積。想像成「大面積 - 小面積」。
例子：找出 $$P(-1.0 < Z < 1.5)$$
公式： $$ \bf{P(a < Z < b) = P(Z < b) - P(Z < a)} $$
計算：
首先，從表格中找出兩部分：
$$ P(Z < 1.5) = 0.9332 $$
$$ P(Z < -1.0) = P(Z > 1.0) = 1 - P(Z < 1.0) = 1 - 0.8413 = 0.1587 $$
現在，相減：
$$ P(-1.0 < Z < 1.5) = 0.9332 - 0.1587 = \bf{0.7745} $$
常見錯誤避免
- 忘記從 1 減去：這是計算 $$P(Z > z)$$ 問題時最常見的錯誤。務必仔細檢查你是否需要右側的面積！
- Z 值與概率：Z 值（例如：1.34）是表格邊緣的「地址」。概率（例如：0.9099）是表格內部的數值。不要混淆它們！
- 對稱性錯誤：快速畫出鐘形曲線能真正幫助你視覺化你要找的面積，並避免負 Z 值帶來的錯誤。
綜合應用：一個完整例子
某果園蘋果的重量服從常態分佈，平均值為 150 克 ($$\mu$$)，標準差為 12 克 ($$\sigma$$)。試找出隨機抽取一個蘋果，其重量介乎 140 克與 165 克之間的概率。
步驟 1：寫下已知資訊和目標。
我們有一個常態分佈：$$X \sim N(150, 12^2)$$。
我們想找出 $$ \bf{P(140 < X < 165)} $$。
步驟 2：將兩個 X 值都標準化為 Z 值。
當 X = 140 時：$$ Z_1 = \frac{140 - 150}{12} = \frac{-10}{12} \approx -0.83 $$
當 X = 165 時：$$ Z_2 = \frac{165 - 150}{12} = \frac{15}{12} = 1.25 $$
步驟 3：用 Z 重新表達問題。
$$ P(140 < X < 165) $$ 等同於 $$ \bf{P(-0.83 < Z < 1.25)} $$
步驟 4：使用「大面積 - 小面積」規則和表格。
$$ P(-0.83 < Z < 1.25) = P(Z < 1.25) - P(Z < -0.83) $$
讓我們找出各部分：
從表格中，$$ P(Z < 1.25) = \bf{0.8944} $$
對於負 Z 值，我們使用對稱性：
$$ P(Z < -0.83) = P(Z > 0.83) = 1 - P(Z < 0.83) = 1 - 0.7967 = \bf{0.2033} $$
步驟 5：計算最終答案。
$$ 0.8944 - 0.2033 = \bf{0.6911} $$
結論：隨機抽取一個蘋果，其重量介乎 140 克與 165 克之間的概率約為 0.6911（或 69.11%）。
總結與重點歸納
你成功了！讓我們快速回顧一下主要概念。
- 原因：我們進行標準化是為了將任何常態分佈 $$N(\mu, \sigma^2)$$ 轉換為唯一的標準常態分佈 $$N(0, 1)$$，這樣我們就可以使用單一表格來找出概率。
- 方法（Z 值公式）： $$ \bf{Z = \frac{X - \mu}{\sigma}} $$ 這個公式是你的萬能鑰匙。它將你的數據點轉換為標準分數。
- 工具（標準常態分佈表）：這張表格提供 $$P(Z < z)$$。記住查找其他面積的規則：
- $$ \bf{P(Z > z) = 1 - P(Z < z)} $$
- $$ \bf{P(Z < -z) = 1 - P(Z < z)} $$ (利用對稱性)
- $$ \bf{P(a < Z < b) = P(Z < b) - P(Z < a)} $$
這個過程一開始可能看起來很漫長，但只要多加練習，就會變得駕輕就熟。務必清楚地展示你的步驟：寫下公式，代入數值，找出 Z 值，然後找出概率。你一定做得到！